勉強会まとめ（2014.4～） - diff-geometry @ ウィキ

2014.4.19（土）のまとめ

○日時
2014.4.19（土）大阪　13時～18時
○参加者
A,E,M
○発表者
E
○概要

• §4-3 標構束上の接続 p119-126 定理3.1の証明の途中まで
• m次元の多様体M上に接続を1つ与えることは、M上の標構束の全空間上に構造方程式を満たすm^2個の1-formを与えることと同値である

○内容

• m次元の多様体Mの各点とその点の接空間の基底全体を併せて考えることで標構束が作れる
• 標構束の全空間Pは(m+m^2)次元の多様体になる
• Mの微分構造のみからP上にm個の1-formが作れる
• Mに1つ接続を与えるとこれを使ってP上にm^2個の1-formが作れる
• これらを外微分すると構造方程式が得られる
• 構造方程式はP上のm^2個の1-formがM上の接続を与える必要条件である
• 実はこれは十分条件でもある！（定理3.1）
• 構造方程式をもう一度外微分するとBianchiの恒等式が得られる
• 定理3.1の証明の計算がうまくいかなかったので次回

○次回
2014.7.5（土）大阪　13時～　発表者：M　§4-3の残りと§5-3断面曲率