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科学のおもちゃ箱 @wiki内検索 / 「二重振子のモード」で検索した結果

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  • 二重振子のモード
    二重振子のモード 二重振子の規準振動（ノーマルモード）のときに現れる，糸でつながれた点電荷の運動と同じ最大速問題。 下図のような二重振子の微小振動を考える。 ラグランジアンは，二重振子の運動方程式でも紹介したように 　　　　※ 第2項ですでに微小振動の近似をしている。 微分すると 微小振動の近似をとって，運動方程式は となる。 およびが等しい振動数をもつ規準振動（ノーマルモード）の角振動数を求める。 として，運動方程式に代入すると条件 を得る。これを解くと， となる（複号同順）。 数値解析およびAlgodooシミュレーションによると，の変位が逆の場合のモードに対して，糸でつながれた点電荷の運動と同じ最大速の問題が生じる...
  • 二重振子の運動方程式
    二重振子の運動方程式 OKWaveのQ Aより。二重振子をラグランジアンを使わないで解く。 よく，ラグランジュ方程式の例題として用いられる二重振子。 ラグランジアンとその微分は， 　　　　※ 第2項ですでに微小振動の近似をしている。 微小振動の近似をとって，運動方程式は となる。 ラグランジアンを用いないで，力をあらわにして解いてみる。 ごちゃごちゃしてわかりにくいが，第1式は質点1の接線方向の運動方程式である。第2式，第3式は質点2の接線方向，半径方向の運動方程式だが，質点1の位置を軸としているため，慣性力が入っている。いずれにせよ，張力 を消去し，２次以上の微小項をおとして整理すると を得る。ラグラン...
  • Algodoo物理分野別リスト
    ...1.06.05)※ 二重振子のモード(2010.02.12) 水の入ったV字管つき台車(2010.01.25)※ 台車上の円柱面を上る小球(2009.11.29)※ バリスティック振子(2009.12.19)※ 滑車を回して落ちるロープ(2009.12.26)※ ばねにつりさげられた板上の物体(2009.12.22)※ 棒にかけたひもの落下(2009.12.11) アトウッドの器械(2009.12.02) 斜面上のばねと小球(2009.12.02)※ ばねと壁の間を往復する小球(2009.11.29)※ 円運動 連結による内部衝突問題(2013.01.08)　検討の余地あり 棒でつながれた質点系の運動(2012.05.20)※ 円筒面をころがる小円板(2009.11.28)※ 円筒面をすべる小球(2009.11.27) ループコースター(2009.11.22) 振動 質点...
  • 『Phun』による力学シミュレーション
    ...10.02.21) 二重振子のモード(2010.02.12) 糸でつながれた点電荷の運動(2010.01.30) 切れ目のあるリング電荷の回転(2010.01.29) 小球を発射する台車(2010.01.28) 水平面との無限回衝突(2010.01.27) 水の入ったV字管つき台車(2010.01.25) パテがくっついた棒の運動(2)(2010.01.16) ばね連結台車のキャッチボール(2010.01.14) 斜面上の斜方投射と弾性衝突(2010.01.13) 完全非弾性の斜衝突(2010.01.11) 正方形枠の回転２(2010.01.10) 正方形枠の回転(2010.01.10) 斜面をすべる台上のばね振子(2010.01.08) 斜面上で回転静止する円筒(2010.01.07) 宇宙船のスピン低減装置(2010.01.07) ２次元ばね振子(2010.01.06) 降りるお...
  • Algodooで物理問題に挑戦！
    ...10.02.21) 二重振子のモード(2010.02.12) 糸でつながれた点電荷の運動(2010.01.30) 小球を発射する台車(2010.01.28) 水平面との無限回衝突(2010.01.27) 水の入ったV字管つき台車(2010.01.25) パテがくっついた棒の運動(2)(2010.01.16) ばね連結台車のキャッチボール(2010.01.14) 斜面上の斜方投射と弾性衝突(2010.01.13) 完全非弾性の斜衝突(2010.01.11) 正方形枠の回転２(2010.01.10) 正方形枠の回転(2010.01.10) 斜面をすべる台上のばね振子(2010.01.08) 斜面上で回転静止する円筒(2010.01.07) 宇宙船のスピン低減装置(2010.01.07) ２次元ばね振子(2010.01.06) 降りるおもちゃ2題(2010.01.05) ばねと摩擦のおもち...
  • 「Algodooで学ぶ力学」出版
    「Algodooで学ぶ力学」出版 拙著「物理シミュレータAlgodooで学ぶ力学」が出版されることになりました。 工学社より，拙著「物理シミュレータAlgodooで学ぶ力学」が出版される運びとなりました。今月半ばには世に出る予定です。以下目次により概要を紹介します。ご覧のとおりのややマニアックで売れそうにない本ですが，興味がありましたらご購入下さい。価格は税込み￥2,415です。ちょっと高いですね＾＾； 【目次】 I 　Algodoo を動かしてみる 1. Algodoo（Phun）のダウンロードとインストール 2. ともかく動かしてみる 3. シーン作成の基本操作 4. 典型的な力学オブジェクトの作成 5. 簡単なシーンを作ってみる 6. ３分でできるラザフォード散乱シミュレーション II 　力学シミュレータとしての「Algo...
