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管理人の数学日記 - (2009/01/02 (金) 13:58:51) の１つ前との変更点
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ここでは管理人の数学勉強記録を公開しています。
人に見られているという意識が、成長を促すと考え公開しています。
2008/11/21
＊等長変換の定義
幾何学の本を読む。
とりあえずぱらぱらと読んだあと、最初から丁寧に読んでみる。
今日は平面上の等長変換の定義とその証明を読んでみた。
最初の方なので簡単だった。
等長変換についての証明だが、不動点が1点2点、3点以上の場合にわけて証明していた。
まず2点の場合は直線に対する鏡映となる、これを関数化して移動後の点を現す関数ｆとする。
一直線上にない3個の不動点Ｏ，Ｐ，Ｑがある場合は、2点の場合で起こりえる事態を含んでいるので、適当な点Ｘにたいしｘ＝f(X)として、Ox=OX Px=PXが成立するが,Qx=QXが成立しない。
よってｆに制限をかけた関数f'(X)=Xがどの点に対しても成り立つ。
3点の場合は恒等変換idとなる。
不動点が一点の場合は回転となるが、これも関数ｆを使った背理法で求める。
a度の回転を表す関数r(-a)と、不動点が一個の場合の正体不明な関数φを考え、r(-a)φは等長変換の条件からfかidにしかならず、fでは矛盾が起こる事を使って証明していた。
結局平面の等長変換には回転と鏡映と恒等写像しかないという結論しか使わないので特に意味もないけどこういう証明と付き合うのも結構楽しい。
2008/11/25
幾何学の本の続きを読む。
前回と同じのりで空間内の等長変換を注目すべき不動点が3,2,1個の場合で証明。
３個なら鏡映、2個なら軸による回転、1個なら点鏡映。
その後群論の基礎定義となり群について記述、群の応用として空間内で自身を自身に重ねる写像の問題に移った、正三角錐の対象性に関する異数が24もあるなんて知らなかった。
あと組み合わせの本を少々。フェナボッチ数の発展について少々読むもぱらぱらなので理解できず。
200812/07
幾何学の本の続き。
今日はユークリッド空間の集合論的構成を読む。
ユークリッド空間の条件を満たす集合と公理を満たす全てのユークリッド空間は、全て同形になっているので一つのユークリッド空間について調べれば全てのユークリッド空間について調べたのと同じになるという内容だった。厳密に深入りすれば別だが概論だけならそんなに難しくは無い。
2008/12/29
カオス理論の本を読む。
一次元の時点で非常に面白い。
吸着点に排斥点、周期解に陥る部分。
2次元写像におけるサドルの概念はすばらしいの一言。
線形写像を通じて分析できる系が見事に纏められていた。
1次元の時の吸着点と排斥点が縦横に合わさった点や、その点が直線に拡張された。
原点を通る2本の直線に対し、点が片方の直線に近づく、片方の直線から遠ざかるによって線形写像を連続で適用することが綺麗に纏まる。
高校でやった行列の固有値で分析できるというのが痛快。
後は独学なのでどこか間違ってないか不安。
ついでに正Ｎ角形の作図紹介ページを見る。
正15角形や17角形くらいまでは楽しめるが、それ以上になると作図はめんどくさくなるので理論の世界でやったほうが楽しい。
作図法に感心するのは楽しいけど、内容的には漫画を見ているのとあまり変わらないなと思ったり。
2009/1/2
今日もカオス理論の勉強。
2次元写像でサドルから出る安定多様体と不安定多様体が存在し、もしこの２つが交点を持てば無限個の交点が出来る。
という理論を勉強。
この無限個の交点がカオスの発生源なのかしら？
それにしても今読んでいる本は初学者にも理解しやすくてよい。
1次元の写像を分析して吸着点と排斥点の概念を導入。
写像を表す数式のパラメータを変化させて吸着点に引き寄せられる線分の集合や周期解をもとめ、それらの隙間からカオスが立ち上ってくる様子が見事に解説されている。
1次元の学習成果を使い、2次元へいき、安定多様体と不安定多様体を導入。
安定多様体と不安定多様体からサドルを作成し、この３つを使いカオスを編み上げる手法が解説されている。
非常に分かりやすい。
勉強していたの疑問
