数学の問題集 in VIP@wiki

数学の問題集 in VIP@wiki内検索 / 「12110009」で検索した結果

• 12110009
  NO.9-1 東大の過去問 難易度～☆☆★★★ 問題 66 ：以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします：2008/11/29(土) 19 14 09.94 ID XJP+DC730 10000を素因数に分解すると2＾{ア}×5＾{イ} 3以上9999以下の奇数ａとし、ａ（ａ－1）が10000で割り切れるときのａの値を考える。 2は偶数、5は奇数、ａとａ－1はお互いに素だから、奇数ａは{ウ}で割り切れる。 すなわち、ある自然数ｔとおくと、ａ＝{エ}とおける。 またａ－1は{オ}で割り切れるので、ある自然数ｓを用いて、ａ－1＝{カ}とおける。 ａ－1とａは連続する自然数だから、その差は1である。すなわち{キ}＝1である。 ここで小さい順に、ｔの値を考え、それに対して方程式が成り立つものを考えると、 ａ＜10000を満たす...
• 12110000
  1 ：以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします：2009/01/23(金) 15 05 57.78 ID eAj8iA0b0 a^3-b^3-c^3=21 を満たす整数a,b,cを求めてください 　 54 ：以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします：2008/10/30(木) 23 15 51.52 ID GYodBiaLP 【問題】 数Aを4444の4444乗とする Aの各桁の数の和をBとする Bの各桁の数の和を求めよ 補足 +... この問題は以下の問題の間違いだと思われる。 数Aを4444の4444乗とする Aの各桁の数の和をBとする Bの各桁の数の和をCとする Cの各桁の数の和を求めよ 解答 +... 7 解説 求める数をD...
• 12110004
  NO.4-1 数の大小 ～難易度☆★★★★ 問題 48 以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします 2008/11/05(水) 02 19 01.63 ID zPq0YMmyO もう１問 素数Ｐとその素数より小さい素数全ての積に１を加えたものＱはどちらが大きいか 解答 +... Ｑ 解説 ・Ｐ＜Ｑであることは、適当な数を当てはめることで容易に定められる。 ・Ｐより小さい素数の中で、最大のものをＡとする。 　また、Ｐより小さい素数（つまり、Ａ以下の素数）全ての積をＢとする。 　 　いま、Ｑ≦Ｐであると仮定する。………① 　このとき、 　 　Ａ＜Ｂ－１＜Ｂ＜Ｂ＋１＝Ｑ≦Ｐ………② 　が成り立つ。 　Ａより大きい最小の素数はＰであるため、 　②を満たす（Ｂ－１）は合成数であり、 　（Ｂ－１）より小さい何らかの素数、...
• 12110012
  12-1　合同式を利用した整数問題 ～難易度☆★★★★ 問題 8 ：以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします：2009/03/10(火) 00 15 46.13 ID 3FBaKJZe0 x^2+y^2=2009を満たす自然数組(x,y)をすべてもとめよ 解答 +... (x,y)=(28,35)(35,28) 解説 右辺は2009＝41*7^2より左辺も7の倍数。 以下合同式の法を7とする。 x≡a(mod7)の時(-3≦a≦3とする)←(a=0～7でもよいが計算の簡略化のため) x^2≡f(a)(mod7)とおくと f(0)≡0,f(1)≡f(-1)≡1,f(2)≡f(-2)≡4,f(3)≡f(-3)≡2である。 x^2+y^2≡0を満たすx,yは上の結果からともに7の倍数でな...
• 12110001
  NO.1-1　有理数解 問題 1 ：以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします：2008/10/26(日) 19 00 55.49 ID 5reyIu1Z0 a＾3＋b＾3＝17　(a,bは有理数) a,bを求めよ 解答(不完全) +... {a,b}={-1/7,18/7}(他にもあるかも) 解説 mod7で考えると矛盾するので、a,bは分母が7の倍数であると推測できる。 参考 http //www.asahi-net.or.jp/~KC2H-MSM/ec/eca1/index.htm NO.1-2　p^q=q^pの問題 問題((2)は有名問題を改題) (1) 23 ：以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします：2009/03/16(月) 20 29 12...
• 12111004
  NO.7-1　余りの問題 問題 98 ： ◆fV8WklhOUQ ：2008/10/31(金) 00 32 40.44 ID ciaCpCcqO a,b,cは1 a b cを満たす整数で (ab-1)(bc-1)(ca-1)はabcで割りきれる このときa,b,cの組を求めよ 解答 +... (a,b,c)=(2,3,5) 解説 (ab-1)(bc-1)(ca-1)=(ab^2c-b(a+c)+1)(ca-1) =a^2b^2c^2-abc(a+c)+ca-ab^2c+ab+bc-1 =abc(abc-(a+b+c))+ab+bc+ca-1 これがabcで割り切れるので (abc)k=ab+bc+ca-1とあらわされる。 変形して、 k+1/abc=1/a+1/b+...
