http://w.atwiki.jp/contradiction/ 背理法Wiki ja 2011-06-02T05:06:51+09:00 1306958811 https://w.atwiki.jp/contradiction/pages/1.html //$$ f \in \mathcal{F} \qquad n \in \mathbb{N} $$ 　できれば分野と証明した人を書き添えてください。 　今のところ数学と数学以外のカテに分類して募集していますが、投稿が増えてきたらもっと細かく分類します。 ---- -数学 　・[[素数は無限個存在する>>http://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%B4%A0%E6%95%B0#.E7.B4.A0.E6.95.B0.E3.81.AE.E7.84.A1.E9.99.90.E6.80.A7]](数論・ユークリッド） 素数が有限個しかないと仮定する。 すると最大の素数$$p$$が存在するはずだから、$$p$$以下の素数すべてを掛け合わせて1を足した数 $$q = 2\cdot3\cdot5\cdot...\cdot p$$ を考える。するとこれは$$p$$以下のどの素数でも割り切れないから、新しい素数であるかまたは$$p$$より大きく$$q$$より小さい素数で割り切れる。 いずれの場合にも$$p$$より大きい素数が存在することになるから仮定に矛盾。 よって素数は無限個存在する。 　・[[$$\sqrt{2}\quad$$は無理数>>http://www.altmc.jp/amc/practicum/primer/lessons/034/0212.html]](数論・ピタゴラス） $$\sqrt{2}\quad$$が有理数だと仮定すると、$$\sqrt{2} = \frac{n}{m}$$という既約分数として書くことができる。 両辺を二乗して $$2m^2 = n^2$$ よって$$n$$は偶数。$$n = 2k$$ とおくと、$$n^2 = 4k^2$$。これを上式に代入すると、 $$2m^2 = 4k^2 \rightarrow m^2 = 2k^2$$ 従ってmも偶数となり、これは$$\frac{n}{m}$$が既約分数とした仮定に反する。 よって$$\sqrt{2}$$は無理数。 　・体$$K$$から環$$R$$への準同型写像$$f: K \rightarrow R$$は単射(群論・?) $$a \in {\rm ker}f$$で$$a \neq 0$$と仮定すると、$$f(a) = 0$$ $$a$$は体の元だから必ずその逆元$$a^{-1}$$が存在して、 $$f(1) = f(a\cdot a^{-1}) = f(a)\cdot f(a^{-1}) = 0$$ ここで$$f$$は準同型写像だから、$$f(1) = 1$$でなければならないから矛盾。 よって$${\rm ker}f = (0)$$でなければならないが、$${\rm ker}f = \{0\} \Leftrightarrow f$$は単射、だから証明された。 　・$$f(X) \in {\rm Q}[X]$$が既約なら$$f(X+\alpha) (\alpha \in Q)$$も既約 i)$$f(X)$$が1次以下の場合は明らかに成立。 ii)$$f(X)$$が2次の場合 　　$$f(X+\alpha) = f'(X)$$が可約だと仮定する。 　　すると2次多項式だから$$f'(X) = (X-u)(X-v)$$と書けるはずだが、$$f(X) = f'(X-\alpha) = (X -(\alpha + u))(X - (\alpha + v))$$となり、$$f(X)$$は可約となって矛盾。 　　従って$$f'(X) = f(X+\alpha)$$は既約でなければならない。 iii)$$n+1$$次の場合 　　$$n$$次までの$$f(X)$$について命題が成立する場合に、$$n+1$$次についても成立することがii)と同様に容易に示されるから数学的帰納法により全ての次数の多項式について成立する。 // 　　$$n+1$$次多項式$$f(X+\alpha) = f'(X)$$が可約だと仮定する。 // 　　すると$$f'(X) = (X-w)p(X)$$と分解することができ、$${\rm deg}\hspace{4em}p(X) = n$$となる。 // 　　$$p(X+\alpha) = p'(X), q(X+\alpha) = q'(X)$$とすると、$$f(X) = f'(X-\alpha) = p'(X-\alpha)q'(X-\alpha)$$で可約となり矛盾。 // 　　よって$$f(X)$$は既約でなければならない。 　・アイゼンシュタインの既約判定法の証明(群論・?) 　