数学の問題集 in VIP@wiki

数学の問題集 in VIP@wiki内検索 / 「210142」で検索した結果

• 210142
  配点(250点満点) ①60点②60点③70点④60点 解答 ①(a,b,c)=(2,2,2) ②n=1の時m通り n≧2の時A_n=(m-1)(　(m-1)^(n-1)-(-1)^(n-1))通り ③(1)2　(2)3/2+√3log(2-√3)/4 ④3√3/π-3/2 各問の必要な知識と難易度 ①内心,整数問題 ☆☆★★★ ②順列,数列,漸化式　☆★★★★ ③(1)展開図(積分の線の長さ)　☆☆☆★★ (2)積分　☆★★★★ ④内心,(ジェンセン(凸関数)の不等式)，微分　☆★★★★ 問題数4問　解答時間150分 ①△ABCの内心をIとしてAIとBCの交点をD,BIとCAの交点をE,CIとABの交点をFとする時に AI ID=a 1,BI IE=b 1,CI IF=c ...
• 210141
  問題数4問　解答時間150分 ①△ABCの内心をIとしてAIとBCの交点をD,BIとCAの交点をE,CIとABの交点をFとする時に AI ID=a 1,BI IE=b 1,CI IF=c 1とあらわせるとする。 この時、a,b,cが全て自然数である時の(a,b,c)の組を全て求めよ。 ②P_k(cos2kπ/n,sin2kπ/n)(1≦k≦n)のn個の点をm種類の色を使って隣同士が同じ色にならないように塗る。 この時の点の塗り方は何通りできるか？ ③直円錐C x^2+y^2=(1-z/√3)^2と点A(1/2,√3/2,0),点B(1/2,-√3/2,0)がある。 AからBまで円錐Cの面上を結んだときの線の長さをlとする。 (1)lの最小値を求めよ (2)(1)のlとxy平面に囲まれた部分Dの面積Sを求めよ ④円C_a,円C_b,円C_cはある三点で互いに外...
• 12111014
  NO.14-1　大小比較　★３ 問題 59 ：以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします：2010/01/08(金) 17 11 50.40 ID XXUGoCq00 息抜きにどうぞ つ　(2008/2009)^2009 と (2009/2010)^2010 の大小を比較せよ 解答 +... (2008/2009)^2009＜(2009/2010)^2010 解説 関数化して一般化して考える f(x)=((x-1)/x)^x=(1-1/x)^xのx=2009の時とx=2010の時の大小を比較する。 以下x＞1について考える。 f (x)=(e^xlog(1-1/x)) =e^xlog(1-1/x)*(xlog(1-1/x)) =e^xlog(1-1/x)*(log(x...
• 12111013
  NO.13-1　円周率の評価 ★４ 問題（元ネタは東大 03） 13 ：以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします：2010/01/07(木) 00 11 56.85 ID 5nmEyT3M0 円周率は3.05より大きいことを証明せよ 解答 +... 解説参照 解説 （超有名問題なのですが一応…） 円と正多角形を書く方法とか色々あるんですが… あえて、無意味な解法で π=4Σ[k=1,∞](-1)^(k-1)/(2k-1) 　（証明は210152の２番） を用いて以下の不等式から題の不等式が示される π＞4*(1/1-1/3+1/5-1/7+1/9-1/11+1/13-1/15+1/17-1/19+1/21-1/23) ＞3.05
• 210101
  ① (1)サイコロを6回振った時、全ての目が同じ回数だけ出る確率を求めよ。 (2)x^4/2+1/x^2の最小値を求めよ。 (3)三元一次方程式 x+2y=3z-4 2x+3y=z+5 3x+y=2z-1を解け ②(訂正版) sinθ=(tanα)/2 tanα+tan(π/2-α)+3sin(2α)=2√6(0 α π/4)を満たすθの値を求めよ。 ③ (1)体積が2√2である直方体の一点から引いた三本の対角線の和の最小値を求めよ。 (2)A_1(a_1,b_1,c_1) A_n(a_n,b_n,c_n) A_(n+1)(b_n+c_n,c_n+a_n,a_n+b_n)とA_nを定義する。 A_nの三要素を三辺にもつ直方体の一点から引いた三本の対角線の和の最小値をnを用いて表せ。 ...
• 12210014
  NO.14-1　三角形の存在条件　難易度～☆★★★★ 問題 30 ：以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします：2009/05/15(金) 21 44 34.00 ID 906+3vmQ0 平面上に正三角形ＡＢＣがある。この平面上に点Ｐをとったとき ＡＰ、ＢＰ、ＣＰを三辺の長さとする三角形が存在するには点Ｐはどのような領域にあるか 解答 +... △ABCの外接円の内部(ただし周を除く) 解説 AP=BP+CPのようになる領域を考えることで解くこともできますが、解説では速攻する方針で どっちにしてもやることは同じですが A,B,Cを通る円上にPが来るときにAP=BP+CPのようになります。…☆ ☆であることと円の内部⇔AP＜BP+CPを示せばPは円の内部(周を除く)であることが示されます。 ...