  • Index（内容別）
    ...10.02.21) 二重振子のモード(2010.02.12) 運動エネルギーの相対性(2010.01.31) 糸でつながれた点電荷の運動(2010.01.30) 切れ目のあるリング電荷の回転(2010.01.29) 小球を発射する台車(2010.01.28) 水平面との無限回衝突(2010.01.27) 水の入ったV字管つき台車(2010.01.25) 小球群による圧力とその解放(2010.01.23) ダークマターが公転に与える影響(2010.01.21) 自転を考慮した鉛直投げ上げ(2010.01.18) パテがくっついた棒の運動(2)(2010.01.16) ばね連結台車のキャッチボール(2010.01.14) 斜面上の斜方投射と弾性衝突(2010.01.13) 完全非弾性の斜衝突(2010.01.11) 正方形枠の回転２(2010.01.10) 正方形枠の回転(2010.01...
  • 2010年のページ
    ...求める問題。 二重振子のモード(2010.02.12) 二重振子の規準振動（ノーマルモード）のときに現れる，糸でつながれた点電荷の運動と同じ最大速問題。 相対論と電磁場の変換(2010.02.04) 物理のかぎしっぽの質問から。電磁場の変換を場の源からさぐる。 コンデンサーの貯水槽モデル（試論）(2010.02.03) コンデンサーの貯水槽モデルは，並列つなぎは水槽の水平連結を考えればよく簡単だが，直列つなぎのモデルに難がある。コンデンサーのつなぎかえ問題における貯水槽モデルの活用試論。 運動エネルギーの相対性(2010.01.31) OKWaveのQ Aより。運動エネルギーの相対性とエネルギー保存の絶対性について。 糸でつながれた点電荷の運動(2010.01.30) OKWaveのQ Aより。糸でつながれた点電荷の最大速さを求める問題。出題者...
  • 連結棒振子のカオス
    連結棒振子のカオス この話題では，本来「バンジー問題（くさり効果）の解析」の連結棒振子のおもりをとったものが解析しやすく，そのシミュレーションは『Phun』のサンプルシーンにも含まれているが，せっかく解析に成功したので，その後の振子の挙動を追跡してみた。 地面をとりはらって，3秒間のおもりの運動を追跡した。黄色い線が『Phun』によるその軌跡である。 一方，計算ソフトMathcadで数値計算した結果（赤い線）を重ねてみた。予想通り，よく似ているかなと思うのはせいぜい2～3秒で，その後次第にずれが大きくなっていく。しかしながら，3秒間の重なり具合を見ると，複雑きわまる運動方程式の計算に間違いはなかったかな？…という確認ができたのは大きな収穫。 時間をかけた数値計算に対してリアルタイムで運動を再現する『Phun』では，計算の精度は落ちるのが当然だろう。しかし，一昔前はリ...
  • ばね振子に励振される振子
    ばね振子に励振される振子 ばねによって振動するおもりに連結された振子の励振とモード間のうなり。 【問題】 ばね定数のばねの一端に質量のおもりがついて，水平に摩擦なく振動できるようになっている。おもりには長さの軽い棒が回転できるように連結され，棒の下端に質量の小球がついている。ばねが自然長にあるときのおもりの位置を原点とし，図のように座標軸をとるとき，おもりの位置を，小球の位置をで表す。重力加速度の大きさをとして，下の各問に答えよ。 (1)　おもりの位置と，棒の鉛直下方からの角度を座標として，運動方程式をたてよ。ただし，棒の角変位および角速度は，十分小さいとして，線形な微分方程式になるよう近似すること。 (2)　の極限において，二つの規準振動（モード）の角振動数を求めよ。 (3)　の下で，初期条件によって起こる，における二つのモード間のうなりの周期を求めよ。...
  • フーコーの振子の回転角
    フーコーの振子の回転角 自転角　　のとき，緯度 における振子の振動面の回転角　　とすれば，これは自転による地面の回転角に他ならない。 中心角と自転角で切り取られる台形の下底と上底の差は， は無限小としてよいから となるが，一方これは に等しいから， を得る。したがって，緯度 における１日の回転角は ° となる。
  • Index（日付順）
    ...10.02.13) 二重振子のモード(2010.02.12) 相対論と電磁場の変換(2010.02.04) コンデンサーの貯水槽モデル（試論）(2010.02.03) 2010.1(32) 運動エネルギーの相対性(2010.01.31) 糸でつながれた点電荷の運動(2010.01.30) 切れ目のあるリング電荷の回転(2010.01.29) 小球を発射する台車(2010.01.28) 水平面との無限回衝突(2010.01.27) プランク質量とプランク長(2010.01.27) AVATAR(2010.01.26) 水の入ったV字管つき台車(2010.01.25) 小球群による圧力とその解放(2010.01.23) ダークマターが公転に与える影響(2010.01.21) 動く反射壁によるドップラー効果(2010.01.20) 干渉条件と反射則の矛盾(2010.01.19) 自転を...
