ますぼっと＠問題・解答まとめwiki

数列と整数

2023-10-05T17:43:40+09:00

-b=(9a^2+98a+80)/(a^3+3a^2+2a)となる自然数の組(a,b)を全て求めてください。(02,金沢) -自然数nと9以下の自然数a(0),a(1),.....,a(n)について∑[k=0,n]a(k)・10^k≡0 (mod 3)⇔∑[k=0,n]a(k)≡0 (mod 3)を示してください。なお、0は自然数とします。 -nは自然数とします。2^(n-1)は99桁の数、2^nは100桁の数であるとき、2^nの下二桁を求めてください。(05,千葉) -[[漸化式a_1=1,a_(n+1)=(a_n+2)/a_nで定まる数列a_nの一般項を求めてください。(05,東京慈恵医)]] -[[フェルマーの最終定理を知らないものとする。x,y,zを0でない整数として、もしもx^3+y^3=z^3が成立しているならば、x,y,zのうち少なくとも一つは3の倍数であることを示してください。(98,信州)>フェルマーの最終定理を知らないものとする。x,...]] -[[4桁の整数で、その下二桁の数と上二桁の数との和の平方と等しくなるものを求めよ。(78,群馬)]] -[[nを自然数としてn^n+1が3で割りきれます。nを求めてください。(03,一橋)]] -[[すべての自然数nについて数列{a_n}は次の漸化式を満たします。すなわちa_1=3/4, a_(n+1)={1-√(1-a_n)}/2　一般項a_nを求めてください。(07,関西大)>zen07kansai]] -[[次の漸化式で数列{a_n}を定めます。a_1=1,a_(n+1)=2(a_n)+n (n=1,2,3,...)　一般項a_nを求めてください。(06,東京女子大)>zen06tokyo_joshi]] -[[nは正の整数です。不等式(n!)^2≧n^nが成り立つことを示してください。(06,新潟大)]] [[整数>https://seisu.kansuji.com/]] -[[nが2以上の自然数のとき1,2,3,...,nの中から異なる2個の自然数を取り出してつくった積のすべての和Sを求めてください。（宮城教大）]] -[[どのような整数nについてもn^2+n+1は5で割り切れないことを示してください。(学習院大)]] -[[2000＾2000を12で割ったときの余りを求めてください。(早稲田)]] -[[x^2-6x+1が負でない整数nの平方n^2となるような整数値xを求めてください。(倉敷芸術科学大)]] -自然数nをそれより小さい自然数の和として表すことを考えます。ただし1+2+1と1+1+2のように和の順序が異なるものは区別します。たとえば3は2+1,1+2,1+1+1の3通りで表せます。2以上の自然数nの表し方は何通りありますか。(02,大阪教育大) -座標がすべて整数である点を格子点といいます。次の領域内にある格子点の個数S_nを求めてください。x≧0,y≧0,z≧0,6x+3y+2z≦6n　(n:自然数)　(80,横浜市立大) -[[整数a_n=19^n+{(-1)^(n-1)}{2^(4n-3)} (n=1,2,3,...)のすべてを割り切る素数を求めてください。(86,東工大)]] -[[nは自然数です。次の漸化式によって数列{a_n}を定めます。すなわちa_1=1,a_2=2,a_(n+2)=√{a_n・a_(n+1)}　このとき、log_{2}(a_n)を求めてください。(10,大阪市大)>zen10osaka_shi]] -[[xshinshu]] -nは自然数とします。x^(2n)をx^2-x+(n-1)/n^2で割った余りを(a_n)x+b_nと置きます。a_n,b_nの極限値を求めてください。(04,京大) -[[いくつかの連続な自然数の和が1000であるとき、この連続な自然数を求めてください。(89,山形)]] -n^2を120で割ると1余るような120以下の正整数nはいくつあるか。(93,日本数オリ予選) -[[2^1001を100で割った余りを求めてください。(00,名古屋)]] -n,a,b,c,dは0または正整数であってa^2+b^2+c^2+d^2=n^2-6, a+b+c+d≦n , a≧b≧c≧dを満たします。このような整数の組(n,a,b,c,d)をすべて求めてください。(80,東大文) -nを正整数とします。