• 12110014
  NO.14-1　各桁の和 ～難易度★★★★★ 問題 220 ：以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします：2009/06/20(土) 22 18 09.82 ID JJKvnm3h0 自然数ｎを10進法であらわしたときの各桁の数の和をｆ(ｎ)で表す a+ｆ(a)=ｂ+ｆ(ｂ)=ｃ+ｆ(ｃ)を満たす異なる3つの自然数は存在するか？ 解答 +... 存在しない。 解説 証明が難しいというのが感想。(あってるか自信なし。) とりあえず、a＜b＜cとする…① 例を考えると たとえばa=99,b=108として 99 18 117 108 9 117となる。 このように桁が変わらないとこのようなことがおこらないことを示す。 (Ⅰ)aとbが同じ桁数n桁であり、最高位の数が同...
• 210152
  配点(200点満点) ①30点②(1)10点(2)10点(3)10点③40点④35点⑤35点⑥(1)15点(2)15点 解答 ①k(2-k)/2(1-k) ②(1)1/(n+1) (2)(3)解説参照 ③nが4で割って2で余る数でない自然数 ④n=1で、4面体　n≧2で、3*2^(n-1)+2面体 ⑤第二象限 ⑥(1)S[m](n)=(m+n-1)Cm 　(2)a=1/2の時1/e 各問の予備知識と難易度 ①積分　☆☆☆★★ ②(1)∫(0→π/4)(tanθ)^n dθ,漸化式 ☆☆★★★ (2)(3)極限 ☆☆★★★ ③塗り分けの論証法,(帰納法) ★★★★★ ④漸化式(漸化式の定義域),空間図形　☆★★★★ ⑤はさみうちの原理　★★★★★ ⑥(1)帰納法,数列　...
• 210102
  配点 ①10×3点②15点③(1)8点(2)12点④15点⑤(1)8点(2)12点 解答 ①(1)5/324　(2)3/2　(3)x=1,y=2,z=3 ②15° ③(1)6　(2)3*2^n ④8 ⑤(1)3n^2/2-n/2　(2)2組 各問の必要な知識と難易度 ①(1)順列,確率　☆☆☆★★ (2)相加相乗平均　☆☆★★★ (3)連立方程式　☆☆☆☆★ ②三角比,方程式(数Ⅱ),特別角の三角比　☆★★★★ ③(1)コーシー,相加相乗　☆☆★★★ (2)コーシー,相加相乗,数列　☆★★★★ ④等比数列,整数　☆★★★★ ⑤(1)数列　☆☆★★★ (2)数列,整数　☆★★★★ 解説 ①(1)全パターンは6^6通り。これで(1)の条件は...
• 210132
  配点(120点満点) ①(1)10点(2)10点②(1)10点(2)10点③20点④(1)5点(2)15点⑤20点⑥(1)15点(2)5点 解答 ①(1)58個　(2)なし(解説参照) ②(1)A_n((sinα+cosα)^n+(sinα-cosα)^n)/√2^n (2)A_n=( (k+√(2-k^2))^n+(k-√(2-k^2))^n))/2^n ③v≧1の時r=1/2,cosθ=1/v v＜1の時r=v/2,cosθ=v ④(1)|a-b|＜1＜a+b (2)解説図の通り(図に少しミスがあるので注を参考のこと) ⑤(cosα)^2 ⑥(1)m_n=n+((√2+1)^n-(√2-1)^n)/2　(2)nが奇数 各問の必要な知識と難易度 ①(1)三角関数(弧度法,度数法),π　☆☆★★★ ...
• 210112
  配点　200点満点 ①8×5点②20点③(1)10点(2)10点(3)20点④(1)20点(2)30点⑤(1)10点(2)10×2点(3)20点 解答 ①(1)(2,-1)　(2)√6/2　(3)7 (4)2　(5)-1 ②y=-x+√3 ③(1)√3-√2　(2)√n　(3)4 ④(1)4 (2)(3-√5)/2 ⑤(1)2^(n+1)+2^n-1 (2)(α)なし(β)なし (3)なし(証明は解説参照) 各問の必要な知識とおおよその難易度　()内は別解として使えるまたは使えそうなもの) ①(1)平行移動,二次関数　☆☆☆★★ (2)三角関数,合成,三倍角の公式(微分)　☆☆★★★ (3)n進数 ☆☆☆☆★ (4)期待値,極限　☆☆★★★ (5)整式の余り　☆☆★★★ ②重心,軌...
• 210131
  ① (1) sina°=sina(0≦a≦180)を満たすaはいくつあるか？ (2) y=sinx°とy=sinxが接することはあるか？あるなら1つ例を示し、ないならそれを示せ。 ② sinθ+cosθ=k=√2sinαを満たす時、(k,αは定数) (1)A_n=sin^nθ+cos^nθの値をα,nを用いて表せ (2)A_nの値をk,nを用いて表せ ③ xy平面において 中心がx座標が十分に小さいある点から速さvでy=tanθx上をx軸正方向へ動く半径rの円Cおよび x軸上に長さ1でx軸正方向へ速さ1で動く線分が長さ1の間隔で 以下の図のように無限に並んでいる非連続直線Dを考える …―　―　―　―　―… この時円Cが上手くDを通り抜けることで、円CがDと内部を共有することなく (ただし、周の共有は許す)(円のy座標)≧rの地点に到達することがで...
