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ここでは、生産関数や効用関数などとして使われるコブダグラス関数と、 コブダグラス関数を一般化したCES関数の基本性質について紹介する。 -コブダグラス関数 -CES関数 ---- >***コブダグラス関数 -#ref(keisuu069.png)を正の定数としたとき、&ref(keisuu070.png)の形で表される関数をコブダグラス関数という。 +&ref(keisuu069.png)を正の定数としたとき、&ref(keisuu070.png)の形で表される関数をコブダグラス関数という。 両辺の対数をとると、&ref(keisuu071.png)と対数の線形関数になる。 コブダグラス関数の形の生産関数はY:生産量、K:資本、L:労働として、 -#ref(keisuu072.png)という形で表される。コブダグラス関数型なので&ref(keisuu073.png)である。 +&ref(keisuu072.png)という形で表される。コブダグラス関数型なので&ref(keisuu073.png)である。 資本と労働を1単位ずつ投入したときには、&ref(keisuu074.png)だけ生産される。 ここでYの単位をAにすれば、&ref(keisuu075.png)とすることができる。 このようなプロセスを正規化や標準化と言ったりする。 ここでKとLがk倍されたとすると、&ref(keisuu076.png)となる。 -#ref(keisuu077.png)のとき、&ref(keisuu078.png)であるので&ref(keisuu079.png)…①となる。 +&ref(keisuu077.png)のとき、&ref(keisuu078.png)であるので&ref(keisuu079.png)…①となる。 同様に&ref(keisuu080.png)のとき、&ref(keisuu081.png)であるので&ref(keisuu082.png)…②となり、 -#ref(keisuu083.png)のときは、&ref(keisuu084.png)より&ref(keisuu085.png)…③となる。 +&ref(keisuu083.png)のときは、&ref(keisuu084.png)より&ref(keisuu085.png)…③となる。 ①のときを&bold(){規模に関して収穫逓増}と呼び、②の場合を&bold(){規模に関して収穫逓減}と呼ぶ。 ③の場合は&bold(){規模に関して収穫一定}と呼び、このときこの生産関数は1次同次である。 -#ref(keisuu083.png)より&ref(keisuu086.png)であるので、&ref(keisuu087.png)と表記できる。 +&ref(keisuu083.png)より&ref(keisuu086.png)であるので、&ref(keisuu087.png)と表記できる。 >***CES関数 生産量Y、資本K、労働LとするとCES生産関数は、&ref(keisuu088.png)と表される。 このCES関数はコブダグラス関数を含んだより一般的な関数となっている。 CESとはconstant elasticity of substitutionの略で、「代替の弾力性が一定」という意味である。 CES関数は様々な関数を含んだ一般的な関数であるので、σの値によって様々な関数型になりうる。 -#ref(keisuu089.png)のとき、&ref(keisuu090.png)となって線形関数となる。 +&ref(keisuu089.png)のとき、&ref(keisuu090.png)となって線形関数となる。 -#ref(keisuu091.png)のとき、右辺の対数をとると&ref(keisuu092.png)となる。 -#ref(keisuu091.png)の極限をとると&ref(keisuu093.png)となりロピタルの定理を用いて、 -#ref(keisuu094.png)と変形される。 +&ref(keisuu091.png)のとき、右辺の対数をとると&ref(keisuu092.png)となる。 +&ref(keisuu091.png)の極限をとると&ref(keisuu093.png)となりロピタルの定理を用いて、 +&ref(keisuu094.png)と変形される。 最初に対数をとっていたのでそれを元に戻すと、&ref(keisuu095.png)とコブダグラス型関数になる。 -#ref(keisuu096.png)のとき、&ref(keisuu097.png)と変形できる。 +&ref(keisuu096.png)のとき、&ref(keisuu097.png)と変形できる。 ここで&ref(keisuu098.png)と仮定し、&ref(keisuu099.png)、&ref(keisuu100.png)とおく。 -#ref(keisuu096.png)より&ref(keisuu101.png)なので、&ref(keisuu102.png)となる。 -#ref(keisuu103.png)のときも同様にすると&ref(keisuu104.png)となり、 -#ref(keisuu096.png)のときは&ref(keisuu105.png)である。 +&ref(keisuu096.png)より&ref(keisuu101.png)なので、&ref(keisuu102.png)となる。 +&ref(keisuu103.png)のときも同様にすると&ref(keisuu104.png)となり、 +&ref(keisuu096.png)のときは&ref(keisuu105.png)である。
