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*体の定義
可換環であって、$$1 \neq 0$$であり、0以外の元に乗法に関して逆元が存在するものを''体''と呼ぶ。
*代数的
$$K \subset L$$を体の拡大とする。Lの元aがK上代数的であるとは0でない多項式$$f(x) \in K[x]$$が存在して$$f(a)=0$$が成立することをいう。
*最小多項式
元aがK上代数的であれば、aを根とするモニック多項式の中で次数が最小のものがただ１つ存在する。この多項式をaのK上の''最小多項式''とよぶ。
**例
$$\sqrt{2}+\sqrt{3}$$のQ上の最小多項式は$$x^4-10x^2+1$$である。
*代数拡大
$$K \subset L$$を体の拡大とする。Lの全ての元がK上代数的であるとき、''代数拡大''という。
*代数的閉体
K上の定数でない任意の多項式$$f(x) \in K[x]$$がK内に少なくとも1つの根をもつとき、Kは''代数的閉体''という。
**例
複素数体Cは代数的閉体である。
*代数的閉包
Kを体とする。Kの拡大体Lであって、
+ Lは代数的閉体
+ $$K \subset L$$は代数拡大
を満たすとき、LをKの''代数的閉包''という。
*諸定理
任意の体Kには代数的閉包が存在し、K-同型を除いて一意である。
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*体の定義
可換環であって、$$1 \neq 0$$であり、0以外の元に乗法に関して逆元が存在するものを''体''と呼ぶ。
*代数的
$$K \subset L$$を体の拡大とする。Lの元aがK上代数的であるとは0でない多項式$$f(x) \in K[x]$$が存在して$$f(a)=0$$が成立することをいう。
*最小多項式
元aがK上代数的であれば、aを根とするモニック多項式の中で次数が最小のものがただ１つ存在する。この多項式をaのK上の''最小多項式''とよぶ。
**例
$$\sqrt{2}+\sqrt{3}$$のQ上の最小多項式は$$x^4-10x^2+1$$である。
*代数拡大
$$K \subset L$$を体の拡大とする。Lの全ての元がK上代数的であるとき、''代数拡大''という。
*代数的閉体
K上の定数でない任意の多項式$$f(x) \in K[x]$$がK内に少なくとも1つの根をもつとき、Kは''代数的閉体''という。
**例
複素数体Cは代数的閉体である。
*代数的閉包
Kを体とする。Kの拡大体Lであって、
+ Lは代数的閉体
+ $$K \subset L$$は代数拡大
を満たすとき、LをKの''代数的閉包''という。
*諸定理
任意の体Kには代数的閉包が存在し、K-同型を除いて一意である。
*分離拡大
体の代数拡大$$K \subset L$$において、元$$\alpha \in L$$のK上最小多項式がK上分離的であるとき、$$\alpha$$はK上分離的であるという。Lのすべての元がK上分離的であるとき、$$K \subset L$$は''分離拡大''という。
*超越拡大
体の拡大$$K \subset L$$において、K上代数的でない元$$\alpha \in L$$が存在するとき、この拡大を''超越拡大''という。また、次の性質を満たす$$S \subset L$$をLのK上の''超越基底''という。
+ SはK上代数的に独立(K-多項式環の任意の多項式がSの各要素を根にもたない)
+ K(S)は代数拡大
*正規拡大
体の拡大$$K \subset L$$が、任意の既約多項式がLに根を持てばL[x]上1次式に分解するという条件を満たすとき、これを正規拡大であるという。
*ガロア拡大
有限次分離正規拡大を''ガロア拡大''という。
*ガロア群
体の代数拡大$$K \subset L$$において、Lの自己同型写像がK-同型写像になるとき、これをKの自己同型写像とよぶ。LのK-自己同型写像全体のなす群をガロア群といい、Gal(L/K)で表す。
体Lを体Kの有限次ガロア拡大とする。LとKの中間体MとGal(L/K)の部分群Hについて、$$M = L^{\mathrm{Gal}(L/M)}, H = Gal(L/LH)$$
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