• 210111
  ① (1)放物線C1 y=ax^2+bをx座標にa平行移動した時の放物線をC2とする。 この時のC1とC2との交点は(1,1)であった。 (a,b)を求めよ。 (2)x^2+y^2=1の時 (x-y)(1+4xy)が最大となる時のx+yの値を求めよ。 (3)2009をn進数で表すとき1桁目と2桁目がともに0である時のnの値を全て求めよ。(nは2以上の自然数) (4)1/2^2の確率で4個,1/3^2の確率で9個,…1/n^2の確率でn^2個,それ以外は1個ふる。 あるnについての出る目の和の期待値をP(n)とする。 この時lim(n→∞)(P(n+2)-P(n-2))/(P(n+1)-P(n-1))を求めよ。 (5)x^nをx^2+x+1で割ったときの余りをR(x)とする。R(x)の多項式の係数が全部同じ値であ...
• 210151
  問題.一 D y≧0,y≦cosx,y≦a(k)*sinx 0≦x≦π/2　の領域Dの面積がkとなるようにa(k)の式を求めよ。 問題.二 I_nをI_n=∫(0→π/4)(tanx)^n dxとする時、以下の問に答えよ。 (1)I_n+I_(n+2)をnを用いて表せ (2)π=Σ[n=1,∞](-1)^(n-1)/(2n-1)を示せ (3)e=2^(Σ[n=1,∞](-1)^n/n)を示せ 問題.三 n×nマスの正方形の盤があり、その盤の好きなところに駒を置いて以下の ①,②の動作を交互に行って、駒を動かす。 (ただし、駒は縦横に真っ直ぐにしか動けず、また①と②のどちらから動作を始めてよい。) ①１マス隣へ動く ②２マス隣へ動く この時、初期条件と駒の動きを上手く設定することでn×nの全てのマスを 一回ずつ動くことが出来るための自然数n...
• 12111010
  NO.10-1　割合と連立方程式 ～難易度☆☆★★★ 問題 1 ：以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします：2009/01/11(日) 00 33 13.28 ID A7f12GYx0 P社の昨年度の従業員総数は2000人で、本年は総数で18％増加したが、 内訳は本採用者は10％の増加で、臨時工は90％の増加という。 本年度の臨時工は全部で何人になったか。 解答 +... 380人 解説 昨年度の臨時工の数をx人,本採用者をy人とする。 2000×1.18=x×1.9+y×1.1…① 2000=x+y…②の連立方程式を解きます。 2000×118=190x+110y(①×100) 2000×110=110x+110y(②×110) これより 8×200...
• 12210004
  NO.4-1　五心 ～難易度★★★★★ 問題 101 ：以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします：2008/11/10(月) 21 58 07.22 ID VOeQFfO10 問題 三角形APBの外心を点O、内心を点I、垂心を点Hとなるようにとる。 ∠APB=60°∠HIO=160°の時、∠PABを求めよ。 解答 +... 40°,80° 解説 A,O,I,H,Bが同一円周上にあることを示します。 ∠AOB=2×60°=120° ∠AIB=(180-(180-60)/2)°=120° ∠AHB=30+30+60=120° これは、調べることによって判明しますので、∠AOB=∠AIB=∠AHB=120°となる。 また、AM=OM=BMから、A,Bを通る円M上にO...
• 12210001
  NO.1-1　傍接円と面積 ～難易度☆★★★★ 問題 　54 ：以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします：2008/10/26(日) 21 54 00.65 ID Boluhyw10 △ABCの面積が2^2n 傍接円の半径が2^nと2^(n-1)があることがわかっている。 この時のもうひとつの傍接円の半径を決定せよ。 予想解答 +... (3+√(9+2^(n+1)))/2^n 予想解説 imageプラグインエラー ご指定のURLはサポートしていません。png, jpg, gif などの画像URLを指定してください。 必要な公式：ヘロンの公式 辺の長さがa,b,cの三角形の面積Sは、S=√(a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)/4で表される。 また、内接円の半径が...
• 12210010
  NO.10-1　辺の比　～難易度☆☆☆★★ 問題 1 ：以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします：2009/01/23(金) 02 25 10.25 ID 5+LD3kV30 長方形ABCDがあり BCの延長線上に点Fがあります BC CF=2 1 AB=CF です また辺BCを斜辺とする 直角二等辺三角形があり、その頂点をEとします また直線AEとBCの交点をGとします BG GCの比を簡単な整数比でおまんこしなさい 解答 +... 1 3 解説 BC CF=2 1 AB=CFよりBC=2AB BCの中点をNとすると EN=BC=AB。 またEN//AB。 これらより△ABG≡△ENG ∴BG=GN よってBG GC=BG (BG...
