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（輪読用）Differential Forms with Apprications to the Physical Sciences

chap3.3

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satoshi

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２つの領域 \mathbf{U} \subset \mathbf{E}^m と \mathbf{V} \subset \mathbf{E}^n の間の
なめらかな関数を

\phi : \mathbf{U} \rightarrow \mathbf{V}　(1)

とする。\mathbf{V} 上の実関数 g \in \mathbf{F}^0 (\mathbf{V}) に対して、\phi^* の作用を

\phi^* g = g \circ \phi \in \mathbf{F}^0 (\mathbf{U})

と定める。これは 0 形式に対する写像となっている。
p 形式に対しては

dy^i = \frac{\partial y^i}{\partial x^j} dx^j

により写像を定める。この写像は

  1. \phi^* (\omega + \eta) = \phi^* \omega + \phi^* \eta
  2. \phi^* (\lambda \wedge \mu) = (\phi^* \lambda) \wedge (\phi^* \mu)
  3. d (\phi^* \omega) = \phi^* (d \omega)
  4. (\psi \circ \phi)^* = \phi^* \circ \psi^*

といった性質をもつ。

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要約

  • 微分形式において、なめらかな関数による変数変換を自由に考えてよい

  • うまく描けないｗ ＞ ダイアグラム -- taka (2011-05-15 21:29:30)
  • 乙です。ここの議論の理解はかなり図に助けられました。Φ*は写像を動かす写像！ってイメージで。
    3の性質はものすごく重要っぽいですけど証明に反対称の仮定は要らないんですね。
    -- satoshi (2011-05-16 02:12:39)
  • 仮に、(1)でU上でのスカラー関数を考えると、Φに逆写像が存在しなきゃ変数変換ができないですね。
    U→V→R　だと、U→Vに逆写像が存在しなくてもV→Rの関数をUに持ってくることができる。
    だから引き戻しなのかなーと。 -- satoshi (2011-05-21 12:35:06)
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