|x|+|y|+|z|≦nとなる3つの整数の組(x,y,z)の個数を求めてください。 -(√(n^2-7n+11))^(n^2-8n+7)=1を満たす自然数nをすべて求めてください。(98,学習院) -[[5x+3y=50を満たす正の整数の組(x,y)をすべて求めよ。]] -実数xに対して、その整数部分を[x]で表す。すなわち[x]≦x<[x]+1を満たす整数である。[x]+[x+1/n]+[x+2/n]+...+[x+(n-1)/n]=[nx]を示してください。(98,奈良女子) -[[nを0以上の整数とします。a^2+b^2=2^nを満たす0以上の整数の組(a,b)を求めてください。(04,京大)]] -w=2^i+2^j+2^k (i,j,kは自然数で1≦i≦j≦k≦n) の形で表される数wを考える。自然数nに対して、wの値は全部で何個ありますか。(01,金沢) -奇数nに対して不等式0 ≦a≦2b≦c≦n を満たす整数の組(a,b,c)の個数P(n)を求めてください。(00,名古屋) -x,yは正整数で、x^4+y^4をx+yで割った商は97です。余りを求めてください。(92,日本数オリ予選) -pを素数、m,nを0≦m≦nなる整数とする。1からp^(n+1)までの整数でp^mで割り切れp^(m+1)で割り切れないものの個数と1からp^(n+1)までの2つの整数x,yの積xyがp^(n+1)で割り切れるような組(x,y)の個数をそれぞれ求めよ (07東工) -[[100!は2^nで割りきれます。このときnの最大値を求めてください。(国際医療福祉大)]] -a_1=√2、a_(n+1)=(a_n)^2-1/nで定められた数列a_nの極限を求めてください。(02,千葉) -次の漸化式で表される数列{a_n}の一般項を求めてください。a_1=4,{a_(n+1)}/(a_n)^2=2^n (n≧1)　（岩手大） -f(x)=(x^2+2x+1)/{x([x]+[1/x]+[x][1/x]+1)}についてx>0のとき、関数f(x)のとりうる値の範囲を求めてください。なお[x]はガウス記号といい、xを超えない最大の整数を表します。(00,東京理科大) -[[xに関する方程式px^2+(5-p^2)x-3p=0が整数解を持ちます。素数pの値を求めてください。(03,千葉)]] -自然数kの相異なる素因数を全て掛け合わせたものをf(k)と表します。たとえばf(72)=2×3=6で、f(1)=1とします。m,nが10以下の自然数のときf(mn)=f(m)f(n)を満たすm,nは何通りありますか。(03,阪大文) -正の整数nに対してS(n)=1+(1/2)^2+(1/3)^2+...+(1/n)^2と置きます。全ての正の整数nに対してもS(n)<1.7が成り立つことを示してください。(04,慶応) -(8^n-1)/(8・2^n-1)が整数となるような自然数nを求めてください。 -[[aは0≦a≦7の整数、bは1≦b≦88の整数です。89a+b＋669が1024の倍数のとき、a,bの値を求めてください。(10,早稲田)]] -[[1からnまでの自然数の総和が偶数になるnの条件を求めてください。(85,一橋)]] -数列{a_n}は初項a,公差bが整数であるような等差数列をなし、8≦a_2≦10,14≦a_4≦16,19≦a_5≦21を満たしています。このような数列{a_n}を全て求めてください。(02,神戸) -1から始まる奇数を 1,|3,5,|7,9,11,|13,15,17,19,|… のように区切って群に区分するとき、1001は第何群の第何項目ですか。 -[[l≦m≦n、1/l+1/m+1/n=3/2をみたす自然数の組(l,m,n)を全て求めてください。(04,明治薬科大)]] -nを正整数とします。実数x,y,zに対する方程式 x^n+y^n+z^n=xyzを考えます。n=3のとき、この方程式を満たす正整数の組(x,y,z)は存在しないことを示してください。(06,東大) -x+y+z=xyz (x≦y≦z)を満たす正整数の組(x,y,z)をすべて求めてください。 (02同志社,06東大) -3以上9999以下の奇数aで、a^2-aが10000で割り切れるものをすべて求めてください。(05,東大) -[[3^9471を10進数で表したときの一の位の数を求めてください。(02,関西大)]] -[[x^2+kx+k^2=4が整数解のみをもつときのkの値を求めてください。(愛知大)]]