• 12111011
  NO.11-1　特別な三次方程式 ～難易度☆★★★★ 問題 45 ：以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします：2008/10/30(木) 23 02 55.80 ID khRNV4zVO 自作 ３次方程式 x^3-3x+1=0 の3解を大きいほうから α β γとしたとき α^2+β^2+αの値 解答 +... 4 解説 12130001のNO.1-1に深く関係している。 ただ、ここでは早大の問題の小問を引用させてもらった。 β=α^2-2,γ=β^2-2としてあらわせることを示す。 β^3-3β+1 =(α^2-2)^3-3(α^2-2)+1 =(α^6-6α^4+12α^2-8)-3(α^2-2)+1 =α^6-6α^4+9α^2-1 ...
• 12210015
  N0.15-1　正方形の分割　～★３ 問題 1 ：以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします：2009/11/10(火) 16 05 32.43 ID o4zxNs3Q0 これ解けるか？ 正方形ABCDがある 辺BC,CD,DAそれぞれの中点をP,Q,R,とおく 辺ABを三等分した点をそれぞれS,Tとおく 正方形ABCDの内部に適当においた点Uと点P,Q,R,S,Tをそれぞれ結ぶ この時できる四角形の面積はそれぞれ ASUR=216　TBPU=324　CQUP=378　DQUR=270である この時、三角形STUの面積を求めよ 文字にするとわけわかんなくなっちゃうけど 絵にするとわかりやすいからやってみて！ 解答 +... 108 解説 上図の正方形につい...
• 12210011
  NO.11-1　内接四角形の面積 ～難易度☆☆★★★ 問題 21 ：以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします：2009/06/13(土) 14 12 15.27 ID PCPBFDS20 直径ABとする円の円周上にAC=BCとなる点Cをとる。 また、ABに関してCと反対側に∠ABD＝30°となるように円周上に点Dをとる。 CD＝6のとき，四角形ACBDの面積はいくらか。 解答 +... 18 解説 この形からしてトレミーの定理を使うと一般的に解ける。 トレミーの定理 "円に内接する"四角形の対辺の積の和＝その四角形の対角線の和 AC=BC=rとすると条件より AB=√2r,AD=r/√2,BD=√3r/√2からトレミーの定理より AC*BD+AD*B...
• 1211012
  NO.12-1 絶対値つきの式 ～難易度☆☆☆★★ 問題 87 以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします 2009/07/20(月) 01 26 57.47 ID ycE4sF350 [sage] 直感で答えよう nが整数であるとき、S=|n-1|+|n-2|+…+|n-100|の最小値と、その時のnの値を求めよ。 レベル2おっぱい 解答 +... 2500 n=50,51 解説 f(x)=|x-1|+|x-2|+…+|x-100|を考える。 n≦x≦n+1の時について考えると n≦49の時xの係数は負なので減少関数。 n=50の時xの係数は0で定数。 n≧51の時xの係数は正なので増加関数。 これよりn=50とn=51で最小。 この時、 f(50)=49+4...
• 平面図形
  NO.12210001　傍接円と面積-2問 NO.12210002　正三角形-2問 NO.12210003 三角形と円-2問　 NO.12210004 特別角の五心-1問 NO.12210005　内接円と正方形-2問 NO.12210006　動点の問題-1問 NO.12210007　三角形の辺と角-1問 NO.12210008　四面体の体積-1問 NO.12210009　内心の性質-1問 NO.12210010　辺の比-1問 NO.12210011　内接四角形-1問 NO.12210012　四角形-1問 NO.12210013　ヘロンの公式-1問 NO.12210014　三角形の存在条件-1問 NO.12210015　正方形の分割-1問
• 式
  NO.12111001　式変形-5問 NO.12111002　多項式-1問 NO.12111003　無限に続く式-1問 NO.12111004　余り-4問 NO.12111005　相加相乗平均-4問 NO.12111006　二次方程式-1問 NO.12111007　因数分解-3問 NO.12111008　多重根号-1問 NO.12111009　特別係数の方程式の問題-1問 NO.12111010　方程式・連立方程式 2問 NO.12111011　三次方程式の解の関係 1問 NO.12111012　絶対値つきの式 1問 NO.12111013　数学定数の評価 1問 NO.12111014　大小比較の問題 1問 NO.12111015　センター試験ⅠA 1...
• 12210012
  NO.12-1　四角形 ～難易度☆★★★★ 問題(大学受験版 灘高の数学って難しくない？　より) 12 名前： 名無しさん 投稿日： 01/11/22 15 06 四辺形ＡＢＣＤの対辺ＡＢ、ＣＤの中点をそれぞれＭ、Ｎとする。 ①２ＭＮ≦ＡＤ＋ＢＣ　を証明せよ ②対角線ＡＣ、ＢＤの長さが一定値ａ、ｂであるとき、①を用いて （ＡＢ＋ＣＤ）の二乗＋（ＡＤ＋ＢＣ）の二乗の最小値をａ、ｂで 表せ。 補足 四辺形は四角形に同じ。平行四辺形ではない。 解答 +... ①解説参照 ②2(a^2+b^2) 解説 ①図のように四角形BCNMをNを中心にした点対称な図形をとる。 B やM も図のようにとる。 すると 四角形ABM B は平行四辺形になるため MM...