  • 衝突する振子のついた台車
    衝突する振子のついた台車 京都府医大 08を参考にしたオリジナル問題。 【問題】 水平面を摩擦なく動くことのできる質量 の台車上に，質量 のおもりを軽い棒につけた振子が設置してある。おもりを高さ に上げ，全体を静止した状態からおもりを放すと，おもりは最下点で台車に固定されたストッパーに，はねかえり係数 で衝突する。重力加速度の大きさを とし，おもりと台車以外の質量は無視できるものとする。また，おもりとストッパーの衝突以外で力学的エネルギーが失われることはないものとする。 [A] 台車が自由に動ける場合 (1) 衝突直前，直後のおもり，および台車の速度を水平右方向を正として求めよ。 (2) 衝突後のおもりの最高点の高さを求めよ。 [B] 台車が初め左に動けないようにした場合 (3) 衝突直前，直後のおもり，および台車の速...
  • 直線２連振子のエネルギー(3)
    直線２連振子のエネルギー(3) 引き続いて直線２連振子の運動方程式を立ててみる。おもりが棒から受ける力（エネルギー移動の主役）を考慮した立式にも挑戦。 まずラグランジュ方程式を立ててみる。ラグランジアンは， 微分すると， したがって，運動方程式は となる。実は全体の慣性モーメント を用いて回転の運動方程式を立てればそれですむことであった。 一方，図のようにおもりが棒から受ける力（束縛力）を考慮して，個別に接線方向の運動方程式を立てると， 棒の質量は無視するのだから，棒が単独で受けるトルクはゼロでなければならない。これが，いわゆる束縛条件となる。すなわち， 上２式よりを消去し，連立させても消去すれば を得る。下図はPOL...
  • 直線２連振子のエネルギー(2)
    直線２連振子のエネルギー(2) 直線２連振子のエネルギーの定量的考察を試みた。 まず，初歩的な計算で最下点までのエネルギー移動を考察しよう。 本来の題意である最下点での速さを求める。 力学的エネルギー保存により ここで， を考慮して解けば， を得る。したがって，おもり１のエネルギー変化は 　　　 同様に　　を得る。 「個別の力学的エネルギー保存が成立するのではないか」 という勘違いとともに多く見られる勘違いは， 「重心の力学的エネルギーは保存するだろう」 というものである。もちろん重心まわりの回転のエネルギーを忘れてはいけない。 重心の軸からの距離および最下点での速さ を考慮すると 失わ...
  • 直線２連振子のエネルギー
    直線２連振子のエネルギー Yahoo!知恵袋より。軽い棒で連結された２質点を振り子にしたとき，２質点間で力学的エネルギーのやりとりが起こること。 図のような軽い棒に２つの質点のついた振り子を水平位置から振らす，力学的エネルギー保存の問題。 質問者の疑問の主旨は， 「質点が棒から受ける張力は運動方向に垂直で仕事をしないのに，なぜ個別の質点で独立に力学的エネルギーが保存されないのか」 というものである。なかなかよい観点だ。 明らかに２質点間で力学的エネルギーのやりとりが行われているはずだ。つまり，質点が棒から受ける力には運動方向の成分が存在するのである。この点が糸に下げた振り子とは異なる。棒に垂直な分力が質点に仕事をすることで，２質点間にエネルギーの移動が起こっている。 下図はAlgodooによるシミュレーションで，振り子が下へ向かう...
  • 2009年のページ
    2009年のページ ターンテーブル上を歩く虫(2009.12.31) 「一般力学30講」（戸田）より。上で虫が円を描いて歩くときのターンテーブルの回転。 衝突する振子のついた台車(2009.12.30) 京都府医大 08を参考にしたオリジナル問題。 ウェイトのついたターンテーブル(2009.12.29) 「ファインマン流物理がわかるコツ」演習より。 棒が回転軸から受ける力(2009.12.28) 「ファインマン流物理がわかるコツ」演習より。 二重振子の運動方程式(2009.12.27) OKWaveのQ Aより。二重振子をラグランジアンを使わないで解く。 滑車を回して落ちるロープ(2009.12.26) オリジナル問題。滑車に巻かれたロープが，滑車を回しながら降下する運動。 回転盤の親子(2009.12.25) 「ファインマン流物理がわか...