a,bは正の整数とします。√3はa/bと(a+3b)/(a+b)の間にあることを証明してください（04,慶応）

2014-05-14T18:44:31+09:00

$$f(a,b)=\frac{a+3b}{a+b}-\frac{a}{b}=\frac{3-(\frac{a}{b})^2}{\frac{a}{b} +1}$$とします。 $$f(a,b)>0$$　とすると　$$a,b>0$$　より　$$\frac{a}{b}<\sqrt{\mathstrut 3}$$ つぎに，関数 $$g(x)=\frac{x+3}{x+1}$$ について考えます。 $$g'(x)=-\frac{2}{(x+1)^2}$$ より、　$$x>0$$　において　$$g'(x)<0$$　であるので、 $$g(x)$$　は　$$x>0$$　において単調減少関数です。 $$ \frac{a+3b}{a+b}-\sqrt{\mathstrut 3} $$ $$= \frac{\frac{a}{b}+3}{\frac{a}{b}+1}-\sqrt{\mathstrut 3}$$ $$= g(\frac{a}{b})-\sqrt{\mathstrut 3} $$ $$> g(\sqrt{\mathstrut 3})-\sqrt{\mathstrut 3}$$ $$= \frac{\sqrt{\mathstrut 3}+3}{\sqrt{\mathstrut 3}+1}-\sqrt{\mathstrut 3} $$ $$= \sqrt{\mathstrut 3}-\sqrt{\mathstrut 3} = 0$$ よって、　$$\frac{a+3b}{a+b}>\sqrt{\mathstrut 3}$$ ゆえに、　$$\frac{a+3b}{a+b}>\sqrt{\mathstrut 3}>\frac{a}{b}$$ $$f(a,b)<0$$　とした場合は同様に $$\frac{a+3b}{a+b}<\sqrt{\mathstrut 3}<\frac{a}{b}$$ を示すことができます。　　　　　　■ by oasam_mg ---- 数直線上の二点 $$\frac{a}{b}$$，$$\frac{a+3b}{a+b}$$ を $$a+b:(\sqrt{3}-1)b$$ に内分する点は $$\frac{(\sqrt{3}-1)b}{a+\sqrt{3}b}\cdot\frac{a}{b}+\frac{a+b}{a+\sqrt{3}b}\cdot\frac{a+3b}{a+b}=\frac{\sqrt{3}a+3b}{a+\sqrt{3}b}=\sqrt{3}$$ であり，$$\frac{a}{b}\neq\sqrt{3}$$より $$\sqrt{3}$$ は $$\frac{a}{b}$$ と $$\frac{a+3b}{a+b}$$ の間にある．これが証明すべきことであった． by faogr