• 12210009
  NO.9-1 内心の性質 ～難易度☆☆★★★ 問題(自作) 三角形ABCの内心をIとして AIとBCの交点を点Dとして以下同様にして点E,点Fをとる。 AI ID=3 2,BI IE=4 3とする。 (1)AB BC CAを求めよ。 (2)CI IFを求めよ。 解答 +... (1)6 14 15 (2)29 6 解説 内心ということから、角の二等分線を色々な見方で使う問題です。 (1)角の二等分線の公式より AI ID=AB BD=AC CD=3 2 BI IE=BC CE=BA AE=4 3 この結果を纏めます。 (AB+AC) (BD+CD)=(AB+AC) BC=3 2より(ⅰ)3BC=2(AB+CA) 同様にして(ⅱ)4CA=3(AB+BC)が導かれます。 ...
• 12111015
  NO.15-1　センター試験ⅠA-1 問題 暇だったから作った　不適切なら削除してください あとタイトルミスった α=(√7-√3)/(√7+√3)とする。αの分母を有理化すると α=([ ア ]-√[ イウ ])/[ エ ] となる。 2次方程式 6x^2-7x+1=0の解は x=[ オ ]/[ カ ] , [ キ ] である。 次の(0)～(3)のうち最も小さいものは[ ク ]である。 (0)　([ ア ]-√[ イウ ])/[ エ ]　　　　(1)　[ エ ]/([ ア ]-√[ イウ ]) (2)　[ オ ]/[ カ ]　　　　　　　　　　 (3)　[ キ ] 解答 +... ア～エ　α=([ 5 ]-√[ 21 ])/[ 2 ] (3点) オ～キ　x =[ 1 ]/[ 6 ] , [ 1...
• 12230014
  NO.14-1 格子点 ～難易度☆☆★★★ 問題 1 ：以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします：2009/07/07(火) 10 58 57.86 ID jlQA295l0 xyz空間において、不等式 |x|+|y|+|z|≦n (n=1,2,・・・・) で表される領域Dnに含まれる格子点(x座標、y座標、z座標がすべて整数である点)の数をanとする。 (1)xy平面において、不等式|x|+|y|≦m(m=0,1,・・・・)で表される領域をEmとする。Emに含まれる格子点の数を求めよ。 (2)anを求めよ。 ソースは乙会東大コース7-1なんですが、今日までに解かなきゃならないのでどうかオナシャス！ 解答 +... (1)2m^2+2m+1 (2)4n^3/3+2n^2+8n/3-1 解説 ...
• 12110006
  N0.6-1 一定区間内の任意の三点 難易度～☆☆★★★ 問題 20 ：以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします：2008/11/28(金) 22 14 52.80 ID qq5l0/gR0 nを自然数とし、座標平面上でx座標、y座標がともに0以上n以下の整数である点を3頂点にもつ三角形の面積をSとする。 Sは何種類の値をとりうるか。 解答 +... n^2種類 解説 1/2≦S≦n^2/2であることは容易に分かる。 それぞれの三点を A(a,b)B(c,d)C(e,f)とすると(a c e) 直線ACはy=(f-b)/(e-a)×(x-a)+b でx座標がcの時のACのy座標はy=(f-b)/(e-a)×(c-a)+b(ただし、これをd未満とする。) S=1/2×(e-a)×(d-(f-b)/(e-a)×(c...
• 12210013
  NO.13-1 ヘロンの公式・ブラマグプタの公式 ～難易度☆★★★★ 問題 (1)三角形ABCの各辺の長さをa,b,cとし、その面積をS、またs=(a+b+c)/2とすると S=√s(s-a)(s-b)(s-c)を示せ。 (2)円に内接する四角形ABCDの各辺の長さをa,b,c,dとし、その面積をS,s=(a+b+c+d)/2とすると S=√(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)を示せ。 解答 +... 解説参照 解説 (1) S=1/2*absinC=1/2*ab*√(1-cos^2C)=1/2*ab*√(1-cosC)(1+cosC) ここで、cosC=(a^2+b^2-c^2)/2abより S=1/2*√(ab-(a^2+b^2-c^2)/2)(ab+(a^2+b^2-c^2)/2) =1/4...
• 12110004
  NO.4-1 数の大小 ～難易度☆★★★★ 問題 48 以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします 2008/11/05(水) 02 19 01.63 ID zPq0YMmyO もう１問 素数Ｐとその素数より小さい素数全ての積に１を加えたものＱはどちらが大きいか 解答 +... Ｑ 解説 ・Ｐ＜Ｑであることは、適当な数を当てはめることで容易に定められる。 ・Ｐより小さい素数の中で、最大のものをＡとする。 　また、Ｐより小さい素数（つまり、Ａ以下の素数）全ての積をＢとする。 　 　いま、Ｑ≦Ｐであると仮定する。………① 　このとき、 　 　Ａ＜Ｂ－１＜Ｂ＜Ｂ＋１＝Ｑ≦Ｐ………② 　が成り立つ。 　Ａより大きい最小の素数はＰであるため、 　②を満たす（Ｂ－１）は合成数であり、 　（Ｂ－１）より小さい何らかの素数、...