  • 【解答】衝突する振子のついた台車
    【解答】衝突する振子のついた台車 [A] (1) 衝突直前のおもりおよび台車の速度を ，衝突直後のそれを とおくと，運動量保存により 衝突前のエネルギー保存により， はねかえり係数 により， 以上より， を得る。なお，衝突後の速度がそれぞれ衝突前の速度に を乗じたものになることは，衝突の瞬間に相対速度ゼロになったとき，どちらも絶対速度ゼロになるべきことから明らかである。 (2) 最高点になるとき，どちらも速度ゼロになるから，衝突後のエネルギー保存により 結果は，水平面への自由落下でよく知られた関係に等しい。 [B] (3) 衝突前は， また，運動量保存により はねか...
  • 実体振子
    実体振子 「ファインマン物理学」演習より。実体振子の振動特性について。 【問題】（大学レベル） 質量 ，重心まわりの慣性モーメント の剛体があり，重心から の距離のところで摩擦のない水平軸に支えられている。 (1) 微小振動の周期を求めよ。 (2) ある一つの周期を与える の値が二つ（）あり，周期が となることを示せ。 (3) 周期を最小にする ，およびその周期を求めよ。 ※ Algodoo の設定は， である。 【解答】実体振子 Algodoo シーン http //www14.atwiki.jp/yokkun?cmd=upload act=open pageid=302 file=FM21-1%2C2.phz
  • 『Phun』で半円筒振子
    『Phun』で半円筒振子 半円筒の転がり振子（修正）で解析したものをシミュレート。 (1)すべりなしの転がり振子　と　(2)摩擦なしのすべり振子を並べてみた。 ペイントで作画した半円をツールで「物体化」したが，周囲がギザギザなので質量のほとんどない円に貼り付けた。 転がり振子の重心はサイクロイドを描き（左），すべり振子の重心は上下するのみ（右）。 すべり振子の方が周期が短い。 『Phun』による半円筒振子シミュレーション http //www14.atwiki.jp/yokkun?cmd=upload act=open pageid=71 file=hanentou.phn
  • 【解答】斜面をすべる実験室内の振子
    【解答】斜面をすべる実験室内の振子 【問題】　斜面をすべる実験室内の振子 (1) 実験室内で見たおもりのつりあいは，慣性力を考慮して図の通りである。 実験室の加速度の大きさは， であるから，つりあい位置における振子の鉛直方向からの角度は， である。 (2) 実験室内は，仮想的な重力加速度が の大きさで斜面に垂直な方向を向いていると考えてよい。したがって，振子の周期は となる。
  • 支点の上下する振子
    支点の上下する振子 「一般力学30講」（戸田）より。パラメタ励振の好例。 【問題】大学レベル 長さ の軽い棒の先に，質量 のおもりがついた振子があり，その支点が強制的に上下に動かされるようになっている。支点の運動が単振動 であるものとして振子の微小振動を解析し，支点の角振動数 および初期位相 をどのようにとれば振子が励振されるか考察せよ。重力加速度の大きさを とする。 ※ Algodoo の設定は， である。クランクによる支点の運動は厳密には単振動ではない。 【解答】支点の上下する振子 Algodoo シーン http //www14.atwiki.jp/yokkun?cmd=upload act=open pageid=294 file=Parameter.phz
  • バリスティック振子
    バリスティック振子 「ファインマン物理学」演習より。振子の振れによって弾丸の速さを測定する。 【問題】 バリスティック振子（ballistic pendulum = 弾道振子）は，振子に弾丸を撃ち込んで振れた幅から弾丸の速さを測定する装置である。振子が長さ の質量が無視できる棒と，質量 の大きさが無視できるおもりで構成されているとき，質量 の弾丸を撃ち込んだところ，水平距離 だけ振子が振れた。重力加速度の大きさを として衝突前の弾丸の速さを求めよ。ただし， であるものとし，必要に応じて次の微小角の近似を用いてよい。 ※　Algodoo の設定は， である。 【解答】バリスティック振子 Algodoo シーン http //www14.atwiki.jp/yokkun?cmd=upload act=op...
  • 【解答】支点の上下する振子
    【解答】支点の上下する振子 図のような 座標 によって，おもりの位置を記述する。棒の張力を とすると，運動方程式は， となる。 振子の振れ角を とすると， 上の運動方程式にこれらを用いて， を消去すると を得る。微小振動の近似をとって， のとりかたによって，この運動方程式に支配される のふるまいがどうなるか考察する。 をかけて整理すると， この左辺は， を係数としてかけると振り子のエネルギーになっていることがわかる。 とおく。振幅 は， に対してゆるやかな関数であるから，そう長くない時間変化においては や を無視できる。このことを考慮して上のエネルギー変化の式に の表式とともに代入整理すると， ...