• 12111009
  NO.19-1　相反方程式 ～難易度☆☆★★★ 説明 相反方程式が使えるのは限られたケースにおいてのみです。 (x+a/x)^2+p(x+a/x)+q=0を展開して x^4+px^3+(q+2a)x^2+apx+a^2=0 これより、x^4の係数 x^0の係数=1 a^2,x^3の係数 xの係数=1 aの時に相反方程式の解法が使えます。 つまり、x^0の係数/x^4の係数=(xの係数/x^3の係数)^2の時に使えます。 問題 (1) 1 ：以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします：2009/03/06(金) 02 28 58.65 ID 8cTUeJQtO x^4+3x^3-2x^2+3x+1=0の実数解を求めよ (2) 64 ：以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします：2009/04/05(日) 21 16 14.52 ID hWQ...
• 12110007
  公式 最大公約数と最小公倍数の関係～任意の自然数a,bについてそれらの最小公倍数をg,最大公約数をGとして、a=a g,b=b gとなるようにa ,b を定めると(a とb は互いに素) 　　この時、最大公約数と最小公倍数の関係は以下のように表される。 G=a b g a とb の最小公倍数は、a とb が互いに素だからa b です。 　　　　　　　　よって、a gとb gの最小公倍数はa b gとなります。 NO.7-1 最小公倍数と最大公約数 難易度～☆☆★★★ 問題 6 ：以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします：2008/11/29(土) 18 00 43.88 ID XJP+DC730 制限時間14分　難易度３（実戦基礎） 　たてがａ、よこがｂ（ａ＜ｂ）の長方形を隙間なく並べて、面積が最小の正方形...
• 12111008
  NO.18-1　多重根号 ～難易度☆☆★★★ 問題 90 ：以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします：2009/02/19(木) 22 27 10.77 ID RrU7YxGL0 計算せよ √(1001√(1000√(999√(998*996+1)+1)+1)+1) 解答 +... 1000 解説 (n+1)(n-1)+1=n^2であることを利用します。 この式より √(1001√(1000√(999√(998*996+1)+1)+1)+1) =√(1001√(1000√(999√(997^2)+1)+1)+1) =√(1001√(1000√(999*997+1)+1)+1) =√(1001√(1000*998+1)+1) =√(1001*999+1) =1...
• 12110006
  N0.6-1 一定区間内の任意の三点 難易度～☆☆★★★ 問題 20 ：以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします：2008/11/28(金) 22 14 52.80 ID qq5l0/gR0 nを自然数とし、座標平面上でx座標、y座標がともに0以上n以下の整数である点を3頂点にもつ三角形の面積をSとする。 Sは何種類の値をとりうるか。 解答 +... n^2種類 解説 1/2≦S≦n^2/2であることは容易に分かる。 それぞれの三点を A(a,b)B(c,d)C(e,f)とすると(a c e) 直線ACはy=(f-b)/(e-a)×(x-a)+b でx座標がcの時のACのy座標はy=(f-b)/(e-a)×(c-a)+b(ただし、これをd未満とする。) S=1/2×(e-a)×(d-(f-b)/(e-a)×(c...
• 12111010
  NO.10-1　割合と連立方程式 ～難易度☆☆★★★ 問題 1 ：以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします：2009/01/11(日) 00 33 13.28 ID A7f12GYx0 P社の昨年度の従業員総数は2000人で、本年は総数で18％増加したが、 内訳は本採用者は10％の増加で、臨時工は90％の増加という。 本年度の臨時工は全部で何人になったか。 解答 +... 380人 解説 昨年度の臨時工の数をx人,本採用者をy人とする。 2000×1.18=x×1.9+y×1.1…① 2000=x+y…②の連立方程式を解きます。 2000×118=190x+110y(①×100) 2000×110=110x+110y(②×110) これより 8×200...
• 12110008
  説明 約数の個数の公式～任意の自然数kで定まるa_kは互いに異なる素数を表しb_kを自然数とする。 　 　　　この時、自然数Π[k=1,m](a_k)^(b_k)の約数の個数は (b_m+1)*(b_(m-1)+1)*…*(b_1+1)個 (=Π[k=1,m](b_k+1)個) なぜこうなるかというと、例えばN=2^3*3^2の時の約数は2^m*3^nで表されます。 　　　　　　　　　ここで、mの選び方は0～3,nの選び方は0～2通り。 　　　　　　　　　この組み合わせを掛け合せて(3+1)(2+1)=12通りです。 　　　　　　　　　このようにしてそれぞれの素数についてのm乗の選び方 　　　　　　　　　の組み合わせを求めます。 約数の総和の公式～任意の自然数kで定まるa_kは互いに異なる素数を表しb_kを...
