火4･5｜幾何概論I - 熊本大学理学部数学コースwiki / 2012年度入学

 

授業　第3回　2014年4月22日　4限

 

配布物

なし

§１ 位相空間(topology space)

• 開核作用素→(O1)〜(O3)を示す
• （定義４）触点、閉包
• （命題５）閉包についての諸定理
• （命題６） (C1)〜(C4)
• 閉包作用素→(O1)〜(O3)を示す
• （定義５）全近傍系
• （命題７） (U1)〜(U4)
• 位相の導入のまとめ（保存版）

 

演習　第3回　2014年4月22日　5限

配布物

（プリント）幾何概論I演習 問題２（１枚）

（問題１）| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 
（問題２）| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
（問題３）| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 |

 

授業　第2回　2014年4月15日　4限

 

配布物

なし

§１ 位相空間(topology space)

• 今までの復習

（前回）
距離→開集合→内核
　　→閉集合→閉包
のような関係

（今回）
距離という概念をすっ飛ばして、開集合、内核、閉集合、閉包がすべて等価な関係であるというところを学ぶ（今週、来週、再来週ぐらいまでで）

• （定義１）開集合の条件(O1)~(O3)
• 例１）距離空間の部分集合U;距離dに関する開集合の族は(O1)~(O3)を満たす、開集合。
  例２）べき集合からなる族(O1)~(O3)を満たす、開集合。これを離散位相(descrete topology)という。
  例３）空集合とその集合自身からなる族は(O1)~(O3)を満たす、開集合。これを密着位相(indiscrete topology)という。
• （用語）位相が与えられた集合→位相空間
• （定義２）閉集合
• 命題１｜（F1）〜（F3）
• （定義３）内点・内核
• 命題２｜内点・内核と開集合
• 命題３｜内点と内核の関係・性質

（次回予告みたいなもの）
Xを集合としてS→S°のような写像を与えた。（開核作用素）
（＝(O1)~(O3)→写像）
次回は、この逆をたどってみる。​
（＝写像→(O1)~(O3)）
 

演習　第2回　2014年4月15日　5限

 

配布物

（プリント）幾何概論I演習 問題２（１枚）

（問題１） 1|2| 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 
（問題２） 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |

 1→終わったやつ
 2→解説保留のやつ

 

 

授業　第1回　2014年4月8日　4･5限

 

配布物

（プリント）幾何概論I演習　問題１（１枚）

（ガイダンス）　１．授業について

• 【評価】最後のテストで一発勝負（シラバスには中間試験もして加味するって書いてあった）
• 　　→最後の授業で模擬試験をやるので安心して欲しい
• 【ノートの撮り方】ノートを取るより考えてほしいから写真どんどんとっていいよ
• 【その他】今日は５限の時間にも授業をします

（ガイダンス）　２．演習について

• 【やり方】プリントに書いてある問題を解いてきて、早い物順で黒板に書いて、５限時間内で解いた人が説明。先生や学生がいちゃもんをつける時間を設ける。
• 【評価】問題の最後に(1),(2)のように数字があって、発表したらその問題の得点をもらえる。5ptsで単位はあげる。
• 【その他】延長することが有ります。

この講義の参考書

「入門 集合と位相」竹之内脩、実教出版　
シラバスに書いています。これを元に授業を一応進めています。 

「集合・位相入門」松坂和夫、岩波出版
この人の本は分かりやすい。先生はこれで学生時代勉強をしていました。

「トポロジー入門」クゼ・コスニオフスキ、東京大学出版会 
ちょっと異色、位相幾何の本。いい本。 

「集合と位相-大学数学の入門-」斎藤-毅、東京大学出版会
東大の授業用に作った本だそう。ちょっとむずかしい。細かいところまで書いてあり、おもしろい。

(一応、書名に amazon へのリンクを張ってみました。)

§１ ユークリッド空間(Euclidean Space)

• 距離の概念(distance)
• 開球(open ball)
• 命題１
• （→定義）開集合(open set)
• 命題２
• （定義）内点(internal point)・内核(internal kernel)
• 命題３
• （定義）閉集合(closed set)
• 命題４（→命題２対応）
• （定義）触点(adhereat point)・閉包(closure)
• 命題５（→命題３対応）
• 系５
• 例）開集合、閉集合、内点、触点の例

§２ 距離空間(metric space)

• （定義）距離(distance)
• →命題1~5が成立

§１で扱った命題や定義は、ユークリッド空間の特殊性を用いてないので、実はどのような空間でも良い。それを表すのが§２でした。