http://w.atwiki.jp/giza/ giza @ ウィキ ja 2010-04-27T22:57:45+09:00 1272376665 https://w.atwiki.jp/giza/pages/23.html 2010-04-27T22:57:45+09:00 1272376665 https://w.atwiki.jp/giza/pages/22.html 2010-04-18T20:26:07+09:00 1271589967 https://w.atwiki.jp/giza/pages/21.html 2010-04-16T22:49:48+09:00 1271425788 https://w.atwiki.jp/giza/pages/20.html 2010-04-15T13:53:22+09:00 1271307202 https://w.atwiki.jp/giza/pages/19.html $$\lim_{n \rightarrow\infty}2^nl(n)=2\pi$$ 定義　曲線 曲線区間$$I=[a,\ b]$$から $$xy$$平面$$\mathbb{R}^2$$への写像を曲線$$C$$という． $$t\in I$$に対応する点$$\mathrm{P}(t)$$を， 二つの関数$$\varphi(t)$$と$$\psi(t)$$を用いて $$(\varphi(t),\ \psi(t))$$と表す．関数$$\varphi(t)$$と$$\psi(t)$$が連続であるとき$$C$$を連続曲線という．$$\varphi(t)$$と$$\psi(t)$$が微分可能であるとき$$C$$を微分可能曲線という． 定義　曲線の長さ 区間$$I$$の分割を$$\begin{displaymath} a=t_0<t_1<\cdots<t_n=b \end{displaymath}$$とする．この分割を$$\lambda$$と書く． 曲線$$C$$上の点 $$(\varphi(t_i),\ \psi(t_i))$$を $$\mathrm{P}(t_i)$$と表す．これによって2点 $$\mathrm{P}(t_0)$$と $$\mathrm{P}(t_n)$$を端点とする折れ線 $$\mathrm{P}(t_0)\mathrm{P}(t_1)\cdots\mathrm{P}(t_n)$$ができる．この長さを$$L(\lambda)$$とする． $$\begin{displaymath} L(\lambda)=\sum_{i=0}^{n-1}\mathrm{P}(t_i)\mathrm{P}(t_{i+1}) \end{displaymath}$$ $$L(C)$$を$$\lambda$$が区間$$[a,\ b]$$のすべての分割を($$n$$も変化して)動くとき $$L(\lambda)$$の上限 $$\begin{displaymath} L(C)=\sup_{\lambda}L(\lambda) \end{displaymath}$$ が存在すればそれを曲線$$C$$の長さと定義する． ■ 分割の小区間 $$[t_{i-1},\ t_i]$$をさらに分割して $$[t_{i-1},\ s],\ [s,\ 2010-04-02T23:45:17+09:00 1270219517 https://w.atwiki.jp/giza/pages/18.html $$\lim_{n \rightarrow\infty}2^nl(n)=2\pi$$ 定義 20 曲線区間$$I=[a,\ b]$$から $$xy$$平面$$\mathbb{R}^2$$への写像を曲線$$C$$という． $$t\in I$$に対応する点$$\mathrm{P}(t)$$を， 二つの関数$$\varphi(t)$$と$$\psi(t)$$を用いて $$(\varphi(t),\ \psi(t))$$と表す．関数$$\varphi(t)$$と$$\psi(t)$$が連続であるとき$$C$$を連続曲線という．$$\varphi(t)$$と$$\psi(t)$$が微分可能であるとき$$C$$を微分可能曲線という． $$C$$は$$\mathbb{R}^2$$の点$$\mathrm{P}(t)$$の集合 $$\begin{displaymath} C=\{\ \mathrm{P}(t)\ \vert\ \mathrm{P}(t) =(\varphi(t),\ \psi(t)),\ t \in [a,\ b]\ \} \end{displaymath}$$ である．また変数と区間を明示するときは $$C(t)\ (a\le t \le b)$$のようにも表すものとする． 曲線の長さ 二点 $$\mathrm{P}(x_1,\ y_1)$$， $$\mathrm{Q}(x_2,\ y_2)$$に対して線分$$\mathrm{PQ}$$の長さが $$\begin{displaymath} \sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2} \end{displaymath}$$ で定義されているとする．これをもとに，曲線の長さを定義しよう． 定義 21 (曲線の長さ) 区間$$I$$の分割を $$\begin{displaymath} a=t_0<t_1<\cdots<t_n=b \end{displaymath}$$ とする．この分割を$$\lambda$$と書く． 曲線$C$上の点 $$(\varphi(t_i),\ \psi(t_i))$$を $$\mathrm{P}(t_i)$$と表す．これによって2点 $$\mathrm{P}(t_0)$$と $$\mat 2010-04-04T01:43:29+09:00 1270313009 https://w.atwiki.jp/giza/pages/17.html 代数学の諸分野 * 半群論 * 群論 * 環論 * 体論 * 線型代数学（線形代数学） * 多元環論（cf.リー環論） * 束論 * 代数的整数論（cf.解析的整数論） * 不変式論 * 保型形式論 → 表現論、調和解析 * 可換環論 → 代数幾何学 2010-01-01T00:15:45+09:00 1262272545 https://w.atwiki.jp/giza/pages/16.html モニック多項式：最高次の係数が1である多項式 2009-11-29T22:06:47+09:00 1259500007 https://w.atwiki.jp/giza/pages/15.html 行列 $$detA\neq0$$　なら　$$Ax=0$$は非自明解を持たない $$detA=0$$　なら　$$Ax=0$$は非自明解を持つ $$A$$が正則なら$$AA^{-1}=E$$より$$detAdetA^{-1}=detE=1$$より$$detA\neq0$$となるので$$A$$は正則ではない。 $$A$$は正則でなければ、$$A:R^n\to R^n(x\mapsto Ax)$$に対して $$A(x_1,x_2,\ldots ,x_n)=E$$となるような$$x_1,x_2,\ldots ,x_n$$の組はないので 少なくとも一つの$$e_i$$に対して$$Ax\neq e_i$$となる これより$$A$$は全射ではないので単射でないことがわかる もし$$Ax=0$$は非自明解を持たないとすれば $$Ax=Ay$$としたとき$$A(x-y)=0$$より$$x-y=0$$となり矛盾である 2009-11-29T22:13:27+09:00 1259500407 https://w.atwiki.jp/giza/pages/14.html 直線と点の距離 直線$$ax+by+c=0$$と点$$(x_0,y_0)$$の距離は 直線$$a(x+x_0)+b(y+y_0)+c=0$$と原点の距離に等しい この式は$$a(x-\frac{a(ax_0+by_0+c)}{a^2+b^2})+b(y-\frac{b(ax_0+by_0+c)}{a^2+b^2})=0$$と変形され 直線が点$$(\frac{a(ax_0+by_0+c)}{a^2+b^2},\frac{b(ax_0+by_0+c)}{a^2+b^2})$$を通ることがわかる この点を原点と結べば上の直線と直交するので したがって、求める距離は$$\frac{|ax_0+by_0+c|}{\sqrt(a^2+b^2)}$$となる 2009-10-10T18:54:20+09:00 1255168460