• 整数問題
  ...問 NO.12110009　因数分解,互いに素-9問 NO.12110010　整数部分,小数部分-1問 NO.12110011　カタラン予想？？-3問 NO.12110012　合同式と倍数の条件-5問 NO.12110013　n進法-1問 NO.12110014　各桁の和-1問 NO.12110015　ユークリッドの互除法-1問 NO.12110016　ペル方程式-1問 整数
• 12111001
  NO.2-1 式変形１～ 難易度☆☆☆☆★ 問題 25 ：以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします：2008/10/29(水) 21 37 19.15 ID 4dQj4+CX0 {(x^ -2 )-(y^ -2 )}/{(x^ -1 )+(y^ -1 )} ↑この式を最も簡単な式で表せ。 解答 +... 1/x-1/y 解説 26 ：以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします：2008/10/29(水) 21 39 25.57 ID GIEa1KdF0 分母分子にx^2y^2をかければ (y^2-x^2/(xy^2+x^2y) =(y-x)/xy =1/x-1/y NO.2-2 式変形２ ～ 難易度☆☆☆☆★ 問題 35 ：以下、名無しにか...
• 12110005
  NO.5-1　メルセンヌ素数 ～難易度☆☆★★★ 問題(改題) 108 ：以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします：2008/11/17(月) 21 10 58.16 ID m5YHj5290 問題 m^n-1は素数である。 (1)mの値を求めよ。 (2)nは素数であることを証明せよ。 補足 m,nは自然数 n≧2 解答 +... (1)m=2 (2)解説参照 解説 (1) m^n-1=(m-1)(m^(n-1)+…+1)と因数分解されることから m-1≧2の時、素数という条件に反するため、m-1=1。 ∴m=2。 (2) nを合成数と仮定し、n=abとし、2^a=pとでもおく。(a,b≧2) p^b-1=(p-1...
• 12111007
  NO.17-1　因数分解 ～難易度☆☆☆☆★ 問題 1 ：以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします：2009/02/18(水) 22 16 11.68 ID KDIwLlOM0 a^3(b-c)+b^3(c-a)+c^3(a-b) を因数分解せよ 解答 +... =-(a-b)(b-c)(c-a)(a+b+c) 解説 常識的に考えて降冪の順に並び替え。 因数分解の方法は次数の最も低いものを基準にして降冪の順に並べるのが基本。 a^3(b-c)-a(b^3-c^3)+bc(b^2-c^2) =a^3(b-c)-a(b-c)(b^2+bc+c^2)+bc(b-c)(b+c) =(b-c)(a^3-a(b^2+bc+c^2)+bc(b+c)) =(b-c)((c-a)b^2+(c...
• 12111006
  NO.15-1 絶対値つき二次方程式 難易度～☆☆★★★ 問題 165 ：以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします：2008/11/29(土) 22 21 37.88 ID XJP+DC730 ｜ｘ＾2－2ｘ－15｜－ｘ－3＝0　の解はｘ＝{アイ}、{ウ}、{エ} 方程式が異なる二つの解を持つときのｘの範囲は{オカ}≦ｘ＜{キ}、この範囲に ｘ＾2－（ａ＋ｂ）ｘ＋ａｂ＝0（0＜ａ＜ｂ）が異なる二つの整数解を持つと考える。 この2次方程式の解をＡ,ＢとするとＡ Ｂ＝2 3が成り立つ。この時Ａの取りうる値は{ク} ｘ－4＜2ｋ＋1……①　2ｘ－6≧－12……②とする連立不等式が{オカ}≦ｘ＜{キ}に含まれるとき、ｋの範囲は{ケ}（以下から選ぶ） ケ　①ｋ＜－4　②ｋ≦－4　③ｋ＜0　④ｋ≦0　⑤ｋ＜4　⑥ｋ≦4 解答 +.....
• 12110013
  NO.13-1　進法による桁数の違い ～難易度☆☆☆★★ 問題 112 ：以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします：2009/05/25(月) 00 25 49.49 ID O8smd9mP0 ある数を５進法で示しても、７進法で示しても４桁だった。この数を３進法で示すと何桁になるか？ 解答 +... 6桁 解説 ある数をnとして 7^3≦n＜7^4 5^3≦n＜5^4より 7^3≦n＜5^4で 343≦n＜625 3^k≦n＜3^(k+1)としてk=5の時 243≦n＜729だから 3^5≦n＜3^6 ∴nは3進法で6桁
• 12111005
  NO.9-1　相加相乗と組み合わせ ～難易度☆☆★★★ 問題 1 ：以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします：2008/11/05(水) 21 06 05.54 ID HcPCmWEH0 n≧2の時、 1^n×2^(n-1)×…×n^1＞(n・n!/2^n)^((n+1)/2) が成立することを証明せよ 解答 +... 相加相乗平均よりn≧2では、等号成立はしないから 2^n=nC0+nC1+……+nCn＞(n+1)×(nC0・nC1・…・nCn)^(1/n+1) 2^n^(n+1)＞(n+1)^(n+1)×(n!^(n+1)/(0!・1!・…・n!)^2) (0!・1!・…n!)^2＞(n・n!/2^n)^(n+1) 1!・2!・…n!＞(n・n!/2^n)^((n+1)/2) 1...