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2011-08-03T06:41:25+09:00

&bold(){このwikiについて} -このwikiは[[ますぼっと on Twitter>http://twitter.com/mathbot_]]が出題する問題・解答をまとめたもの（になる予定）です。 -出題するすべての問題を随時追加しています。 -問題の分類は左メニューにある通り、問題の種類で分けています。 -解答を作成してもらえるとありがたいです→[[解答の作成方法]] -編集にあたってはTeX表記も使えます。文字列を$$で囲んでください。例：$$\exp(z) = \sum_{k = 0}^{\infin} {1 \over k!} z^k = 1 + z + {1 \over 2} z^2 + {1 \over 6} z^3 + \cdots$$ -解説、問題へのツッコミなども歓迎です &bold(){ますぼっとの仕様} -60分程度に1つ問題をつぶやきます。出題は主に大学入試からです。 -「暇」「問題」を含む＠を飛ばすと問題を返します。（例：「暇だ」「問題くれ」） -定期発言とリプライとでは出題する問題はほとんど同じですが、どちらかにしか現れない問題もわずかにあります。 -問題は随時追加していきます。[[ますぼっと]]の現在地(Location)に現在の問題数を反映させています。 -文字数の都合から一部の題については文章を改めています。ご了承ください。 &bold(){コメント欄} - wikiを作成しました。コメントはトップページで投稿できます。 -- ますぼっと (2010-11-29 12:40:29★) - 問題30問追加、なるべく短期間に同じ問題がでない仕様に変更しました -- ますぼっと (2010-12-12 01:57:17★) - shinshuのx=5の時の二分の一との大小が違う気がしますよぅ -- 匿名 (2011-01-10 14:56:44) - 210/2=110だと思っていまして・・・。修正しました。ご指摘ありがとうございます。 -- meganelover (2011-01-10 20:43:54) - 千葉05年の問題、ｰと^間違ってませんか？ -- 名無しさん (2011-03-19 18:04:09) - 間違ってますね -- 名無しさん (2011-08-03 06:41:25) #comment(title_name=名前,title_msg=コメント)

l≦m≦n、1/l+1/m+1/n=3/2をみたす自然数の組(l,m,n)を全て求めてください。(04,明治薬科大)

2011-07-24T14:57:07+09:00

$$l\leq m\leq n$$　より、$$\frac{1}{l}\geq \frac{1}{m}\geq \frac{1}{n}$$ よって　$$\frac{1}{l}+\frac{1}{m}+\frac{1}{n}\leq \frac{1}{l}+\frac{1}{l}+\frac{1}{l}=\frac{3}{l}$$ すなわち　$$\frac{3}{2}\leq \frac{3}{l}$$　　　∴　$$l\leq 2$$ となり、$$l=1,2$$ ①$$l=1$$のとき $$\frac{1}{1}+\frac{1}{m}+\frac{1}{n}=\frac{3}{2}$$　　　∴　$$\frac{1}{m}+\frac{1}{n}=\frac{1}{2}$$ ここで　$$\frac{1}{m}+\frac{1}{n}\leq \frac{1}{m}+\frac{1}{m}=\frac{2}{m}$$ すなわち　$$\frac{1}{2}\leq \frac{2}{m}$$　　　∴　$$m\leq 4$$ この中で、$$m=3$$のとき$$n=6$$、$$m=4$$のとき$$n=4$$となり、題意を満たす。 ②$$l=2$$のとき $$\frac{1}{2}+\frac{1}{m}+\frac{1}{n}=\frac{3}{2}$$　　　∴　$$\frac{1}{m}+\frac{1}{n}=1$$ ここで　$$1\leq \frac{2}{m}$$　　　∴　$$m\leq 2$$ この中で、$$m=2$$のとき$$n=2$$となり、題意を満たす。以上より、求める自然数の組は $$(l,m,n)=(1,3,6),(1,4,4),(2,2,2)$$

4桁の整数で、その下二桁の数と上二桁の数との和の平方と等しくなるものを求めよ。(78,群馬)