  • 途中にばねのついた振子
    途中にばねのついた振子 OKWaveより。途中にばねがついた軽い棒の先におもりがついている振子。 【問題】（大学レベル） 長さ の軽い棒が上端を軸に自由に回転できるようになっている。軸からの長さ のところにばね定数 のばねがついており，下端には大きさの無視できる質量 のおもりがついている。鉛直に下げた位置で，ばねは自然長となっており，振子はつりあって静止する。この振子の微小振動の周期を求めよ。ただし，重力加速度の大きさを とする。 ※　Algodoo の設定は， である。 【解答】途中にばねのついた振子 Algodoo シーン http //www14.atwiki.jp/yokkun?cmd=upload act=open pageid=262 file=OKW5528238.phz
  • 【解答】バリスティック振子
    【解答】バリスティック振子 弾丸が撃ち込まれた直後のおもりの速さを とおくと，運動量保存により また，振子の最下点から最高点までの高さは，鉛直方向からの振れ角を として， だから，エネルギー保存により 両式から を消去して， を得る。
  • 斜面をすべる実験室内の振子
    斜面をすべる実験室内の振子 斜面をすべりおりる実験室内で振子を振らす問題。 【問題】 傾角 のなめらかな斜面をすべりおりる実験室の天井に，長さ の単振子がつるしてある。おもりの質量は実験室の質量に対して十分に小さく，重力加速度の大きさを とする。 (1) 振子をある角度で放すと，そのまま実験室内で静止する。このときの振子の鉛直方向に対する角度を求めよ。 (2) 振子を(1)のつりあい位置から少しずらして放したとき，振動の周期を求めよ。ただし， は小さいものとする。 ※ Algodoo シーンの設定は，°， である。 【解答】斜面をすべる実験室内の振子 Algodoo シーン http //www14.atwiki.jp/yokkun?cmd=upload act=open pageid=223 file=Kansei...
  • 【解答】振子にとびのる小球
    【解答】振子にとびのる小球 振子の周期を とすると，小球Aが乗るまでの時間は となるべきである（証明は省くが，他の可能性はない）。 小球Aが床に達するまでの時間を とすると， 床に衝突する直前の速さは， である。はねかえり係数を とすると衝突直後の速さは である。 衝突してから最高点を過ぎて高さ に達するまでの時間を とすると， 題意より， について解くと， となる。 ※はねかえり係数 は，床と小球Aの「はんぱつの度合」パラメータの相乗平均となる。たとえば，床の「はんぱつの度合」を1として，小球Aの「はんぱつの度合」を に設定すればよい。
  • ばねで連結された振子群の振動
    ばねで連結された振子群の振動 バークレー物理学コース「波動」より。ばねで連結された振子群に生じる定常波と，分散関係。 【問題】 質量の質点が，長さの軽い糸でつりさげられ，その組が互いにばね定数の軽いばねで連結されている。振子の支点間距離およびばねの自然長はとする。全体の長さは，である。重力加速度の大きさをとする。また，以下において振動による質点の平衡位置からの変位はより十分小さく，ばねの伸縮は自然長より十分小さいものとせよ。 (1) 左から番目（）の質点の変位をとして，運動方程式をたてよ。 (2) とおいて，運動方程式に代入することによって，規準振動における振幅と角振動数の関係を導出せよ。 (3) 定常波において，　と仮定して，(2)の関係式から振幅を消去し，の波長への依存性　すなわち分散関係を求めよ。 ※　Algodooの設定は， 　　...
  • すべるブロックに連結した振子
    すべるブロックに連結した振子 宮崎大 09入試問題の発展。 【問題】 図のように，水平なレール上を摩擦なくすべる質量 のブロックに，長さ の 軽い糸をつけ，その先に質量 の小球をつないである。はじめブロックを固定して糸が鉛直方向から角度 をなすように小球を持ち上げた。小球を放すと同時に，ブロックの固定をはずすと，小球とブロックはともに運動を開始した。 (1) 小球が最下点にきたときの小球およびブロックの速度を求めよ。ただし，右向きを正とする。 (2) が十分小さいとき，振子の周期を求めよ。ただし，次の関係を用いてよい。 　　　　 【解答】すべるブロックに連結した振子 Algodoo シーン http //www14.atwiki.jp/yokkun?cmd=upload act=open pageid=237 file...