平面状にサドルが複数あるとき、別々のサドルからでる安定多様体と不安定多様体は交点を持つのか持たないのか？
ここでは管理人の数学勉強記録を公開しています。
人に見られているという意識が、成長を促すと考え公開しています。
2008/11/21
＊等長変換の定義
幾何学の本を読む。
とりあえずぱらぱらと読んだあと、最初から丁寧に読んでみる。
今日は平面上の等長変換の定義とその証明を読んでみた。
最初の方なので簡単だった。
等長変換についての証明だが、不動点が1点2点、3点以上の場合にわけて証明していた。
まず2点の場合は直線に対する鏡映となる、これを関数化して移動後の点を現す関数ｆとする。
一直線上にない3個の不動点Ｏ，Ｐ，Ｑがある場合は、2点の場合で起こりえる事態を含んでいるので、適当な点Ｘにたいしｘ＝f(X)として、Ox=OX Px=PXが成立するが,Qx=QXが成立しない。
よってｆに制限をかけた関数f'(X)=Xがどの点に対しても成り立つ。
3点の場合は恒等変換idとなる。
不動点が一点の場合は回転となるが、これも関数ｆを使った背理法で求める。
a度の回転を表す関数r(-a)と、不動点が一個の場合の正体不明な関数φを考え、r(-a)φは等長変換の条件からfかidにしかならず、fでは矛盾が起こる事を使って証明していた。
結局平面の等長変換には回転と鏡映と恒等写像しかないという結論しか使わないので特に意味もないけどこういう証明と付き合うのも結構楽しい。
2008/11/25
幾何学の本の続きを読む。
前回と同じのりで空間内の等長変換を注目すべき不動点が3,2,1個の場合で証明。
３個なら鏡映、2個なら軸による回転、1個なら点鏡映。
その後群論の基礎定義となり群について記述、群の応用として空間内で自身を自身に重ねる写像の問題に移った、正三角錐の対象性に関する異数が24もあるなんて知らなかった。
あと組み合わせの本を少々。フェナボッチ数の発展について少々読むもぱらぱらなので理解できず。
200812/07
幾何学の本の続き。
今日はユークリッド空間の集合論的構成を読む。
ユークリッド空間の条件を満たす集合と公理を満たす全てのユークリッド空間は、全て同形になっているので一つのユークリッド空間について調べれば全てのユークリッド空間について調べたのと同じになるという内容だった。厳密に深入りすれば別だが概論だけならそんなに難しくは無い。
2008/12/29
カオス理論の本を読む。
一次元の時点で非常に面白い。
吸着点に排斥点、周期解に陥る部分。
2次元写像におけるサドルの概念はすばらしいの一言。
線形写像を通じて分析できる系が見事に纏められていた。
1次元の時の吸着点と排斥点が縦横に合わさった点や、その点が直線に拡張された。
原点を通る2本の直線に対し、点が片方の直線に近づく、片方の直線から遠ざかるによって線形写像を連続で適用することが綺麗に纏まる。
高校でやった行列の固有値で分析できるというのが痛快。
後は独学なのでどこか間違ってないか不安。
ついでに正Ｎ角形の作図紹介ページを見る。
正15角形や17角形くらいまでは楽しめるが、それ以上になると作図はめんどくさくなるので理論の世界でやったほうが楽しい。
作図法に感心するのは楽しいけど、内容的には漫画を見ているのとあまり変わらないなと思ったり。
2009/1/2
今日もカオス理論の勉強。
2次元写像でサドルから出る安定多様体と不安定多様体が存在し、もしこの２つが交点を持てば無限個の交点が出来る。
という理論を勉強。
この無限個の交点がカオスの発生源なのかしら？
それにしても今読んでいる本は初学者にも理解しやすくてよい。
1次元の写像を分析して吸着点と排斥点の概念を導入。
写像を表す数式のパラメータを変化させて吸着点に引き寄せられる線分の集合や周期解をもとめ、それらの隙間からカオスが立ち上ってくる様子が見事に解説されている。
1次元の学習成果を使い、2次元へいき、安定多様体と不安定多様体を導入。
安定多様体と不安定多様体からサドルを作成し、この３つを使いカオスを編み上げる手法が解説されている。
非常に分かりやすい。
勉強していたの疑問
平面状にサドルが複数あるとき、別々のサドルからでる安定多様体と不安定多様体は交点を持つのか持たないのか？
持つときは排斥としてでて、不安定多様体の道路を通って、安定多様体の上を無限解交差しながら別のサドルへ吸着されるということに？