2011-03-15T20:23:25+09:00

4桁の整数で、その下二桁の数と上二桁の数との和の平方と等しくなるものを求めよ。 10 ≦ x ≦　99 , 0 ≦ y ≦ 99 なる自然数x,yをとり、求める4桁の整数を100x+yと置く。ただし、4桁の整数の10の位が０の時は、yは一桁の数とする。 ①10 ≦ x+y ≦ 198 である。問題の条件が成り立つとき、100x+y = (x+y)^2　が成り立つ。変形して、　②99x = (x+y-1)(x+y)　となる。左辺は11の倍数なので、右辺も11の倍数である。 [a]x+y が11の倍数の時 x+y=11k (k:自然数 , 1 ≦ k ≦ 18　∵① )と置ける。 ②　⇔　99x=11k(11k-1) ⇔　9x=k(11k-1) である。この左辺は9の倍数なので、右辺も9の倍数。 kと11k-1共に3の倍数となることはないので、 (∵tを自然数とし、k=3t とおくと、11k-1=33t-1 となり、 kは3の倍数であるが、11k-1 は3の倍数でない。) よって、k または 11k-1 が9の倍数。 kが9の倍数の時、③k=9,18。 11k-1が9の倍数の時、 pを自然数とすると、11k-1=9p と置ける。変形して 11(k-5)=9(p-6) となる。右辺は9の倍数なので、左辺も9の倍数。よって、qを整数として、k-5=9q ⇔　k=9q+5 と置ける。 1 ≦ k ≦ 18　より、④k=5,14。 ③、④より、k=5,9,14,18である。 ②とx+y=11kから、 k=5のとき、(99x=55*54 かつ　x+y-1==54)　⇔　(x=66,y=-11) k=9のとき、(99x=99*98 かつ　x+y-1=98)　⇔　(x=98,y=1) k=14のとき、(99x=154*153 かつ　x+y-1=153)　⇔　(x=238,y=-84) k=18のとき、(99x=198*197 かつ　x+y-1=197)　⇔　(x=394,y=-196) 10 ≦ x ≦　99 , 0 ≦ y ≦ 99 より、(x,y)=(98,1)のみが適する。 [b]x+y-1 が11の倍数の時 x+y-1=11k (k:自然数 , 1 ≦ k ≦ 18　∵① )と置ける。 ②　⇔　99x=11k(11k+1) ⇔　9x=k(11k+1) である。この左辺は9の倍数なので、右辺も9の倍数。 kと11k+1共に3の倍数となることはないので、 (∵tを自然数とし、k=3t とおくと、11k+1=33t+1 となり、 kは3の倍数であるが、11k+1 は3の倍数でない。) よって、k または 11k+1 が9の倍数。 kが9の倍数の時、⑤k=9,18。 11k+1が9の倍数の時、 pを自然数とすると、11k+1=9p と置ける。変形して 11(k-4)=9(p-5) となる。右辺は9の倍数なので、左辺も9の倍数。よって、qを整数として、k-4=9q ⇔　k=9q+4 と置ける。 1 ≦ k ≦ 18　より、⑥k=4,13。 ⑤、⑥より、k=4,9,13,18である。 ②とx+y-1=11kから、 k=4のとき、(99x=44*45 かつ　x+y=45)　⇔　(x=20,y=25) k=9のとき、(99x=99*100 かつ　x+y=100)　⇔　(x=99,y=100) k=13のとき、(99x=143*144 かつ　x+y=144)　⇔　(x=208,y=-64) k=18のとき、(99x=198*199 かつ　x+y=199)　⇔　(x=398,y=-199) 10 ≦ x ≦　99 , 0 ≦ y ≦ 99 より、(x,y)=(20,25)のみが適する。以上[a],[b]を併せて、求める数は 9801 と 2025 である。