• 12110015
  NO.15-1　ユークリッドの互除法 ～難易度☆★★★★ 問題 18 ：以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします：2009/02/18(水) 22 50 16.78 ID KDIwLlOM0 問題３ m,nは自然数で互いに素ならば，2^m-1,2^n-1も互いに素であることを示せ． 解答 +... 30 ：以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします：2009/02/18(水) 23 11 07.56 ID 46KYa6Qc0 18 m nとしても一般性を失わない 2^m-1と2^n-1の公約数は、2^m-1と((2^m-1)-(2^n-1))の約数と等しい 2は公約数になりえないので、2^m-1と2^(m-n)-1の公約数とも等しい 以下ユークリッドの互除法を用いて、2^1-1との公約数=1に...
• 12110014
  NO.14-1　各桁の和 ～難易度★★★★★ 問題 220 ：以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします：2009/06/20(土) 22 18 09.82 ID JJKvnm3h0 自然数ｎを10進法であらわしたときの各桁の数の和をｆ(ｎ)で表す a+ｆ(a)=ｂ+ｆ(ｂ)=ｃ+ｆ(ｃ)を満たす異なる3つの自然数は存在するか？ 解答 +... 存在しない。 解説 証明が難しいというのが感想。(あってるか自信なし。) とりあえず、a＜b＜cとする…① 例を考えると たとえばa=99,b=108として 99 18 117 108 9 117となる。 このように桁が変わらないとこのようなことがおこらないことを示す。 (Ⅰ)aとbが同じ桁数n桁であり、最高位の数が同...
• 12110003
  NO.3-1　分数の整数問題 ～難易度☆☆☆★★ 問題 63 ：以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします：2008/10/30(木) 23 33 31.85 ID khRNV4zVO 61 (1/x)+(1/y)+(1/z)=2 x y zは自然数 ほい 解答 +... (2,2,1),(2,1,2),(1,2,2) 解説 x≦y≦zとしても一般性を失わない。 x=y=z=2の時3/2＜2なので不適。 よってx=1である。 1/y+1/z=1 (y-1)(z-1)=1 よって、y=2,z=2 これより(1,2,2)に限る。 最後にこれを並び替えて (1,2,2),(2,1,2),(2,2,1)が答え NO.3-2　分数...
• 12110002
  NO.2-1　素数判定　～難易度　？ 問題 38 ：以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします：2008/10/29(水) 22 23 51.31 ID GIEa1KdF0 問題 2^2017-1は素数か合成数か？ 解答 +... 合成数である。 解説(不完全) 2^n≡1(mod p)となるpを探す。（p≧3の素数） ここで、2^nのnを大きくしていってpで割った余りが1となった時に余りが循環することを示す。 n=1の時の余りは、2である。 2^n=ap+1の時、2^(n+1)=2ap+2より、余りは2となって余りが1になった時に余りが循環する。 ここで、2017は素数より 余りの循環が2017である素数を探せばいい。 これには、p≧2017である必要がある。 これ以上、わかりません＞？＜・・・ 補...
• 12110011
  NO.11-1　カタラン予想とその発展 ～難易度★★★★★？ 問題 a,b,cは1≦a≦b≦cを満たす整数とする。また、nを自然数とする。 このとき2^a＋2^b＋2^c＝6^nを満たす(a,b,c,n)の組をすべて求めよ。 解答(不完全) +... (1,1,5,2),(1,1,1,1),(2,4,4,2),(4,8,10,4) 解説(不完全) (1)a nについて 94 ：以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします：2009/03/07(土) 02 20 50.25 ID pMTYt3Xh0 とりあえずa＜nはわかったと思う 2^aで両辺を割って 1+2^(b-a)+2^(c-a)=3^n*2^(n-a) b=aでないと偶奇から満たさないから 2+2^(c-a)=3^n*2^(n-a)...
