木2･3｜解析概論I - 熊本大学理学部数学コースwiki / 2012年度入学

 

授業　第5回　2014年5月8日　2限

 

配布物

なし

§1　実数

§2.1 連続関数 

• （定理）集合と位相における連続の定義⇔連続
• （定理）中間値の定理
• （定理）有界へ行く感情に連続な関数は最大値最小値をとる

 

演習　第5回　2014年5月8日　3限

 

配布物

（プリント）解析概論I演習 No.5（1枚）

（問題１）| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
（問題２）| 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 |27 | 28 | 29 | 30 |
（問題３）| 31 | 32 | 33 |34 |35 | 36 | 37 | 38 | 39 |40 | 41 | 42 | 43 |44 |45 | 46 |47 |48 | 49 | 50 |
（問題４）| 51 | 52 | 53 | 54 | 55 | 56 | 57 | 58 | 59 | 60 | 61 | 62 | 63 | 64 | 65 | 66 | 67 | 68 | 69 | 70 |
（問題５）| 71 | 72 | 73 | 74 |75 |76 | 77 | 78 |79 | 80 |
（４月１７日授業）| 1 | 2 | 3 |

 

授業　第4回　2014年5月1日　2限

 

配布物

なし

§1　実数

§1.9 Rの連続性

• （定義）上限・下限
• （定理）Rの有界な集合には実数値の上限が存在する
• （定理）Bolzano-Weierstressの定理

§2　連続関数

§2.1 関数の極限

• （定義）極限
• （定理）f(x)のxが数列の場合の極限
• （定義）右極限・左極限

§2.2 連続関数

• （定義）連続（一点、開区間、閉区間）
• （定理）f(x)がI上で連続⇔任意の開区間に対しf^(-1)((a,b))がI上の開集合になる（＝位相における連続の定義）

 

演習　第4回　2014年5月1日　3限

 

配布物

（プリント）解析概論I演習 No.4（２枚）

（問題１）| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
（問題２）| 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 |27 | 28 | 29 | 30 |
（問題３）| 31 | 32 | 33 |34 |35 | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 | 41 | 42 | 43 | 44 | 45 | 46 |47 |48 | 49 | 50 |
（問題４）| 51 | 52 | 53 | 54 | 55 | 56 | 57 | 58 | 59 | 60 | 61 | 62 | 63 | 64 | 65 | 66 | 67 | 68 | 69 | 70 |
（４月１７日授業）| 1 | 2 | 3 |

 

授業　第3回　2014年4月23日　2限

 

配布物

なし

§1　実数

§1.7 Rにおける極限

• （定義）極限
• （定理）極限の四則演算

§1.8 Rの完備性

• （定義）Rにおけるコーシー列
• （定理）Rのコーシー列はRの内に極限を持つ

§1.9 Rの連続性

• （定理）上に有界な単調増加数列の収束
• （定理）Rの有限集合には上限が存在

 

演習　第3回　2014年4月24日　3限

 

配布物

（プリント）解析概論I演習 No.3（２枚）

（問題１）| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
（問題２）| 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 |
（問題３）| 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 |40 | 41 | 42 | 43 | 44 | 45 | 46 | 47 | 48 | 49 | 50 |
（４月１７日授業）| 1 | 2 | 3 |

 

授業　第2回　2014年4月17日　2限

 

配布物

なし

§1　実数

§1.4 Cauchy列の四則演算

• 定義の復習：コーシー列、同値、実数の定義
• （補題）Cauchy列は有界
• （命題）Cauchy列の積はCauchy列
• 四則演算のwell-defined
• （命題）Cauchy列の商はCauchy列
• （定理）Rには四則演算が定義され体となる

§1.5 Rの絶対値

• （定義）絶対値

§1.6 Rの不等号

• （定義）不等号
• （定理）すべての２つの実数は、不等号、等号のいづれかが成り立つ

演習で解答できる問題

（１）積のwell-definedを示す→{a(m)b(m)}~{a(n)'b(n)'}（1pt）
（２）{b(n)}~{0,0,...}（0でないことのwell-defined）（3pts）
（３）不等号の定義がwell-defined（1pt）

 

演習　第2回　2014年4月17日　3限

 

配布物

（プリント）解析概論I演習 No.2（２枚）

（問題１）| 1 | 2 |3| 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
（問題２）| 13 | 14 | 15 | 16 |17 |18 |19 |20 | 21 |22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 |

 

授業　第1回　2014年4月10日　2限

 

配布物

なし

ガイダンス

• わからない点は質問またはメールを！

§1　実数

有理数体の完備化として実数を定義
デデキントの切断は有名だけど、有用性があまりないので、次のように定義する

§1.1 導入

• 数列の収束
• （定義）Cauchy列
• （命題1.1）収束する数列はCauchy列

§1.2 Cauchy列による実数の定義

• （定義）数列の同値→収束する値が一緒
• （命題1.2）{An}～{Bn}において、～は同値関係
• （定義）実数　（＝｛有理数からなるCauchy列全体の集合｝/｛同値であるもの｝

これからやることの整理

1. Q⊂R
2. Rに四則演算を定義
3. Rに絶対値を定義
4. Rに不等号を定義
5. Rに極限を定義
6. Rの完備性
7. Rの連続性

§1.3 QとR

• Q→Rという写像を作ると、単射である。

§1.4 Rの四則演算

• （命題1.3）Cauchy列の四則演算はCauchy列に閉じている。

 

演習　第1回　2014年4月10日　3限

 

配布物

（プリント）解析概論I演習 No.1（１枚）

進め方

• 当てていくので、当てられた人は次の週までに解答を完成させて、黒板に書いてください。
• わからないことはTAに遠慮無く聞いて下さい。
• 5pts獲得で単位をあげます。
• その回の前に配ったプリントでも、解説していないものであれば解いて構いません。

(解答状況)

（問題１）| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |

|1|→終わったやつ