微積分と極限

2011-03-15T18:43:49+09:00

-[[球を平面で2つに切って、2つの部分の体積の比が20:7になるようにするには、どのように切ればいいか。]] -[[f(x)はx=1で微分係数f'(1)を持つとします。lim{x→1}{x^6f(1)-f(x^3)}/(x^2-1)をf(1),f'(1)を用いて表してください。(東洋大)>toyo_f1]] -任意の実数p,qに対して次の等式が成り立つ。 ∫[-π/2,π/2](pcosx+qsinx)(x^2+ax+b)dx=0　定数a,bを求めてください。（06,慶応理） -lim[n→∞]∫[1/n^2,π](√x)cos(nx)dxの値を求めてください。(06慶応) -0tokyorika_00]] -[[e^πとπ^eの大小を比較せよ。]] -関数f(x)は次の条件を満たします。f(0)=0,開区間(0,1)でf'(x)>0,開区間(0,1)でf''(x)<0　このとき極限lim[n→∞]√n∫[0,1]e^(-nf(x))dxを求めてください。(01,広島) -[[半径aの球に内接する直円錐の体積の最大値を求めてください。（昭和女子）]] -[[lim[x→π/2](ax+b)/cosx=2/3のとき定数a,bの値を求めてください。(東洋大)]] -f(x)は微分可能な関数でf(-x)=f(x)+2x,f'(1)=1,f(1)=0を満たします。f'(-1)、lim[x→1]{f(x)+f(-x)-2}/(x-1)の値をそれぞれ求めてください。(高知大) -底面を正n角形A_1A_2A_3・・・A_n,頂点をOと表しOA_1=OA_2=...OA_n=1となる斜辺の長さが1である正n角錐を考える。そのような正n角錐の内,最大の面積を持つものをC_nとする時、C_nの体積V_n及びlim[n→∞]V_nを求めよ(東工) -lim[n→∞](C[3n,n]/C[2n,n])^(1/n)を求めてください。 -lim[n→∞]∫[0,nπ]e^(-x)|sinnx|dxを求めてください。(01,京大) -rを正の実数とします。xyz空間において x^2+y^2≦r^2 , y^2+z^2≧r^2 , z^2+x^2≦r^2 を満たす点全体からなる立体の体積を求めてください。(05,東大) -[[実数全体で定義された微分可能な関数f(x)を考えます。すべての実数x,yについてf(x)＞0,f(x+y)=f(x)f(y)e^(-xy)が成り立ちます。f'(0)=2となるf(x)を求めてください。(03,筑波)>tsukuba_08]] -関数f(x)は区間[0,1]において連続で0≦f(x)≦1,|f'(x)|≦1/2を満たします。数列{x_n}を初項x_1(0≦x_1≦1),漸化式x_(n+1)=f(x_n)によって定義します。x_nはn→∞のときに収束することを示してください。(03,九大) -単位円上の点P(cosθ,sinθ)(0≦θ≦π/2)における接線をlとして、Pとの距離がθであるl上の2点のうち、原点とPを通る直線に関して点A(1,0)と同じ側にある点をQ(x,y)とする。Qが描く曲線とx軸,y軸,直線y=1で囲まれる図形の面積を求めよ。(03,早稲田) -実数a,cを係数とする関数f(x)=ax^2+cを考えます。0≦x≦1の範囲でf(x)≧(x+1)^2を満たします。∫[0,1]f(x)dxを最小にするa,cの値を求めてください。(03,九大文) -nを自然数f(x)=(1-tan^4(x))tan^n(x)(0≦x≦π/４),f(x)のグラフとx軸で囲まれた図形の面積が2/35であるとき、f(x)の最大値を求めてください。(03,千葉) -関数f_n(x)(nは正整数)をf_1(x)=x^2,f_{n+1}(x)=f_n(x)+x^3{(f_n)~2(x)}で定めます。(f_n)~4(0)を求めてください。ただし、(f_m)~k(x)はf_m(x)の第k次導関数を意味します。(03,東工) -放物線y=x^2上の点(t,t^2)において放物線y=x^2と共通接線を持ち、半径が√(1+4t^2)の円を考えます。変数tが正の実数全体を動くとき、この円の中心の軌跡を求め、これを図示してください。(88,岐阜) -関数f(x)=x^3-2x^2-3x+4の、区間-7/4≦x≦3での最大値、最小値を求めてください。(91,東大文) -不等式cos2x+cx^2≧1がすべての実数xについて成り立つような定数cの値の範囲を求めてください。(北大) -∫[0,π](e^x)sin^2(x)dx>8を示してください。ただしπ=3.14…は円周率、e=2.71…は自然対数の底です。(東大) -自然数nに対してI_n=∫[0,1]x^2|sinnπx|dx とおきます。極限値lim[n→∞]I_nを求めてください。(08東工) -関数f(x)=|x^2-4x|+∫[0,4]f(t)dtを求めてください。