・カントールの定理(集合論・カントール) 　・実数区間の非可算性:区間縮小法 　・[[実数区間の非可算性:対角線論法>>http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%AF%BE%E8%A7%92%E7%B7%9A%E8%AB%96%E6%B3%95]](集合論・カントール）→[[対角線論法撲滅計画]] // ↑数学カテに入る例はここに書き込んで下さい //////////////////////////////////////////////////////////////////// ////// 新しい例を投稿される場合は、整形しなくても結構です。 /////// //////////////////////////////////////////////////////////////////// ---- -数学以外 　・[[二将軍問題が有限回のメッセージ交換で解決できない>>http://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%BA%8C%E4%BA%BA%E3%81%AE%E5%B0%86%E8%BB%8D%E5%95%8F%E9%A1%8C]](フォルトトレランス・) 　・[[停止性問題の判定不可能性>>http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%81%9C%E6%AD%A2%E6%80%A7%E5%95%8F%E9%A1%8C#.E8.A8.BC.E6.98.8E]](計算理論・チューリング） 　・[[バーナンキの背理法>>http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%90%E3%83%BC%E3%83%8A%E3%83%B3%E3%82%AD#.E3.83.90.E3.83.BC.E3.83.8A.E3.83.B3.E3.82.AD.E3.81.AE.E8.83.8C.E7.90.86.E6.B3.95]]（経済・バーナンキ） // ↑数学以外のカテに入る例はここに書き込んで下さい //////////////////////////////////////////////////////////////////// ////// 新しい例を投稿される場合は、整形しなくても結構です。 /////// //////////////////////////////////////////////////////////////////// ---- - テスト -- 名無しさん (2008-07-12 00:30:47) - 哲学：「死が恐るべきものである、という根拠は存在しない」ソクラテスの弁明（死を恐れるとは、「死が恐ろしいものである」と知っている、という表明だが、その人は（自分も含めて）死を知らない。これは矛盾） -- jojompa (2010-04-10 14:41:27) #comment &bold(){}&bold(){} 2011-06-02T05:06:51+09:00 1306958811 https://w.atwiki.jp/contradiction/pages/12.html 2011-05-23T05:53:13+09:00 1306097593 https://w.atwiki.jp/contradiction/pages/2.html //*** 現在、背理法による証明を収集しております。 証明例をご存知の方、よろしくm(_ _)m ---- ***メニュー -[[背理法とは]] -[[背理法コレクション]] -[[対角線論法撲滅計画]] -[[バーナンキの背理法撲滅計画]] //-[[プラグイン紹介>プラグイン]] //-[[メニュー]] //-[[メニュー2]] -[[検索>>http://www8.atwiki.jp/contradiction/search]] ---- ***リンク -[[@wiki>>http://atwiki.jp]] -[[@wikiご利用ガイド>>http://atwiki.jp/guide/]] -[[管理者向けガイド]] ***更新履歴 #recent(10) &link_editmenu(text=ここを編集) 2011-05-19T22:32:31+09:00 1305811951 https://w.atwiki.jp/contradiction/pages/14.html ・背理法とは、ある命題$$A$$が真であることを示すために +命題$$A$$の逆($$\neg A$$)が真であると仮定し、 +それによって矛盾($$B$$と$$\neg B$$の両方が成立する:$$B\hspace{1em}\wedge\hspace{1em}\neg B$$)を導くことによって +命題$$\neg A$$が真ではありえない、つまり命題$$A$$が真であること という手順を踏む証明法。帰謬法ともいう。