• 12210002
  NO.2-1　正三角形 ～難易度☆★★★★ 問題 60 ：以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします：2008/10/30(木) 　　23 22 45.76 ID GYodBiaLP 別の問題 正三角形ABCの内部に点Pをとったところ AP=3、BP=4、CP=5であった 三角形ABCの面積を求めよ 解答 +... 9+(25√3/4) 解説 普通にやるととっつきにくいですが・・・ imageプラグインエラー ご指定のURLはサポートしていません。png, jpg, gif などの画像URLを指定してください。 この図のように点Ｐと対称な点をとってみます。（図はABCが見た目違うけど勘弁。。。。） すると、AP=AF=AG=3,BP=BG=BH=4,CP=CF=CH=5がわかり...
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  NO.7-1　三角形の辺と角 ～難易度☆☆★★★ 問題 1 ：以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします：2009/03/19(木) 21 35 57.41 ID dAudADTR0 △ABCにおいて、AB=1,BC=a,CA=bとする。 2A+3B=180°が成立するときb^2=1-aであることを示せ 解答 +... 2A+3B=180°より C=A+2B。…① そこで以下の図のように補助線と点D,点Eをとる。 imageプラグインエラー ご指定のファイルが見つかりません。ファイル名を確認して、再度指定してください。 (図形.jpg) すると∠CED=∠CDE=●+○なのでCE=CD=xとおく。 △ACE∽△CBDよりAC CB=CE BD=EA DC…② これより、AE=bx/a,...
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  5-1 内接円と正方形 ～難易度☆★★★★ 問題 30 ：以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします：2008/11/25(火) 00 35 53.22 ID Cx7wJ4f8O 四角形ABCDは一辺の長さが１の正方形で、２つの円は合同である さて、その半径はいくらだろうか 解答 +... r=1/(√2(√2+1)+√2+2) 解説 半径をrとしてその半径の値はBE=xとして△ABEと△AECの面積をS,Tとして r=2S/(1+x+√(x^2+1)),r=2T/(1-x+√2+√(1+x^2)) また、高さをABとみて、BE,ECを底辺にした三角形と考えて面積を計算した S=1*x/2,T=1*(1-x)/2を代入してrを消去する。 x(√2+1-x+√(1+x^2))=...
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  NO.7-1　余りの問題 問題 98 ： ◆fV8WklhOUQ ：2008/10/31(金) 00 32 40.44 ID ciaCpCcqO a,b,cは1 a b cを満たす整数で (ab-1)(bc-1)(ca-1)はabcで割りきれる このときa,b,cの組を求めよ 解答 +... (a,b,c)=(2,3,5) 解説 (ab-1)(bc-1)(ca-1)=(ab^2c-b(a+c)+1)(ca-1) =a^2b^2c^2-abc(a+c)+ca-ab^2c+ab+bc-1 =abc(abc-(a+b+c))+ab+bc+ca-1 これがabcで割り切れるので (abc)k=ab+bc+ca-1とあらわされる。 変形して、 k+1/abc=1/a+1/b+...
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  NO.6-1　長方形と動点 難易度～☆☆☆★★ 問題 186 ：以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします：2008/11/29(土) 22 43 22.68 ID XJP+DC730 制限時間16分　難易度３（実戦基礎） 問　たて2、よこ3の長方形ABCDがあり、点Aからｐおよびｑを一定の速度で移動させ る。ｐは反時計回りに、ｑは時計回りに移動させる。すなわち、ｐはAからB、Cへ進み、 ｑはAからD、Cへ進む。ｐおよびｑがCにたどり着いたところで移動を中断する。 このときに出来る△Aｐｑの面積をSとして、Sの面積の変化を考える。 0≦ｘ≦2のとき、S＝ｘ＾2/{ア}、2＜ｘ≦{イ}のとき、S＝ｘ、3＜ｘ＜5のとき、 S＝（{ウ}ｘ＾2＋{エ}ｘ）/{オ}と示される。面積が最大になるのはｘ＝{カ}のときで最大値 は{キ...
• 12210003
  NO.3-1　三角形と円 ～難易度☆☆☆★★ 問題 37 ：以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします：2008/10/30(木) 22 48 08.88 ID nWshNj6H0 正三角形ABCの辺BC上に点DをBD DC=1 2となるように取り、ADを直径とする円をかく。 この円と辺BCとの交点でD以外のものをE、またこの円と辺ABの交点をFとする。 AE=1のとき、次の問いに答えよ。 (ⅰ)正三角形ABCの1辺の長さを求めよ。 (ⅱ)FDの長さを求めよ。 imageプラグインエラー ご指定のURLはサポートしていません。png, jpg, gif などの画像URLを指定してください。 解答 +... (ⅰ)2/√3 (ⅱ)1/3 解説 (1)ADは円Uの直径なので∠AE...