(99東北工業大) -[[極限値lim[n→∞][{(2n+1)(2n+2)…(2n+n)}/{(n+1)(n+2)…(n+n)}]^(1/n)の値を求めてください。(04,横浜市大)]] -aは定数としnは2以上の整数とします。関数f(x)=a(x^n)logx-ax (x>0)の最小値が-1のとき定積分∫[1,e]f(x)dxの値をnと自然対数の底eを用いて表してください。(03千葉) -x>0の範囲で関数f(x)=(sinx)/xを考えます。f(x)が極値をとるxの値を小さいほうから順にx_1,x_2,…とします。lim[n→∞]cos(x_n)の値を求めてください。(04,大阪市大) -aを実数とします。xの2次方程式x^2-ax=2∫[0,1]|t^2-at|dtは0≦x≦1の範囲にいくつの解をもちますか。(00京大文) -f(x)=x^4+x^3-3x^2とおきます。曲線y=f(x)に点(0,a)から接線がただ一つ引けるとし、かつその接線はただ1点でこの曲線に接するとします。aの値を求めてください。(01阪大) -xy平面上の曲線C:y=x^3上の点Pにおける接線を、Pを中心にして反時計回りに45°回転して得られる直線をLとします。CとLが相異なる3点で交わるようなPの範囲を図示してください。(01,京大) -2つの放物線C:y=-(x+1)^2とD:y=(x-1)^2+1の2本の共通接線を求めてください。またC,Dの2本の共通接線とCの囲む部分の面積を求めてください。(01,東北大文) -[[正の実数aに対して、x=a+1/a, y=a-1/aとおきます。このときx^8-y^8が最小となるaの値とその最小値を求めてください。(北大文)]] -xyz空間においてO(0,0,0),A(1,1,0),B(1,0,0),C(1,0,2)を4頂点とする四面体OABCをz軸まわりに回転させるとき、四面体が通過する部分の体積を求めてください。(津田塾) -円x^2+y^2=1のx≧1/2なる部分を、直線y=-1/2xを回転軸として1回転させるとき、囲まれる立体の体積を求めてください。(聖マリアンナ医大) -2つの放物線y=x^2-1、y=x^2-8x+23とこれらに共通する接線とで囲まれる領域をy軸のまわりに回転してできる回転体の体積を求めてください。(宇都宮大) -定積分∫[0,π]cosmx・cosnxdx（m,nは自然数）を求めてください。（静岡大） -曲線y=2x^2(0≦y≦4)をy軸のまわりに1回転してできる容器に毎秒aの割合で水を注ぎます。水がこの容器の容積の1/4になるときの水面の広がる速さを求めてください。(信州大) -x>0で定義された微分可能な関数f(x)とその逆関数g(x)に対して次の等式が成り立ちます。∫[1,f(x)]g(t)dt=1/3{x^(3/2)-8}. f(x)を求めてください。(三重大) -[[一辺の長さがaである正三角形ABCの一辺BCをn等分し、それらの各点をBからCの方に順にP_1,P_2,…,P_(n-1)とし、線分AP_kの長さをl_kとします。lim[n→∞]1/n∑[k=1,n-1](l_k)^2を求めてください。(神戸商船大)>kobesyosen_lk]] -自然数nと正の数tに対してf_n(t)=∫[1,n]1/x|log(t/x)|dxとおく(1)1≦t≦nにおけるf_n(t)の最大値A_n、最小値B_nを求めよ(2)lim[n→∞](A_(n+1)-A_n)を求めよ。ただしlim[x→∞](logx)/x=0(名古屋) -曲線y=2/3√(|x|^3)をCとし、C上の2点P(0,0)、Q(1,2/3)を考えます。曲線Cがx軸上をすべることなくころがって点Qがx軸上に到達したときの点Pの座標を求めてください。(東京女子) -関数f(x)は微分可能で次の条件(i),(ii)を満たします。(i)f(x)≧x+1 (ii)すべての実数hに対してf(x+h)≧f(x)f(h). f(0)とf'(0)をそれぞれ求めてください。(山口大) -半径Rの円に内接する正2n角形の形をした囲いがある。一匹の山羊が囲いの周の半分の長さの紐で、囲いの1つのかどに繋がれている。この山羊が囲いの外で動き得る範囲の面積をS_(2n)とする。S_(2n)を求め、lim[n→∞]S_(2n)を求めよ。(津田塾大) -3次元空間のyz平面上にy^2+z^2=1で表される円をCとします。定点A(1,0,a)と円C上の動点Pを結ぶ直線がxy平面と交わる点をQとします。点Qの軌跡を表す方程式が、円・楕円・放物線・双曲線を表すような|a|の値の範囲を求めてください。 -[[f(x)は微分可能な関数でf'(0)=1を満たします。lim[x→0]{f(sin8x)-f(tanx)}/xを求めてください。(87,日本大)]] -方程式(x+4)e^(-x/2)=aの解の個数を求めてください。ただしlim[t→∞]te^(-t)=0です。(90,名古屋市大)