• 12111011
  NO.11-1　特別な三次方程式 ～難易度☆★★★★ 問題 45 ：以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします：2008/10/30(木) 23 02 55.80 ID khRNV4zVO 自作 ３次方程式 x^3-3x+1=0 の3解を大きいほうから α β γとしたとき α^2+β^2+αの値 解答 +... 4 解説 12130001のNO.1-1に深く関係している。 ただ、ここでは早大の問題の小問を引用させてもらった。 β=α^2-2,γ=β^2-2としてあらわせることを示す。 β^3-3β+1 =(α^2-2)^3-3(α^2-2)+1 =(α^6-6α^4+12α^2-8)-3(α^2-2)+1 =α^6-6α^4+9α^2-1 ...
• 1211012
  NO.12-1 絶対値つきの式 ～難易度☆☆☆★★ 問題 87 以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします 2009/07/20(月) 01 26 57.47 ID ycE4sF350 [sage] 直感で答えよう nが整数であるとき、S=|n-1|+|n-2|+…+|n-100|の最小値と、その時のnの値を求めよ。 レベル2おっぱい 解答 +... 2500 n=50,51 解説 f(x)=|x-1|+|x-2|+…+|x-100|を考える。 n≦x≦n+1の時について考えると n≦49の時xの係数は負なので減少関数。 n=50の時xの係数は0で定数。 n≧51の時xの係数は正なので増加関数。 これよりn=50とn=51で最小。 この時、 f(50)=49+4...
• 12110010
  NO.10-1　整数部分と小数部分　難易度～☆☆★★★ 問題 228 ：以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします：2008/11/29(土) 23 39 14.10 ID XJP+DC730 Ｘの整数部分をｘ＾2＋ｘ、小数部分をｐとする。すなわちＸ＝[Ｘ]＋ｐ、 [Ｘ]はＸを超えない最大の整数を示す。またＸ＋ｐ＝7/2を満たすものとする。 以上より、次の不等式が成り立つ。Ｘ≦7/2＜Ｘ＋{ア} このとき、[Ｘ]＝{イ}または{ウ}となる。ｘ＝{エオ}、{カ}のとき、Ｘ＝{キク}/4、 ｘ＝{ケコ}±√{サシ}/2のとき、Ｘ＝{スセ}/4 解答 +... (ア)1　(イ,ウ)2,3 (エオ,カ)-2,1　(キク)11　(ケコ,サシ)-1,13　(スセ)13 解説 (ア) Ｘ≦Ｘ+p＜Ｘ+...
• 12110016
  NO.16-1　整数問題と領域の融合+ペル方程式 難易度～★★★★★ 問題 135 ：以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします：2009/01/17(土) 22 54 58.47 ID I/+beas90 [x]はx以下の最大の整数を表す。 z=[x]^2+x^2とする。ただしxは実数。 この時zの値として存在しない実数の集合をAとする。 Aの中に平方数はいくつあるか？ 解答 +... 無限に存在。 解説 とりあえずAを求めます。 y=[x]としてz=y^2+x^2となるのでzはy=[x]上のある点から原点までの距離の二乗である。 ⇔原点から円をかいた時にy=[x]と交わらない時の半径の二乗がAに含まれる。 これを調べて Aは0未満の実数とN^2+(N+1)^2(Nは整...
• 12210001
  NO.1-1　傍接円と面積 ～難易度☆★★★★ 問題 　54 ：以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします：2008/10/26(日) 21 54 00.65 ID Boluhyw10 △ABCの面積が2^2n 傍接円の半径が2^nと2^(n-1)があることがわかっている。 この時のもうひとつの傍接円の半径を決定せよ。 予想解答 +... (3+√(9+2^(n+1)))/2^n 予想解説 imageプラグインエラー ご指定のURLはサポートしていません。png, jpg, gif などの画像URLを指定してください。 必要な公式：ヘロンの公式 辺の長さがa,b,cの三角形の面積Sは、S=√(a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)/4で表される。 また、内接円の半径が...
• 12111003
  問題 278 ：以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします：2008/11/02(日) 23 41 01.68 ID RKGjiHMW0 数学的なもの √( X+√( X+√(X+・・・) ) ) = √2 X=? 補足 ひとつあげよ 解答 +... 2-√2 解説 数列でSnの一般項を出して極限をとるにしてもなかなかうまくいきません。。。 展開して見ましょう。（少し、あいまいな部分がありますが…） √(X+√(X・・・・・)))=√2 √(X+√(X+・・・・)))=2-X 左辺が等しいから 2-X=√2より X=2-√2
• 12111014
  NO.14-1　大小比較　★３ 問題 59 ：以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします：2010/01/08(金) 17 11 50.40 ID XXUGoCq00 息抜きにどうぞ つ　(2008/2009)^2009 と (2009/2010)^2010 の大小を比較せよ 解答 +... (2008/2009)^2009＜(2009/2010)^2010 解説 関数化して一般化して考える f(x)=((x-1)/x)^x=(1-1/x)^xのx=2009の時とx=2010の時の大小を比較する。 以下x＞1について考える。 f (x)=(e^xlog(1-1/x)) =e^xlog(1-1/x)*(xlog(1-1/x)) =e^xlog(1-1/x)*(log(x...