• 12111001
  NO.2-1 式変形１～ 難易度☆☆☆☆★ 問題 25 ：以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします：2008/10/29(水) 21 37 19.15 ID 4dQj4+CX0 {(x^ -2 )-(y^ -2 )}/{(x^ -1 )+(y^ -1 )} ↑この式を最も簡単な式で表せ。 解答 +... 1/x-1/y 解説 26 ：以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします：2008/10/29(水) 21 39 25.57 ID GIEa1KdF0 分母分子にx^2y^2をかければ (y^2-x^2/(xy^2+x^2y) =(y-x)/xy =1/x-1/y NO.2-2 式変形２ ～ 難易度☆☆☆☆★ 問題 35 ：以下、名無しにか...
• 12110010
  NO.10-1　整数部分と小数部分　難易度～☆☆★★★ 問題 228 ：以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします：2008/11/29(土) 23 39 14.10 ID XJP+DC730 Ｘの整数部分をｘ＾2＋ｘ、小数部分をｐとする。すなわちＸ＝[Ｘ]＋ｐ、 [Ｘ]はＸを超えない最大の整数を示す。またＸ＋ｐ＝7/2を満たすものとする。 以上より、次の不等式が成り立つ。Ｘ≦7/2＜Ｘ＋{ア} このとき、[Ｘ]＝{イ}または{ウ}となる。ｘ＝{エオ}、{カ}のとき、Ｘ＝{キク}/4、 ｘ＝{ケコ}±√{サシ}/2のとき、Ｘ＝{スセ}/4 解答 +... (ア)1　(イ,ウ)2,3 (エオ,カ)-2,1　(キク)11　(ケコ,サシ)-1,13　(スセ)13 解説 (ア) Ｘ≦Ｘ+p＜Ｘ+...
• 12210008
  NO.8-1　四面体の体積 ～難易度☆★★★★ 問題 269 ：以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします：2009/04/07(火) 03 48 13.60 ID UY2Hdls70 265は自分でも厳密に証明できる自信ないからこれで 4つの面が全て3辺の長さがa，b，cの三角形であるような 四面体が存在するときその体積をa,b,cであらわせ。 解答 +... √(-a^2+b^2+c^2)(a^2-b^2+c^2)(a^2+b^2-c^2)/6√2 解説 imageプラグインエラー ご指定のファイルが見つかりません。ファイル名を確認して、再度指定してください。 (無題.jpg) 上図のような平行6面体を考える。 ここで、それぞれの対面の対角線が等しいことに注目すると 面は、長方...
• 12110000
  1 ：以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします：2009/01/23(金) 15 05 57.78 ID eAj8iA0b0 a^3-b^3-c^3=21 を満たす整数a,b,cを求めてください 　 54 ：以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします：2008/10/30(木) 23 15 51.52 ID GYodBiaLP 【問題】 数Aを4444の4444乗とする Aの各桁の数の和をBとする Bの各桁の数の和を求めよ 補足 +... この問題は以下の問題の間違いだと思われる。 数Aを4444の4444乗とする Aの各桁の数の和をBとする Bの各桁の数の和をCとする Cの各桁の数の和を求めよ 解答 +... 7 解説 求める数をD...
• コメント欄
  コメント お手数だとは思いますが、やってもらえるととてもありがたいです。一応権限直しときます。 NO.25　どこでも割り切れる数字　の解答ですが、1472589630は上7桁が7で割り切れませんので、3816547290だけかと思います。 - 通りすがり 2010-06-03 19 12 46 私の勘違いかもわからないのですが、ＮＯ５は多分ギコ１２枚モナー１８枚で選択肢は５ではないでしょうか……検討してくれるとありがたいです。間違っていたらすいません…… - キタロー肉彦 2011-05-23 16 16 34 No5　ギコの問題なのですが、　ギコ7、モナー13の場合は3にはならない気がします。　ギコの予想1回目→1 or 13 モナーの予想1回目 7 or 19 　ギコの予想2回目→モナ―が「わからない」から相手は1じゃない　よって13　...
• 12110012
  12-1　合同式を利用した整数問題 ～難易度☆★★★★ 問題 8 ：以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします：2009/03/10(火) 00 15 46.13 ID 3FBaKJZe0 x^2+y^2=2009を満たす自然数組(x,y)をすべてもとめよ 解答 +... (x,y)=(28,35)(35,28) 解説 右辺は2009＝41*7^2より左辺も7の倍数。 以下合同式の法を7とする。 x≡a(mod7)の時(-3≦a≦3とする)←(a=0～7でもよいが計算の簡略化のため) x^2≡f(a)(mod7)とおくと f(0)≡0,f(1)≡f(-1)≡1,f(2)≡f(-2)≡4,f(3)≡f(-3)≡2である。 x^2+y^2≡0を満たすx,yは上の結果からともに7の倍数でな...
• 整数問題
  NO.12110000　未解決未分類 NO.12110001　有理数？-6問 NO.12110002　素数判定？-1問 NO.12110003　分数の整数問題-2問 NO.12110004　大小比較の問題-2問 NO.12110005　メルセンヌ素数-1問 NO.12110006　整数による制約と整数の論証-3問 NO.12110007　最小公倍数と最大公約数-1問 NO.12110008　約数の総和-2問 NO.12110009　因数分解,互いに素-9問 NO.12110010　整数部分,小数部分-1問 NO.12110011　カタラン予想？？-3問 NO.12110012　合同式と倍数の条件-5問 NO.12110013　n進法-1問 NO.121...
