「オイラー数の計算方法」の編集履歴（バックアップ）一覧に戻る
オイラー数の計算方法 - (2012/08/29 (水) 16:50:10) のソース
オイラー数の計算を完全に理解しなくとも
ゲームを楽しむことは可能であるが、
Euler Getter をより深く楽しむために、
オイラー数の計算を身に付けておくことは重要だ。
以下では、終局図のオイラー数の計算方法と
終盤のオイラー数の読み方を説明する。
**終局図のオイラー数
----
オイラー数とは、連結した土地の数から
ループの数を引いたもののことである。
(より厳密には[[数学的な説明]]を参照のこと。)
「点対称な位置にある縁のマスは同じマスと見なす」
という盤面の取り決めが少しややこしいが、
これは以下の例のように計算する。
**例
----
下の終局図で青のオイラー数を計算してみる。
まず太い線が1本のループになっている。
枝が付いているのは気にしない。
全ての土地が繋がっているので、連結した土地は1つ。
オイラー数は1-1=0であり青の負けである。
#image(euler1.png,width=280,height=200)
次の終局図ではどうだろうか。
2本のループがクロスしているが、
黒丸は孤立した土地なので連結した土地も2つある。
結局オイラー数はやはり2-2=0で青の負けである。
#image(euler2.png,width=280,height=200)
同じ終局図を赤について見てみよう。
黒丸が孤立した土地で連結した土地は2つ。
太線が1本のループで枝が付いてるのは気にしない。
したがってオイラー数は2-1=1で確かに赤の勝ちである。
#image(euler3.png,width=280,height=200)
**終盤のオイラー数
----
終盤のオイラー数は勝敗を占う鍵である。
特にこれを使うことで、盤面が埋まるかなり手前から
終局時のオイラー数を読むことが出来る。
まず、1つ石を置くごとに生じる
自陣のオイラー数の変化は -2 から +1 まであり得ることに注意する。
オイラー数が1加わるのは飛び地を作る場合であり、
オイラー数が維持されるのは、連結な土地を延ばす場合である。
オイラー数が1減るのは離れた土地同士を繋いだりループを作る場合であり、
オイラー数が2減るのは、竦みに打ち込んだ場合である。
一般にその場所に打ち込むとオイラー数の変化が
非負になるようなマスを&bold(){安息地}と呼ぶことにする。
ゲームの最中、安息地は次第に減っていく。
さて、赤青どちらか一方の安息地が無くなった時、実質的にゲームは終わる。
なぜなら、「安息地が2つ以上増えるような手」というのは滅多にないからである。
安息地が1つ増えても、相手に取られてしまえば自分は休めない。
すなわち、結局大抵の場合、
その時点でのオイラー数 - 残りの手数 - 竦みに打ち込む回数
が終局時のオイラー数に一致するのである。
**例
----
赤の安息地。
#image(haven1.png,width=280,height=200)
同じ局面における青の安息地。
#image(haven2.png,width=280,height=200)
現時点での青のオイラー数は2である。
一方、青の残りの手数も2である。
竦みが生じる可能性はどこにもない。
したがって、赤は青の唯一の安息地を押さえることで、
1-0 の勝ちを確定させることができる。
下の図は滅多にない
「安息地が2つ以上増えるような手」が存在する状況である。
#image(counterexample.png,width=320,height=200)
赤の安息地が無いため負けが確定しているようにも見えるが、
次のように打つことで逆転出来る。
#image(counterexample2.png,width=320,height=200)
このような状況が実戦で起きにくいことは明白である。
実際、安息地かどうかというのは局所的な条件で決まり、
安息地が2つ以上増えるような手が存在するためには、
最低限以下の3種類の配置のいずれかが残っている必要がある。
しかも青が入りこんでいてはいけない。
#image(2haven.png,width=100,height=100)
#image(2haven2.png,width=100,height=100)
#image(2haven3.png,width=100,height=100)
ただし、少し分かりにくいが、[[セミ鋭点>初手鋭点打ち]]まわりでは
次の4種類目の配置もありうる。
#image(2haven4.png,width=180,height=150)