• 12111002
  NO.4-1 多項式　～難易度☆☆★★★ 問題(自作) 3次以上の多項式P(2x)をx(x^2-1)で割った時の商をQ(x)とするとnを適当に定めることで P(2x)=x(x^2-1)Q(x)+P(x-1)+P(x)+P(x+1)+3x^nが任意のxについて満たされるという。 この時のP(x)を決定せよ。 解答 +... P(x)=-x^3-2x 解説 典型的な多項式の割り算の問題ですが、少し捻ったつもりです。 P(x)の次数をmとする。 するとx(x^2-1)で割った時の余りは二次式以下であるから P(x+1)P(x-1)+x^nは二次以下である。 P(x+1),P(x-1)がm次よりm≧4とするとP(x+1)+P(x-1)+x^nが三次式を超えるため不適。 また、m≧3よりm=3に決定する...
• 12210009
  NO.9-1 内心の性質 ～難易度☆☆★★★ 問題(自作) 三角形ABCの内心をIとして AIとBCの交点を点Dとして以下同様にして点E,点Fをとる。 AI ID=3 2,BI IE=4 3とする。 (1)AB BC CAを求めよ。 (2)CI IFを求めよ。 解答 +... (1)6 14 15 (2)29 6 解説 内心ということから、角の二等分線を色々な見方で使う問題です。 (1)角の二等分線の公式より AI ID=AB BD=AC CD=3 2 BI IE=BC CE=BA AE=4 3 この結果を纏めます。 (AB+AC) (BD+CD)=(AB+AC) BC=3 2より(ⅰ)3BC=2(AB+CA) 同様にして(ⅱ)4CA=3(AB+BC)が導かれます。 ...
• 12111013
  NO.13-1　円周率の評価 ★４ 問題（元ネタは東大 03） 13 ：以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします：2010/01/07(木) 00 11 56.85 ID 5nmEyT3M0 円周率は3.05より大きいことを証明せよ 解答 +... 解説参照 解説 （超有名問題なのですが一応…） 円と正多角形を書く方法とか色々あるんですが… あえて、無意味な解法で π=4Σ[k=1,∞](-1)^(k-1)/(2k-1) 　（証明は210152の２番） を用いて以下の不等式から題の不等式が示される π＞4*(1/1-1/3+1/5-1/7+1/9-1/11+1/13-1/15+1/17-1/19+1/21-1/23) ＞3.05
• 式
  NO.12111001　式変形-5問 NO.12111002　多項式-1問 NO.12111003　無限に続く式-1問 NO.12111004　余り-4問 NO.12111005　相加相乗平均-4問 NO.12111006　二次方程式-1問 NO.12111007　因数分解-3問 NO.12111008　多重根号-1問 NO.12111009　特別係数の方程式の問題-1問 NO.12111010　方程式・連立方程式 2問 NO.12111011　三次方程式の解の関係 1問 NO.12111012　絶対値つきの式 1問 NO.12111013　数学定数の評価 1問 NO.12111014　大小比較の問題 1問 NO.12111015　センター試験ⅠA 1...
• 12120002
  NO.2-1　二次関数 ～難易度☆★★★★ 問題 211 ：以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします：2008/11/29(土) 23 22 10.82 ID XJP+DC730 xy平面にy=－x＾2＋6x－14があり、この放物線を①とする。 （1）この放物線の頂点をＣとする。この放物線を原点に関して対象移動したとき、 　放物線を②として、その頂点はＡとなった。Ａの座標は（{アイ}、｛ウ｝）である。 （2）②をx軸に関して対称移動した放物線の頂点をＢとして、さらにその放物線 　を原点に関して対称移動した放物線の頂点をＤとする。ＡＢＣＤをこの順で結 んで出来る四角形は辺上に格子点（x,yがともに整数の点）を｛エオ｝個含む。 （3）四角形ＡＢＣＤは境界線を含んでグラフＴの領域とする。すなわちＴの変域は ｛カキ｝≦x≦｛ク｝、値域は｛ケコ｝≦y≦{サ...
• 12130007
  NO.7-1　テイラー展開? ～難易度★★★★★? 問題 45 以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします 2008/11/05(水) 02 15 36.19 ID w0+jQx6fO 自然対数の底ｅの小数第２位の値は１であることを示せ。 予想解答 +... テイラー展開を用いて e=1+1/1!+1/2!+1/3!+1/4!+………とあらわされる。 f(n)=1+1/1!+…+1/n!と定める。 f(5)=1+1+1/2!+1/3!+1/4!+1/5!=2+(60+20+5+1)/120=2+43/60＜e 2.71 2+2/3+1/20 eより、2.71 eは示された。 次にe 2.72を示す。 f(n+1)=f(n)+1/n!で1/n!に初めて小数点第m位に0以外の数が表れる時、n!の桁...