• 12110008
  説明 約数の個数の公式～任意の自然数kで定まるa_kは互いに異なる素数を表しb_kを自然数とする。 　 　　　この時、自然数Π[k=1,m](a_k)^(b_k)の約数の個数は (b_m+1)*(b_(m-1)+1)*…*(b_1+1)個 (=Π[k=1,m](b_k+1)個) なぜこうなるかというと、例えばN=2^3*3^2の時の約数は2^m*3^nで表されます。 　　　　　　　　　ここで、mの選び方は0～3,nの選び方は0～2通り。 　　　　　　　　　この組み合わせを掛け合せて(3+1)(2+1)=12通りです。 　　　　　　　　　このようにしてそれぞれの素数についてのm乗の選び方 　　　　　　　　　の組み合わせを求めます。 約数の総和の公式～任意の自然数kで定まるa_kは互いに異なる素数を表しb_kを...
• 12110001
  NO.1-1　有理数解 問題 1 ：以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします：2008/10/26(日) 19 00 55.49 ID 5reyIu1Z0 a＾3＋b＾3＝17　(a,bは有理数) a,bを求めよ 解答(不完全) +... {a,b}={-1/7,18/7}(他にもあるかも) 解説 mod7で考えると矛盾するので、a,bは分母が7の倍数であると推測できる。 参考 http //www.asahi-net.or.jp/~KC2H-MSM/ec/eca1/index.htm NO.1-2　p^q=q^pの問題 問題((2)は有名問題を改題) (1) 23 ：以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします：2009/03/16(月) 20 29 12...
• 12111007
  NO.17-1　因数分解 ～難易度☆☆☆☆★ 問題 1 ：以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします：2009/02/18(水) 22 16 11.68 ID KDIwLlOM0 a^3(b-c)+b^3(c-a)+c^3(a-b) を因数分解せよ 解答 +... =-(a-b)(b-c)(c-a)(a+b+c) 解説 常識的に考えて降冪の順に並び替え。 因数分解の方法は次数の最も低いものを基準にして降冪の順に並べるのが基本。 a^3(b-c)-a(b^3-c^3)+bc(b^2-c^2) =a^3(b-c)-a(b-c)(b^2+bc+c^2)+bc(b-c)(b+c) =(b-c)(a^3-a(b^2+bc+c^2)+bc(b+c)) =(b-c)((c-a)b^2+(c...
• 12110009
  NO.9-1 東大の過去問 難易度～☆☆★★★ 問題 66 ：以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします：2008/11/29(土) 19 14 09.94 ID XJP+DC730 10000を素因数に分解すると2＾{ア}×5＾{イ} 3以上9999以下の奇数ａとし、ａ（ａ－1）が10000で割り切れるときのａの値を考える。 2は偶数、5は奇数、ａとａ－1はお互いに素だから、奇数ａは{ウ}で割り切れる。 すなわち、ある自然数ｔとおくと、ａ＝{エ}とおける。 またａ－1は{オ}で割り切れるので、ある自然数ｓを用いて、ａ－1＝{カ}とおける。 ａ－1とａは連続する自然数だから、その差は1である。すなわち{キ}＝1である。 ここで小さい順に、ｔの値を考え、それに対して方程式が成り立つものを考えると、 ａ＜10000を満たす...
• 12110007
  公式 最大公約数と最小公倍数の関係～任意の自然数a,bについてそれらの最小公倍数をg,最大公約数をGとして、a=a g,b=b gとなるようにa ,b を定めると(a とb は互いに素) 　　この時、最大公約数と最小公倍数の関係は以下のように表される。 G=a b g a とb の最小公倍数は、a とb が互いに素だからa b です。 　　　　　　　　よって、a gとb gの最小公倍数はa b gとなります。 NO.7-1 最小公倍数と最大公約数 難易度～☆☆★★★ 問題 6 ：以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします：2008/11/29(土) 18 00 43.88 ID XJP+DC730 制限時間14分　難易度３（実戦基礎） 　たてがａ、よこがｂ（ａ＜ｂ）の長方形を隙間なく並べて、面積が最小の正方形...
• コメント欄ログ
  コメントテスト - 524287 2008-10-28 23 05 38 test - aa 2009-02-16 11 48 05 履歴 - 名無しさん 2009-03-02 22 22 01 プレビューで確認したらここはtex使えるみたいね。ちょくちょく編集しに来ようかしら。 tex使えるならvip統一模試とかtex化しましょうか？　東大型模試作ってもいいけど - wsi 2009-09-17 01 21 07 お手数だとは思いますが、やってもらえるととてもありがたいです。一応権限直しときます。 NO.25　どこでも割り切れる数字　の解答ですが、1472589630は上7桁が7で割り切れませんので、3816547290だけかと思います。 - 通りすがり 2010-06-03 19 12 46 私の勘違いかもわからないのですが、ＮＯ５は多分ギコ１２枚モナー１８枚で選択肢...
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