  • 単振子と壁の間を往復する小球
    単振子と壁の間を往復する小球 岡山大 09入試問題より。 【問題】 図のように，質量 の小球Aに長さ の軽い糸をつけ，なめらかな水平面上に置かれた質量 の小球Bの真上，高さ の位置から下げる。高さ だけ小球Aを持ち上げて静かに放すと，小球Aは小球Bに弾性衝突する。衝突後，Aは速度が逆向きになり，Bは水平面をすべって壁に弾性衝突をしてもどってくる。初めの衝突と同じ位置で再び衝突が起こるための，Bと壁との距離を求めよ。ただし，重力加速度の大きさを とし，Aの運動は単振子の微小振動とみなせるものとする。 【解答】単振子と壁の間を往復する小球 Algodoo シーン http //www14.atwiki.jp/yokkun?cmd=upload act=open pageid=235 file=Okayama09.phz
  • どっちがはやい？―棒振子と自由落下
    どっちがはやい？―棒振子と自由落下 棒振子の先端の落下と，自由落下の比較。 時間を座標の関数として求めるというのは，グラフ化するとき汎用性に欠けるものの，最も計算がラク。 長さ，質量の剛体棒が，その一端を軸とした振子になっているとき，初速ゼロで水平位置から角まで振れる時間を求める。 エネルギー保存により， について解けば， すなわち， Mathcadによる計算結果を示す。 棒の長さの半分落下する時間は，0.38秒。自由落下の0.45秒に比べてかなり速い。 0.38秒ぴったり。中央におもりがついた棒振り子は，すでにはねかえっている。 先におもりをつけた方がより遅くなるというのがやや意外だが，回転の慣性の特徴を示している。
  • 棒と円板の連成振子
    棒と円板の連成振子 OKWaveのQ Aから。棒と円板を連結した連成振子の運動を解析する。 支点Dを原点に，水平右方向に軸，鉛直下方に軸をとると，円板の重心座標は， 速度成分は， 速さ2乗は， 以下，エネルギーの添字1は棒，2は円板をさす。 運動エネルギー 　　 位置エネルギー ラグランジアン 　 運動方程式は， となった。Mathcadによる数値解析の結果得られた，円板の中心の軌跡を記す。Algodooでもシミュレートしてみたが，カオスの程度が深く，軌跡は傾向を示してはいるものの，ただちに数値解析結果から離れていく。 OKWavePend.jpg tatt61880さんから，シーンを大きく作れば精度が上...
  • 斜面をすべる台上のばね振子
    斜面をすべる台上のばね振子 埼玉大 03入試問題より。斜面をすべりおりる台の上で振動するばね振子の相対運動の問題。 【問題】 大きさが無視できる質量 の小球Aが，ばね定数 の軽いばねを通じて質量 の台Bの上につながれている。ばねが自然長のとき，小球Aは台Bの重心の真上にある。重力加速度の大きさを とし，摩擦や抵抗は無視できるものとして下の各問いに答えよ。 (1) 傾角 の斜面上に台Bを静止させ，小球をつりあいの位置に静止させた状態から時刻 に手を離した。AおよびBの運動方程式をたてよ。ただし，斜面にそって下向きに測ったAとBそれぞれの重心の座標を ，その加速度を とする。 (2) Bとともに動く観測者から見たAの斜面下向きの加速度 を， およびBの重心から測ったAの座標 を用いて表せ。 (3) 時刻 における， を を用い...
  • 『Phun』を力学シミュレータに(1)
    『Phun』を力学シミュレータに(1) 『Phun』はもちろん生まれながらの物理シミュレータ。ピタゴラ装置ふうのゲーム的活用も楽しいが，条件設定の機能をフルに活用すれば，本格的な力学シミュレータとして十分使えそうである。『Phun』に秘められた可能性を引き出しつつ，力学シミュレータとして仕立て上げることを考えた。 まず，力学シミュレータとして『Phun』にほしいと思うのが，スケール。そこで，物体の大きさを知る唯一の情報として，右クリックメニューのInformationから得られるArea＝面積を使うことができないか考えた。円板の面積から半径を逆算すれば画面上でのスケールを得ることができると思ったのである。この方法で1mのスケールを作ってみたが，自由落下時間を測定しても振子の周期を測っても，どうも長すぎるようだ。 それならばと，カットアンドトライで周期が2秒になる単振子を作...
