Problem - （輪読用）Differential Forms with Apprications to the Physical Sciences

Q1

中の任意の点で
　　　(1)
が成り立つならば、任意の点で
　　 (2)
をみたす関数が存在する事を示してください(2→1は両辺のrotを取るだけだがその逆）。

解

は、ベクトル を 1-form と見ると
と書けます。定義域 は可縮なので、ポアンカレの補題の逆より
を満たす 0-form が存在します。
とすることで、 と書けるので
を満たす が存在することを証明できました。

Q2

次の写像は chap 3.4 の意味で座標変換になっているでしょうか？
また、開集合 を制限することで
座標変換になる場合は、その最大の開集合を与えて下さい。

1. 
2. 
3. 
4. 

解

1.
(-∞,+∞)→(∞,∞)

2.
(0,+∞)→(0,+∞)

3.
(-∞,+∞)→(0,+∞)

4.
R×R-{0,0}→R×R-{0,0}
ただし
0<r<∞
0<=θ<2π

Q3

Stokesの定理（P.64)、で特にCを数直線上の閉区間[a,b]、ωを0-formとすると何が出てくるでしょう？
この定理を使う例を見たほうが良いと思ったので書いてみました。chainと境界演算子はとりあえず大雑把な理解で問題ないです。

discussion

• ω = F(x)、dω = f(x) dx として
  ∫_[a,b] f(x) dx = F(b) - F(a)
  定積分の公式になりました。 -- taka (2011-07-03 19:27:25)
• 正解です。
  Stokesの定理が微積分の基本定理を含んでるって何か凄いですｗ
  -- いいじま (2011-07-04 08:38:57)
• なるほどです～。
  分かりやすい例ありがとうでした。 -- taka (2011-07-04 20:02:47)

Q4

２次元ユークリッド空間 の各点 に


のように座標 を入れます。
ここで は正の実数とします。
(1) および を求めて下さい。
(2) この座標系は直交座標系でしょうか？
(3) （設問考え中）--taka

解＆discussion

• 楕円座標系というのを考えていましたが、単純には行かないですね。 -- taka (2011-06-29 18:43:22)
• 問題に気づかなくてすいませんorz
  -- いいじま (2011-07-04 08:39:28)
• (1) (-arsinθ,brcosθ)と (acosθ,bsinθ)
  (2)(1)はa=bの時に基底が直行、それ以外は直行しないですね！
  
  
  ＞楕円座標系
  ありそうだけど見ないですよねぇ・・。 -- いいじま (2011-07-04 09:04:31)
• (1), (2) : 正解です
  ＞ ありそうだけど見ないですよねぇ・・。
  う～ん。やっぱりあまり使われていないかな…
  (3) θ 一定の半直線とそれに直交する直交座標
  (4) r 一定の楕円に
  接する単位ベクトル e1 と
  直交する単位ベクトル e2 とを
  moving frame とする座標系
  …などと考えたけど、
  とくに (4) は自分でうまく解けなかった -- taka (2011-07-04 20:21:37)

O1

３４組（６８人）の夫婦がパーティーで握手をして、どの参加者も自分の伴侶とは握手をしなかった。
参加者全員に握手をした回数を聞いたところ、なんと全員違う回数を答えた。
僕の奥さんは何回握手ををしたでしょうか？

関係無いですけど、面白い問題を見つけたので書いてみましたｗ

解＆discussion

握手をできる回数は、自分と自分の伴侶を除くので、最大６６人です。
したがって自分の除いて他の参加者６７人は０回から６６回までの握手の人がちょうど１人づつ居ます。
そこで自分以外で 回握手した人を さんと呼ぶことにします。
６６さんは自分の伴侶以外と必ず握手しているので、
６６さんの伴侶は０さんです。
つぎに、６５さんは０さんと自分の伴侶以外とは必ず握手をしていて、
１さんは６６さんと握手をしているので、
６５さんの伴侶は１さんです。
同様にして、 さんの伴侶は さんであることが分かります。
最終的に自分の伴侶は３３さんであることが分かり、
自分の奥さんは３３回握手をしています。

• 面白いですね。
  解がはっきりでるところが良いです。 -- taka (2011-07-05 22:35:13)
• 正解＆ナイス解答です♪
  
  
  -- いいじま (2011-07-06 08:48:15)