(仮定$$C_1,C_2,...C_n$$に$$\neg A$$を追加して得られる仮定が矛盾($$B\hspace{1em}\wedge\hspace{1em}\neg B$$)を含めば、もとの仮定の下で$$A$$が証明できることによる) 参照：[[wikipedia日本語>http://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%83%8C%E7%90%86%E6%B3%95]]/[[wikipedia英語1>http://en.wikipedia.org/wiki/Reductio_ad_absurdum]]/[[wikipedia英語2>http://en.wikipedia.org/wiki/Proof_by_contradiction]] // // 2011-05-19T22:31:23+09:00 1305811883 https://w.atwiki.jp/contradiction/pages/13.html **バーナンキの背理法撲滅計画 ***批判その一 　命題$$A$$「日銀が無限に国債を購入し続ける。」、命題$$B$$「インフレになることはない。」とすると、「日銀が無限に国債を購入し続けたとしても、インフレになることはない。」という仮定は、$$A$$→$$B$$であるが、そもそも$$A$$が偽であるため（日銀が無限に国債を購入し続けることは不可能であるから）$$\neg A$$→($$A$$→$$B$$)（偽の仮定は無条件と同じ）であるから、仮定全体がもともと常に真ということになってしまう。 　つまり、仮定の仮定部分がそもそも偽であるような背理法は誤りである。 ***批判その二 　「日銀が国債をインフレなしに無限に買い取ることが出来るとすると無税国家が出現してしまう。だが実際には無税国家はあり得ない。」という推論に誤りがある。 　国債を買ってもらえるのは国家に潤沢な税収があり償還が確実であるという信用があってのことである。”無税国家”、すなわち税収の無い状態にした途端にこの信用は無くなり、国債は暴落して誰も新規引受人はいなくなってしまう。すなわち、日銀があえて自身が莫大な損益を計上することを承知の上でそうしない限り国債発行額を増やすことによって”無税国家”を実現することは不可能である。”税収を確保している限りにおいて”、信用が持続する限度の量の国債発行が可能であるに過ぎない。要するに、国債によって無税国家を作ることは元々不可能なことである。 　また逆に、日銀がこのように国家に代わって赤字を背負うことが無限に可能だとすれば、もともと無税国家は可能だからこの場合も上の推論は誤りである。 //(以下の荒らし行為[許容レベル以下の書き込み]は一定期間の後に管理者によって削除されます。） //***批判その一への再批判 //「無限」を「兆円の兆倍」というふうに巨大な有限数とすれば、問題はない。そもそもここにおける「無限」は、「とても大きな有限数」を意味するにすぎない。数学的な意味で「無限」//の金を扱うと考えるのは誤読である。 //←そんな問題ではないし、∞と同一の概念と言ってもいない。それこそ誤読。 //***批判その二への再批判 //「もともと無税国家は可能だ」とすれば、これは無内容ではあるが、誤りとはならない。 //←読めてない。 //***別の見解 //「論理的には間違いはないが、言葉に多義性があるため、矛盾が生じてしまう」という説明もある。ネットで簡単に見つかる。 //←それは今関係ない。 　 2010-05-20T07:35:28+09:00 1274308528 https://w.atwiki.jp/contradiction/pages/11.html *(初期ページ内容を保存しただけのページ） //*TeXのテスト //$$ f \in \mathcal{F} \qquad n \in \mathbb{N} $$ **@wikiへようこそ -ウィキはみんなで気軽にホームページ編集できるツールです。 -このページは自由に編集することができます。 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＝＞http://atwiki.jp/guide/17_117_ja.html ----- たとえば、#recent(20)と入力すると以下のように表示されます。 #recent(20) 2008-06-17T16:48:06+09:00 1213688886 https://w.atwiki.jp/contradiction/pages/6.html * アーカイブ @wikiのwikiモードでは #archive_log() と入力することで、特定のウェブページを保存しておくことができます。 詳しくはこちらをご覧ください。 ＝＞http://atwiki.jp/guide/25_171_ja.html ----- たとえば、#archive_log()と入力すると以下のように表示されます。 保存したいURLとサイト名を入力して"アーカイブログ"をクリックしてみよう #archive_log() 2008-06-17T16:48:06+09:00 1213688886