「youtube動画慶應大学講義 応用確率論 第二回 連続確率分布、確率変数、平均値 覚書」の編集履歴(バックアップ)一覧に戻る

youtube動画慶應大学講義 応用確率論 第二回 連続確率分布、確率変数、平均値 覚書 - (2012/08/14 (火) 19:02:41) のソース

Youtubeに慶応大学の講義動画が上がってました。
なんだか独学者にとってありがたい限りです。
講義動画の内容を独学用にまとめてみました。



連続型の確率分布ではp(x)は1を超えてもいいが
∞~-∞とした時の
∫p(x)dxは1となることが条件となる。



*確率密度関数の一例、指数分布の解釈
1/λ(e^(-x/λ))
ただしx<0なら0.
指数分布の解釈は無数にあるがxは時間と解釈するものが一例となる。

分子がエネルギー最低の基底状態から
分子のエネルギーが一個だけ上がった励起状態になったとする。
この励起状態から光子がぬけでて基底状態にいつなるかの確率分布が指数分布となる。


*確率変数
確率変数はある事態が起こった時の結果。
遊園地の運営なら晴れになったら入場者数1万人。
雨なら3000人。
の人数の方を指す。

*確率分布とは
F' ,,,Ai,,,
P' ,,,Pi,,,
事象Aiが起こる確率がPiであるという関係であった。

ω∈AiをAiが起きた時としこの時数値Xiが定まるとする。
ω(Ai)からXiが定まる関数となる。

より厳密な定義は?
根源事象ωにたいし
X(ω)={(x1 ω∈A1),,,(xi ω∈Ai,,,)}
と定まるのが確率変数の厳密な定義でAiが起こった時Xiが起こるという意味となる。
X(ω)は根源事象の関数。

*確率変数の定義
F' ,,,Ai,,,
X  ,,,xi,,,
P  ,,,Pi,,,
AiがPiの確率で起こるときxiが起こる。
箱の中に赤青黄のボールが6、3,1個入っていて引き当てた色によってもらえる金額が違う。
この時色がFで引き当てる確率がPで金額がXとなる。


*ポアソン分布にみられる確率変数の例
2項分布の成功率が異常に低くなったのがポアソン分布。
∞回繰り返したとき
F' ,,,(k回成功する),,,
X  ,,,xi,,,
P  ,,,(λ^k*(e^(-λ))/k!,,,

P(X=k)は、「単位時間中に平均で  回発生する事象がちょうど k 回(k は0を含む自然数、k = 0, 1, 2, ...)発生する確率」に相当する
事象が平均で2分間に1回発生する場合、10分間の中で事象が発生する回数はλ=5
xiで何が起こるかは自由に定めて構わない
例えば10回以上の成功以外無視ならx0~x10まで0を割り当てるなども自由にしてよい。

*確率変数の変換とは
単純な変換は
F' ,,,Ai,,,
X  ,,,f(xi),,,
P  ,,,Pi,,,
を考えること。

もう少し複雑な変換は
F' ,,,Ai,,,
X  ,,,f(xi),,,
P  ,,,Pi,,,
を
G' ,,,Bi,,,(この事象がおこる)
Y  ,,,yi,,,(その結果起こる事象)
Q  ,,,qi,,,(Bが起こる確率)
という確率変数に変換する操作を指す。
さいころを振ってxi=1,,6のどれかが出る場合を
y=f(xi)=(-1)^(x+1)とすると
奇数なら1偶数なら-1となるので確率変数が

G' {-1},{1}
Y   -1   1
Q   1/2  1/2
と変換される。


*連続の場合の確率変数
F' ,,,{[x,x+Δx]},,,
X  ,,,x,,,
P  ,,,P(x)Δx,,,
と定義され変換は。
y=f(x)
G',,,{[y,y+Δy]}
Y ,,,,y,,,,,,
Q ,,,,q(y)Δy,,,
と変換される。
これ具体的な数式を色々入れるとかなり難しそう、、、


*期待値
これは平均値が安定する十分な回数の試行が行われないと信頼できない値になっている。
離散の場合は特に書くまでもない。
連続の場合は
-∞~∞まで
∫x*p(x)dx

ポアソン分布の場合の期待値例 ∞~0まで
E(x)=Σk*(λ^k)/(k!)*e^(-λ)
∞~1としても問題がないので再定義して式変形すると
e^(-λ)λΣ(λ^(k-1))/((k-1)!)
ここで
e^λ=Σ(λ^(k))/((k)!
という式を適用して
e^(-λ)λΣ(λ^(k-1))/((k-1)!)=e^(-λ)*λ*(e^λ)となる。

と定義からすんなり出てくる。