  • 弾性棒とばねで連結された３連振子
    弾性棒とばねで連結された３連振子 OKWaveのQ Aより。弾性棒とばねで連結された３個の質点のモード（規準振動）を求める。 【問題】 平行に等しい間隔 になるように一端を固定された３本の弾性棒の先端に，質量 の質点をつけ，ばね定数 ，自然長 のばねで連結する。弾性棒とばねの質量は無視でき，弾性棒の先端は左右のみに変位し，変位に対して比例定数 の復元力を持つとする。この系のラグランジアンから運動方程式を求め，規準振動を考察せよ。 【解答】弾性棒とばねで連結された３連振子 Algodooシーンのダウンロード
  • 【解答】ばねで連結された振子群の振動
    【解答】ばねで連結された振子群の振動 【問題】　　ばねで連結された振子群の振動 (1) ばねで連結された質点群の横振動と同様にして，さらに重力の効果を考慮すれば，運動方程式 を得る。 (2) 運動方程式において，　etc.とおくと， を得る。 (3) を用いると となるから，これを(2)の結果に適用して， 任意のについて成立するためには， となる。すなわち，分散関係として を得る。下図は，Polymathによるのグラフである。 なお，この系にはすなわち，のモードが存在する。 基本振動においては だから，振動周期は となる（Algodooの設定で2.2sec.）。
  • 『Phun』を力学シミュレータに(2)
    『Phun』を力学シミュレータに(2) ばねによるスケールをテストしてみた。『Phun』で半円筒振子のシミュレーションシーンを計測したところ，理論値とよい一致をみた。 円筒に渡したばねの自然長（Target_length）により直径2.78mだから，半径1.39m。ちなみにInformation-Areaで得られる面積からの逆算では半径1.41mである。初期角度は40°ぐらいか？ 以上をMathcadによる数値積分に代入したところ， 転がり振子の周期　3.2sec. すべり振子の周期　2.2sec. いずれも，シミュレーションシーンの実測に一致した。 ばねの自然長をスケールとして十分使えることがわかった。
  • 『Phun』を力学シミュレータに(3)
    『Phun』を力学シミュレータに(3) ストップウォッチを作ってみた。リターンキーでストップする。大きいほうが１秒計，小さいほうが１２秒計である。単振子の周期測定をしてみた。まずまずかな？「ころりん」もリングと円板でやってみた。 ストップウォッチで単振子の周期を計測…スケール代わりに振子にばねがついている。 測定結果は大体理論どおり，いい線いってる。 円板の理論値は1.92sec.　リングはphunlet に登録していたものを読み込んだ。 『Phun』ストップウォッチで単振子の周期測定 http //www14.atwiki.jp/yokkun?cmd=upload act=open pageid=74 file=Pend2.phn 『Phun』でころりん　with ストップウォッチ http //www14.atwiki.jp/y...
  • 3.重力
    3.重力 　Phunは，重力として一様重力，また物体間の相互作用として距離に反比例する引力，距離の２乗に反比例する引力を提供する。ここでは，一様重力のみについて述べる。既定値で9.80m/で下向きの重力が設定されている。大きさと方向をOptions-Simulation［オプション-シミュレーション］メニューから変更可能である。 　簡単な重力下の運動として，まず斜方投射を例としてシミュレーションシーンを作成してみる。まず，初速度の与え方だが，簡便な方法としてPhun特有の「埋め込み発射」というのを使ってみよう。衝突する物体どうしを重ねて設置すると，Phunは異常状態を回避するためにちょうど弾性体に物体が埋め込まれていて，変形回復によってそれを放出するかのような力を物体に作用させるのである。数値設定は困難で試行錯誤によるしかないが，物体に初速を与える最も簡便なテクニックである。 ...
  • 【解答】ばね振子に励振される振子
    【解答】ばね振子に励振される振子 【問題】　　ばね振子に励振される振子 (1) 小球の位置と速度は， したがって，ラグランジアンは 　　 微分して運動方程式をたてると， の場合について近似すると， を得る。 (2) (1)で得られた運動方程式において， とおくと， これらが，に対して矛盾のない関係を与えるためには， が成立する必要がある。ここで，すなわち，の極限をとれば，規準振動（モード）の角振動数として を得る。 (3) および， は，初期条件　　を満足する。 このとき， 　　　 となるから，求めるうなりの周期は ...
  • ばね振子に励振される振子(2)
    ばね振子に励振される振子(2) ばねにつながれて振動する台の円筒内面上ですべる小球の運動。数学的には，ばね振子に励振される振子とまったく同じ。 質量の台がばね定数のばねにつながれて，なめらかな水平面上を振動する。台の上面は半径のなめらかな円筒内面になっており，質量の小球が自由にすべることができる。 棒（または糸）がない分，よりシンプルになっているが，力を書き出すかあるいはラグランジアンを書き下ろしてみるとすぐにわかるように，数学的にはばね振子に励振される振子とまったく同じ系であることがわかる。小球が棒（糸）から受ける張力が，ここでは面から受ける抗力になっている，その違いだけである。 Algodooシーンのダウンロード
  • 半球転がり振子
    半球転がり振子 半円筒の転がり振子は，実は初めは半球の振動を解析してみようと思った際，準備運動として始めたつもりだった。そこで，本題の半球の転がり振動の解析。 半円筒の解析の際，思わぬところでつまづいたが，結果的によい準備運動となった。 半球も半円筒とほとんど同じ考え方でよい。重心の球中心からの距離は，であり，したがって重心まわりの慣性モーメントも と置き換えるだけである。 半球の転がり振子ですべりのない場合は，瞬間の回転軸は常に接地点であるから， 瞬間の回転軸まわりの慣性モーメントは， 　　 　　 となる。したがってエネルギー保存は， 周期を求めると， となる。 実験用に作った半球の値mを用いて数値積分すると，の極限で，sec.を得た。実験は，ひとまず薄手のプラスチックのボール（おも...
