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ゲーデルの不完全性定理 - (2010/07/01 (木) 22:19:43) のソース

-ヒルベルト計画
--形式的体系の導入
---数学を《形式的体系》として表現する
---すなわち、数学を形式的な記号の列として表現する
--無矛盾性の証明
---形式的体系に《矛盾がない》事を証明する。
---すなわち、任意の論理式Ａに対して《Ａと￢Ａの両方は形式的に証明できない》ことを証明する
--完全性の証明
---形式的体系が《完全である》ことを証明する。
---すなわち、任意の文Ａに対して、《Ａと￢Ａの少なくとも片方は形式的に証明できる》ことを証明する。


《形式的証明》
論理式$$a_{1}$$ , $$a_{2}$$ , ・・・, $$a_{n}$$の有限列の一種で、次の条件を満たすもの。
●$$a_{1}$$は公理である。
●$$a_{2}$$は公理である。または、$$a_{1}$$から推論規則で$$a_{2}$$を導ける。
●$$a_{3}$$は公理である。または、$$a_{1}$$,$$a_{2}$$のどちらか（あるいは両方）から推論規則でを導ける。
●・　・　・
●$$a_{n}$$は公理である。または、それ以前の論理式のどれかから推論規則でを導ける。