• 12210005
  5-1 内接円と正方形 ～難易度☆★★★★ 問題 30 ：以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします：2008/11/25(火) 00 35 53.22 ID Cx7wJ4f8O 四角形ABCDは一辺の長さが１の正方形で、２つの円は合同である さて、その半径はいくらだろうか 解答 +... r=1/(√2(√2+1)+√2+2) 解説 半径をrとしてその半径の値はBE=xとして△ABEと△AECの面積をS,Tとして r=2S/(1+x+√(x^2+1)),r=2T/(1-x+√2+√(1+x^2)) また、高さをABとみて、BE,ECを底辺にした三角形と考えて面積を計算した S=1*x/2,T=1*(1-x)/2を代入してrを消去する。 x(√2+1-x+√(1+x^2))=...
• 12210011
  NO.11-1　内接四角形の面積 ～難易度☆☆★★★ 問題 21 ：以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします：2009/06/13(土) 14 12 15.27 ID PCPBFDS20 直径ABとする円の円周上にAC=BCとなる点Cをとる。 また、ABに関してCと反対側に∠ABD＝30°となるように円周上に点Dをとる。 CD＝6のとき，四角形ACBDの面積はいくらか。 解答 +... 18 解説 この形からしてトレミーの定理を使うと一般的に解ける。 トレミーの定理 "円に内接する"四角形の対辺の積の和＝その四角形の対角線の和 AC=BC=rとすると条件より AB=√2r,AD=r/√2,BD=√3r/√2からトレミーの定理より AC*BD+AD*B...
• 12120004
  NO.1-1　三角関数を用いる問題 ～難易度☆☆★★★ 問題 299 ：以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします：2009/02/19(木) 23 58 11.79 ID aR6s0m7p0 x^2+y^2=2のとき、xyの最大値と最小値 今適当に作ってみた 解答 +... 最大値1,最小値-1 解説 (x/√2)^2+(y/√2)^2=1ですので x/√2=sinθ,y/√2=cosθとおける。(0≦θ＜2π) xy=2sinθcosθ =sin2θ 1≦sin2θ≦1 ∴最大値1,最小値-1
• 12210007
  NO.7-1　三角形の辺と角 ～難易度☆☆★★★ 問題 1 ：以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします：2009/03/19(木) 21 35 57.41 ID dAudADTR0 △ABCにおいて、AB=1,BC=a,CA=bとする。 2A+3B=180°が成立するときb^2=1-aであることを示せ 解答 +... 2A+3B=180°より C=A+2B。…① そこで以下の図のように補助線と点D,点Eをとる。 imageプラグインエラー ご指定のファイルが見つかりません。ファイル名を確認して、再度指定してください。 (図形.jpg) すると∠CED=∠CDE=●+○なのでCE=CD=xとおく。 △ACE∽△CBDよりAC CB=CE BD=EA DC…② これより、AE=bx/a,...
• 12120009
  二次関数 問題 F(x)=5*(sin x)^2－10*a*sin x－n 　a,xは実数，nは自然数とする。 一般的なnについて，F(x)=0の解が存在するのはaがどのような値をとるときか。
• 12160008
  NO.8-1　積分 ～難易度☆☆★★★ 問題 1 ：以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします：2009/06/24(水) 10 29 01.75 ID 1aHQbrpU0 ∫０～π（（exp（x））（sin　x）＾2乗）ｄｘ　＞　８ 補足 これを証明せよ。また、exp(x)=e^x,e＝2.7…,π=3.14… 解答 +... 解説通り 解説 ∫(0→π){e^x(sinx)^2}dx 8を示す。 部分積分(循環型) 左辺=∫(0→π){e^x(sinx)^2}dx=∫(0→π){e^x(1-cos2x)/2}dx =∫(0→π){e^x/2}dx-I_1(I_1=∫(0→π){cos2x)/2}dxとおく) (I_1=[e^xsin2x/4](0→π)-∫(0...
• 12210004
  NO.4-1　五心 ～難易度★★★★★ 問題 101 ：以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします：2008/11/10(月) 21 58 07.22 ID VOeQFfO10 問題 三角形APBの外心を点O、内心を点I、垂心を点Hとなるようにとる。 ∠APB=60°∠HIO=160°の時、∠PABを求めよ。 解答 +... 40°,80° 解説 A,O,I,H,Bが同一円周上にあることを示します。 ∠AOB=2×60°=120° ∠AIB=(180-(180-60)/2)°=120° ∠AHB=30+30+60=120° これは、調べることによって判明しますので、∠AOB=∠AIB=∠AHB=120°となる。 また、AM=OM=BMから、A,Bを通る円M上にO...