  • 動摩擦力を受ける水平ばね振子
    動摩擦力を受ける水平ばね振子 一定の動摩擦力によって，振動中心を半周期ごとに変えて減衰振動するばね振子。OKWaveから。 一定の動摩擦力を受けて減衰する水平ばね振子においては，振動中心が半周期ごとに変わる。 自然長位置を原点として，初期条件　　の場合の解を求める。最初の半周期における運動方程式は， 各文字の意味は説明を要しないだろう。これは， と変形できて，与えられた初期条件のもとに積分すると となるから，振動の左端は である。このとき，すべり出す条件を満たしているものとして，次の半周期の運動方程式は， すなわち， 初期条件　　の下に積分すれば， となり，振動右端は である。以下，振動の端ですべり出す条件が満たされる限りにおいて...
  • 振子にとびのる小球
    振子にとびのる小球 計算練習みたいなものだが，思い通りの結果が出る楽しさを味わってほしい。 【問題】 床から の高さにある点Oを支点とした振子がある。振子は長さ の軽い棒の先に小球が乗れるトレーBがおもりとしてついている。この振子を小さな角度に持ち上げ，放すと同時に小球Aを点Oから自由落下させる。小球Aが床ではね返った後，トレーBにちょうど乗るように，小球Aと床の間のはねかえり係数を調整してほしい。ただし，小球Aと糸とは衝突をしないものとする。 【解答】振子にとびのる小球 Algodoo シーン http //www14.atwiki.jp/yokkun?cmd=upload act=open pageid=221 file=hanekaeri.phz ※はねかえり係数 は，床と小球Aの「はんぱつの度合」パラメータの相乗平均となる。...
  • 【解答】実体振子
    【解答】実体振子 (1) 支点まわりの慣性モーメントは， である。鉛直方向からの重心の角変位を とすると，微小振動の運動方程式は と書ける。したがって，振動の周期は となる。 (2) 周期の式を について整理すると， これを解くと， したがって， を得る。 (3) したがって，周期が最小値をとるのは のときで，その周期は である。 同じ周期を与える による振動
  • 『Phun』で振子時計
    『Phun』で振子時計 『Phun』にはモーターツールがあるが，あえてモーターを使わずおもりが受ける重力だけで動く振子時計に挑戦。たまにオーバーランするのはご愛嬌。 http //www14.atwiki.jp/yokkun?cmd=upload act=open pageid=99 file=Few+Minutes+Timer.phz
  • 『Phun』 で振子時計２
    『Phun』 で振子時計２ 振子時計第2号。時計らしくなってきた。秒針・分針・時針すべて中心軸に集めるのに苦労したがまずまずの出来？おもりを動力にしようと頑張ったが今のところちょっと無理。 モーターアシスト＋アンクル脱進機でひとまずがまんした。 http //www14.atwiki.jp/yokkun?cmd=upload act=open pageid=100 file=PendClock.phz
  • 7.ばね
    7.ばね 　Phunの重要なアイテムのひとつであるばね。Phunのばねは，特有の性質を持っているので使用するとき注意が必要である。ばねの強さを指定するStrength［強さ］というパラメータが設定できるのだが，このパラメータの挙動が摩訶不思議。ばねにつけたおもりの質量を変えても，鉛直ばね振子の周期が変わらないのである。したがってStrength［強さ］はいわゆるばね定数とは異なる。パラメータをいろいろに変えて周期を測定したところ，次の関係があるらしいことがわかった。 ただし，はStrength［強さ］のパラメータ値である。したがって，ばね定数との関係は となるらしい。 ところが，さらに不思議なことに両端におもりをつけて水平振動させても周期が変わらず，これがまた両端につけたおもりの質量にも無関係であることがわかった。 すると，両端に運動可能な質量がある場合は...
  • 質量比３：１の衝突
    質量比３：１の衝突 質量の鋼球が静止した質量の鋼球に弾性衝突すると，衝突後の両者の速度は逆向きで大きさが等しくなる。はね返り係数の衝突ではどうなるのか？ 質量，速度の鋼球が静止した質量の鋼球にはね返り係数で正面衝突した場合，衝突後の両者の速度が逆向きで大きさが等しくなる条件は，運動量保存およびはね返り係数の定義から となる。そこで，はね返り係数が1より少し小さいことを考慮すると，衝突後対称に分かれるためには質量比は3より少し大きくなければならない。 質量比およそ３：１の鋼球と磁製球で実際に作った衝突球では，が3より少し大きくなってしまった。でも，意外にもちょうどよく対称な別れと２度の衝突を経てはじめにもどる繰り返しがほぼ実現した。これは，はね返り係数が1より少し小さいことをが3より少し大きいことがうまく補填してくれたと思った。しかし・・・で...
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