• （この本以外の）問題もあった方がいいと思うので作ってみました。 -- satoshi (2011-06-07 05:53:20)
• ありがとさんです。助かります。
  -- taka (2011-06-07 20:30:06)
• Q1 はポアンカレの補題の逆を使ってもいいのかな…？
  それとも具体的に f(r) の構成法を示さないとだめ？ -- taka (2011-06-07 20:31:55)
• もちろん、ポアンカレの補題を使って欲しいです。
  線積分で具体的にf(r)を構成するのは、力学の本にも乗ってますよね。
  -- satoshi (2011-06-08 02:41:02)
• あと、何か問題を書いてくれるとうれしーです（簡単な奴でも、この本と関係なくても）！
  -- satoshi (2011-06-08 02:42:41)
• りょーかいです。 -- taka (2011-06-08 23:35:35)
• 乙です、考えてみます。
  -- satoshi (2011-06-09 13:51:59)
• ＞座標変換になる場合は、その最大の開集合を
  ならない場合は、の間違いかな？
  ここで言っている座標変換って、n=1としてΦ:E^1→E^1　でΦが連続かつ、Φ^(-1)も連続であること（smoothならば連続）。これからchap3.4でUとVが開集合である事がいえるらしいですけど位相について詳しくないので。。。
  例えば（2)だったらE全体では座標変換にはにならないけど、定義域Uを(0,1)とすれば座標変換になりますよね。
  大事なのはR^n全体じゃなくてU,Vの方かと（このチャプターだとR^nだけど、例えば曲面全体の”座標変換”を考えるってことは無いかと。考えるとしたらもっと”局所的にR^2とみなせるような領域”をU,Vとおくのが自然です。 -- さとし (2011-06-11 06:35:12)
• ＞Q1
  正解です！
  僕も考えてないですが、としてもω=dα+dα'としてもdω=０となりますよね。
  これとポテンシャルの不定性とか、電磁気のゲージ変換とか関係あるのかな？
  -- さとし (2011-06-11 06:42:16)
• ＞Ｑ２
  座標変換は chap 3.4 では、滑らか（微分可能）かつ１対１となっています。
  問 (2) で定義域 U = V = (0,1) というのは φ を座標変換にする開集合（定義域）として正解です。
  しかしもっと大きくとれるので、最大の開集合は U = V = (0, ∞) というのが題意でした。
  開集合については、E^n なので、開集合 ～ 解区間 のようなイメージでいいと思います。
  多様体 - 局所座標についてはその通りですね。
  多様体なら好きなだけ局所座標を貼り合わせられるので定義域で悩むことも少ないかも… -- taka (2011-06-12 00:26:42)
• ＞Ｑ１
  マクスウェル方程式で curl F = 0 というと、静電場とかでしょうか？
  ゲージ理論は私もとても興味あります。数学と物理の接点みたいな感じなのでしょうか？ -- taka (2011-06-12 00:35:03)
• ＞しかしもっと大きくとれるので
  
  
  で、納得しました。
  ホント理解不足でした。。。
  -- さとし (2011-06-12 23:26:16)
• ＞ゲージ理論
  
  
  僕も興味があります。物理で見かけて計算したことはありますけど
  電磁気だと
  ＞http://homepage2.nifty.com/eman/electromag/gauge.html
  とか。
  深い理解は殆んどできてないです（か、忘れた）。
  #openclose　便利ですね。流石ですｗ
  -- さとし (2011-06-12 23:48:25)
• ＞openclose
  ギミック好きなのでｗ
  それが数学や物理にも生かせてればより良いのですけどね～ -- taka (2011-06-13 23:33:37)
• ＞Ｑ２
  (1) 正解です。マイナス抜けてるかな？
  (2) 正解です。
  (3) tan は周期関数なので右辺はもっと制限しないと１対１にならないですよ～
  (4)
  原点を除くという所に気付いたのは good
  しかし r と θ に制限をかけているので
  右辺は R×R-{0,0} ではないですね。 -- taka (2011-06-13 23:40:39)
• (3)　arctanをの定義域を制限して
  (-∞,+∞)→(-π/2,+π/2)　n=±1,2,3.... でしたorz
  
  
  (4)
  R×R-{(0,0)}　→　(0,∞)×[0,2π)
  で、とりあえず一対一になります。
  -- さとし (2011-06-14 11:53:16)
• (3) 正解です。
  (4) ふっふっふ～第(4)問はもっとクセがあります！
  左辺は穴が開いた空間なのに対し、右辺は短冊形ですね。
  これらが座標変換で１対１に結ばれているとすると、
  可縮でないはずの左辺の空間を、右辺に引き戻すことでポアンカレの補題が使えてしまいます。
  まだ何か調整が必要なはずです。 -- taka (2011-06-14 13:31:18)
• 原点を除去しなくても座標変換にできるって事かー
  考えてみます。
  
  
  -- いいじま (2011-06-14 17:06:38)
• 私の考えた解では原点は除去しています。
  ヒントは [a,b]：閉集合、(a,b)：開集合、[a,b)：どちらでもない、です。 -- taka (2011-06-14 18:36:40)
• R×R-{ｘ軸の+∞に向かう、原点を含む半直線｝　→　(0,∞)×(0,2π)
  で、どっちも可縮空間になります。
  
  
  -- いいじま (2011-06-14 20:29:37)
• (4) 正解です。
  私もいまいち自信が無いのですが、
  最大の開集合をとるとたぶんそうなると思います。 -- taka (2011-06-14 22:12:31)
• 感覚的に一番自然だとおもいます。
  (0,∞)×[0,2π) 　だと開ではなくなってしまいますし。 -- いいじま (2011-06-15 09:14:12)
• ＞ (4)
  左辺の切り開き方というか、半直線の取り方は任意性がありますね。
  (0,0) と無限遠を結ぶ曲線ならなんでもよさそう。
  例えばアンモナイトの渦巻きのような曲線で切り開くのも１つの解です。
  順序集合は最大が複数ある場合もあるということで、許して下さい。 -- taka (2011-06-15 18:18:01)
• > Q3
  まだそこまで進んでいないので答えるのはしばらく後でいいですか？ -- taka (2011-06-21 18:45:09)
• 了解ですー
  
  
  -- satoshi (2011-06-21 22:48:16)