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（輪読用）Differential Forms with Apprications to the Physical Sciences

chap4.2

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taka

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直交行列と反対称行列の関係


前節の \Omega が反対称行列になったのは、基底 \mathbf{e}_i の規格直交性と深い関係があります。

基底 \mathbf{e} は各点で向きが滑らかに変化するベクトル場としましたが、
ほかに向きが常に一定の基底 \mathbf{i} を \mathbf{e} = \bm{B} \mathbf{i} のように取ります。

体積素


d\mathbf{x} = (dx, dy, dz) \cdot \mathbf{i} = \mathbf{\sigma} \cdot \mathbf{e} = \mathbf{\sigma} \bm{B} \mathbf{i}

なので

(dx, dy, dz) = \mathbf{\sigma} \bm{B}

が成り立ちます。|B| = 1 であることを使うと

dx dy dz = |B| \sigma_1 \wedge \sigma_2 \wedge \sigma_3 = \sigma_1 \wedge \sigma_2 \wedge \sigma_3

と体積素が表わされます。

反対称行列


一方、

d\mathbf{e} = (d\bm{B}) \mathbf{i} = (d\bm{B}) \bm{B}^{-1} \mathbf{e} = \Omega \mathbf{e}

であるので

\Omega = (d\bm{B}) \bm{B}^{-1}

です。\Omega が反対称行列であることは \bm{B} が直交行列であることから導けます。
それには

^t \bm{B} \bm{B} = \bm{I}

の両辺を外微分することで導けます。


要約


規格直交のベクトル場 \mathbf{e} の離れた２点は直交行列（回転行列）で結ばれるが、
その微小量の変化として、外微分は反対称行列 \Omega = (d\bm{B}) \bm{B}^{-1} を用いて
d \mathbf{e} = \Omega \mathbf{e} という関係をもつ。

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