http://w.atwiki.jp/jhsmath/ 中学数学@wiki ja 2019-01-08T22:25:35+09:00 1546953935 https://w.atwiki.jp/jhsmath/pages/20.html **素因数分解と式の利用 今回私の使っていた教科書を元に解説していますが、 &font(red){一部の内容は、教科書によっては平方根に含まれている} 場合がありますので、ご了承下さい。 ***素因数分解 素数とは、１とその数自身でしか割ることのできない数字です。 ただし、１は含みません。 １桁の素数は、２と３と５と７になります。 素因数分解とは、これを利用します。 -例）１２０を素因数分解しなさい。 これは、素数である、２、３、５、７から選び抜き、 割って行きます。 120÷&font(red){2}=60 60÷&font(red){2}=30 30÷&font(red){2}=15 30÷&font(red){3}=&font(red){5} 赤字の数字。これが素数です。これをまとめるだけで答えが出ます。 こたえ $$2 ^{3}*3*5$$ となりました。解き方はこれだけなんですね〜w -例）１２０になるべく小さい数をかけてある自然数の２乗にします。どんな数をかけたらよいか。また、ある自然数とはいくつか。求めなさい。 出ました。この問題よく出ます。 方法としては、まず１２０を素因数分解します。（上の方法） $$2 ^{2}*2*3*5$$ 何かおかしいことに気付きました？ まぁ、これは後になれば分かると思います。 この数字。全てを２乗にするには、２と３と５をかければ 全ての数字が２乗になります。 $$2 ^{2}*2*3*5*2*3*5$$ $$=(2*2*3*5)^{2}$$ となります。つまり、これである自然数の２乗になったわけです。 まず、かける数は、かけた数をかけ、2*3*5で30。 ある自然数は2*2*3*5で60になりました。 答え　かけた数３０、自然数６０ ***式の利用 -例）次の計算をしなさい。 $$98 ^{2}$$ はい。めんどうですね。わかります。 でも、これが簡単にもとめられちゃうんです。 答えは９６０４ですね。 え？電卓つかったって？いやいやwそんなことはしませんよ。 これは、乗法公式を利用して解きます。 $$(100-2) ^{2}$$ １００ー２は９８ですので、98の２乗と一致することがわかります。 これを計算すると $$(100-2) ^{2}$$ $$=10000-400+4$$ $$=9604$$ ほら。一致しましたね。これで解けちゃうんです。 -例）次の計算をしなさい。 $$102*98$$ この答えは９９９６です。 この場合、次のようにやります。 $$(100+2)(100-2)$$ $$=10000-4$$ $$=9996$$ 簡単でした。 こんな風に、乗法公式を利用することでこんなに簡単にとけてしまうのです。 2019-01-08T22:25:35+09:00 1546953935 https://w.atwiki.jp/jhsmath/pages/21.html *式の利用 **文字式を使って説明しよう！ 問 ある２つの連続した奇数がある。この大きい方の２乗から、小さい方の２乗をひいたとき、８の倍数になることを文字nをつかって証明しなさい。 回答例１ ２つの連続した奇数を2n+1,2n+3で表すと $$(2n+3) ^{2}-(2n+1) ^{2}$$ $$=4n ^{2}+12n+9-(4n ^{2}+4n+1)}$$ $$=8n+8$$ $$=8(n+1)$$ nは整数なので、(n+1)も整数である。よって8(n+1)は８の倍数である。 回答例２ ２つの連続した整数を2n-1,2n+3で表すと $$(2n+1) ^{2}-(2n-1) ^{2}$$ $$4n ^{2}+4n+1-(4n ^{2}-4n-1)$$ $$8n$$ nは整数なので、8nは８の倍数である。 例）紙を用意し、幅xcmの正方形とそのまわりに幅(x+a)cmの正方形を作って下さい。 中の正方形と外の正方形の間（acmの中間）にセンターラインをひいて下さい。 問 幅xcmの正方形の池の回りに幅acmの道路を作りたい。 axmのちょうど半分にセンターラインを引き、bcmとした。。 道路の面積をSとしたとき、S=abとなることを説明しなさい。 $$S=(x+a+a) ^{2}-x ^{2}$$ $$S=(x+2a) ^{2}-x ^{2}$$ $$S=x ^{2}+4ax+4a ^{2}-x ^{2}$$ $$S=4ax+4a ^{2}$$ $$4a(x+a)$$　 また、 $$b=4*(x+\frac{a}{2}+\frac{a}{2})$$ $$b=4(x+a)$$ $$ab=4a(x+a)$$ abの値とSの値が等しいので、S-abである。 2010-12-28T11:15:44+09:00 1293502544 https://w.atwiki.jp/jhsmath/pages/22.html **２次方程式 ***２次方程式とは？ 中学で習うものは、正式名称を『1元2次方程式』と言います。 文字が1種類で、2乗の文字があるものをいいます。 では、これは2次方程式でしょうか。 $$x ^{2} +4x+2=-1$$ 文字は一種類、１つ2乗があるので2次方程式ですね。 では、これはどうでしょうか。 $$x ^{2}+2x+3=x ^{2}-2x$$ はい、これも2次方程式ですね。 見た目は。でも2次方程式じゃないんです。 これを解いてみましょう。 $$x ^{2}+2x+3=x ^{2}-2x$$ $$x ^{2}-x ^{2}+2x+2x+3=0$$ $$4x+3=0$$ あれ？xの2乗が消えてしまい、ただの1次方程式になってしまいました。 そうです！これは2次方程式では無かったんです。 では、これを区別する為の方法です。 &font(red){重要} 右辺を0としたときに $$ax ^{2}+bx+c=0$$ が成り立つ時（ただし、aを０でない定数、b,cを定数とする。） 2次方程式という。 では、次回は2次方程式を実際に解いて行きます。 2010-12-28T11:14:03+09:00 1293502443 https://w.atwiki.jp/jhsmath/pages/27.html **1次関数の式を求めよう！\frac{}{} 早速問題。 問　２点(-2,4),(8,-1)を通る式をもとめよ。 これを、連立方程式で解くと、 4=-2a+b -1=8a+b となり、これを解くと、 $$a=-\frac{1}{2}$$ , $$b=3$$ よって、 $$y=-\frac{1}{2}x+3$$ となります。 また、別解があります。 ２点(-2,4),(8,-1)を通るので、傾きaは、 $$a=\frac{-1-4}{8-(-2)}=\frac{-5}{10}=-\frac{1}{2}$$ よって、 $$y=-\frac{1}{2}x+b$$ 点(-2,4)を通るから、 $$4=-\frac{1}{2}x*(-2)+b$$ 4=1+bより、b=3 よって、 $$y=-\frac{1}{2}x+3$$ 答えは一緒です。 2009-07-31T15:55:14+09:00 1249023314 https://w.atwiki.jp/jhsmath/pages/12.html *中学校２年 -[[連立方程式を利用した文章題]] -[[角度を求めよう！（円とブーメラン）]] -[[図形の証明の仕方　その１]] -[[1次関数の式を求める]] 2009-07-31T15:34:34+09:00 1249022074 https://w.atwiki.jp/jhsmath/pages/26.html **図形 -[[角度を求めよう！（円とブーメラン）]] -[[図形の証明の仕方　その１]] 2009-06-28T19:50:37+09:00 1246186237 https://w.atwiki.jp/jhsmath/pages/25.html **数式 -[[連立方程式を利用した文章題]] -[[展開と因数分解]] -[[素因数分解と式の利用]] -[[式の利用（文字式を使った説明）]] -[[平方根]] -平方根の加法／減法 -[[２次方程式]] -[[２次方程式を解くその１]] 2009-06-28T19:50:03+09:00 1246186203 https://w.atwiki.jp/jhsmath/pages/24.html **中３問い答え ***2次方程式を解くその１ (1) $$x ^{2}-3x+2=0$$ $$(x-1)(x-2)=0$$ $$x-1=0$$または$$x-2=0$$ よって、x=1,x=2 (2) $$x ^{2}-8x+16=0$$ $$(x-4) ^{2}=0$$ $$x-4=0$$ よって、x=4 (3) $$x ^{2}+2x-8=0$$ $$(x+4)(x-2)=0$$ $$x+4=0$$または$$x-2=0$$ よって、x=-4,x=2 (4) $$2y ^{2}-3y=y ^{2}$$ $$2y ^{2}-y ^{2}-3y=0$$ $$y ^{2}-3y=0$$ $$y(y-3)=0$$ $$y=0$$または$$y-3=0$$ よって、y=0,y=3 2009-06-28T19:48:08+09:00 1246186088 https://w.atwiki.jp/jhsmath/pages/23.html **2次方程式を解く ***2次方程式を解いてみよう。 $$(1) x ^{2}-5x+6=0$$ これをxに０から４を代入して解いてみましょう。 x=0のとき $$0 ^{2}-5*0+6=6$$ 成り立たない。 ---- x=1のとき $$1 ^{2}-5*1+6=2$$ 成り立たない。 ---- x=2のとき $$2 ^{2}-5*2+6=0$$ 成り立ちました！ 念のため、４までいきます。 ---- x=3のとき $$3 ^{2}-5*3+6=0$$ あ、もう１つありました！ ---- x=4のとき $$4 ^{2}-5*4+6=2$$ 成り立たない。 ---- よって、xについての解は x=2,x=3 え？解はこの２つだけでいいのかって？まぁ、それはそのうち分かります。 ***2次方程式の解き方 さっきの解き方、めんどくさくありませんでした？ x=1000だったりしたら大変ですね。 んで、さっきの式 $$x ^{2}-5x+6=0$$ よく見て下さい。思い出しません？これは中3でやりました。 そう、左辺に注目ですよ。 &font(red){因数分解}って分かりますよね。 これを使うことができるんです。 $$x ^{2}-5x+6=0$$ $$(x-2)(x+3)=0$$ $$x-2=0$$または$$x-3=0$$ よって、x=2,x=3 一致しましたね。これを使えば簡単に解けます。 さて、こんな問題。 $$x ^{2}-6x+9=0$$ $$(x-3) ^{2}=0$$ $$x-3=0$$ よって　x=3 このように、２つの解が一致して、 解が1つになるものもあります。 では、問題 次の式を因数分解を利用して解きなさい。 $$(1) x ^{2}-3x+2=0$$ $$(2) x ^{2}-8x+16=0$$ $$(3) x ^{2}+2x-8=0$$ $$(4) 2y ^{2}-3y=y ^{2}$$ [[答えはここから>中３問い答え]] 2009-06-28T19:40:26+09:00 1246185626 https://w.atwiki.jp/jhsmath/pages/17.html *中学校３年 -[[展開と因数分解]] -[[素因数分解と式の利用]] -[[式の利用（文字式を使った説明）]] -[[平方根]] -平方根の加法／減法 -[[２次方程式]] -[[２次方程式を解くその１]] 2009-06-28T19:21:41+09:00 1246184501