• 12111015
  NO.15-1　センター試験ⅠA-1 問題 暇だったから作った　不適切なら削除してください あとタイトルミスった α=(√7-√3)/(√7+√3)とする。αの分母を有理化すると α=([ ア ]-√[ イウ ])/[ エ ] となる。 2次方程式 6x^2-7x+1=0の解は x=[ オ ]/[ カ ] , [ キ ] である。 次の(0)～(3)のうち最も小さいものは[ ク ]である。 (0)　([ ア ]-√[ イウ ])/[ エ ]　　　　(1)　[ エ ]/([ ア ]-√[ イウ ]) (2)　[ オ ]/[ カ ]　　　　　　　　　　 (3)　[ キ ] 解答 +... ア～エ　α=([ 5 ]-√[ 21 ])/[ 2 ] (3点) オ～キ　x =[ 1 ]/[ 6 ] , [ 1...
• 12160004
  NO.1-1　面積の計算 ～難易度☆☆☆★★ 問題 1 ：以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします：2009/04/12(日) 21 41 38.71 ID U4wuXEcQ0 a,bを正の定数とする。2つの曲線 y=x^3+bx^2, y=ax^2+abxによって囲まれる 2つの部分の面積の和をSとする。 1)Sをa, bで表せ 2)a+b=1のとき、Sを最小にするa, bの値と、そのときのSの値を求めよ。 解答 +... (1)S=(a^4+b^4)/12+ab(a^2+b^2)/6 (2)a=b=1/2,S=1/32 解説 (1) とりあえず交点の座標は x^3+bx^2=ax^2+abx x(x^2+bx)=a(x^2+bx)から x(x-a)(x+b)...
• 12120006
  NO.3-1 軸との交点 ～難易度☆☆☆★★ 問題 306 ：以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします：2009/03/03(火) 01 00 35.39 ID VNDepRVA0 円　(x-2)二乗　+　(y-1)二乗　=4　と x軸との共有点を求めよ。 解答 +... (2+-√3,0) 解説 x軸との交点⇔y=0 よってy=0を代入すると (x-2)^2=3 x-2=+-√3 x=2+-√3
• 12210015
  N0.15-1　正方形の分割　～★３ 問題 1 ：以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします：2009/11/10(火) 16 05 32.43 ID o4zxNs3Q0 これ解けるか？ 正方形ABCDがある 辺BC,CD,DAそれぞれの中点をP,Q,R,とおく 辺ABを三等分した点をそれぞれS,Tとおく 正方形ABCDの内部に適当においた点Uと点P,Q,R,S,Tをそれぞれ結ぶ この時できる四角形の面積はそれぞれ ASUR=216　TBPU=324　CQUP=378　DQUR=270である この時、三角形STUの面積を求めよ 文字にするとわけわかんなくなっちゃうけど 絵にするとわかりやすいからやってみて！ 解答 +... 108 解説 上図の正方形につい...
• 12130003
  NO.3-1　sin^2θ+cos^2θ=1の式変形 ～難易度☆☆☆☆★ 問題 296 ：以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします：2009/02/19(木) 23 57 10.92 ID 1M3NfNa90 sinθ+cosθ=√3/2　のときの （1）sinθcosθ （2）sin＾4+cos＾4θ 解答 +... (1)-1/8　(2)31/32 解説 この手の問題は二乗を上手く使うのがよいです。 (1) (sinθ+cosθ)^2=3/4 sin^2θ+cos^2θ+2sinθcosθ=3/4 1+2sinθcosθ=3/4 2sinθcosθ=-1/4 ∴sinθcosθ=-1/8 (2)sin^4θ+cos^4θ=(sin^2θ+cos^2θ...
• 12120007
  NO.4-1 定点　～難易度☆☆☆★★ 問題 13 ：以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします：2009/05/09(土) 15 31 32.60 ID DIUJP/7i0 kがk≠-√2を満たす定数であるとき x^2+y^2-1+k(x-y-√2)=0はkの値に関わらず定点Aを通る。定点Aの座標を求めよ。 解答 +... A(1/√2,-1/√2) 解説 kの値に関わらずということは、恒等式の考え方を用いて x^2+y^2-1=0…① x-y-√2=0…②をともに満たす(x,y)がAである。 あとは、y=x-√2を①に代入して x^2+(x-√2)^2-1=0 2x^2-2√2x+1=0 (√2x-1)^2=0より x=1/√2,②に代入してy=-1/√2...
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