確率・場合の数

2011-03-09T15:52:53+09:00

-3以上の整数nについて、[n+1]C4=3C3+4C3+5C3+......+nC3が成り立つことを示してください（なおコンビネーションの表記は[n]C[k]=nCk=C[n,k]を意味します）（06,学習院） -1個のサイコロを投げて、出た目が1、2ならば赤色の飴玉を、3、4ならば飴玉を、5、6ならば黄色の飴玉を貰うゲームを繰り返し行います。n回目のゲームで初めて3色の飴玉が手元に揃う確率p_nを求めてください。（06,広島） -赤玉6個と白玉4個の合計10個を、区別できる4個の箱に分ける方法は何通りありますか。ただし同じ色の玉は区別できないものとし、空箱があってもよいものとします。(02,千葉) -nは2以上の整数です。n人でじゃんけんを1回だけ行います。あいこになる確率が2/3以上となる最小のnを求めてください。(08,関西学院大) -4個のサイコロを振るとき、出る目の数の和が3の倍数となる確率を求めてください。 -4個のサイコロを振るとき、出る目の数の最大値が5である確率を求めてください。 -1から10までの整数が１つずつ書かれた10枚のカードがある。この中からカードを3枚同時に取りだす。取り出された3枚のカードに書かれた3つの整数のうち、最大のものをのどいた残りの二つの整数の和をXとする。(1)X=3となる確率を求めよ (2)Xの期待値を求めよ。(06,千葉) -[[男性が2人、女性が2人います。各々は自分の異性をでたらめに1人指名します。互いに相手を指名すればカップルが成立するものとして、ちょうど1組のカップルが成立する確率を求めてください。(84,追手門大)>bakuhatsu]] -50円硬貨3枚と100円硬貨2枚を投げ、表が3枚以上出たら、表の出た硬貨をすべてもらえるものとします。このとき、もらえる金額の期待値を求めてください。(横浜市大) -大小2枚のコインを同時に投げるという試行を10回おこなうとき、n回だけ2枚とも表になる確率をP_nとします。P_nが最大となるnを求めてください。(常磐大) -nは3以上の整数です。赤、青、黄の3色で一列に並んだn個のマスを塗り分けます。使わない色があっても良いものとして、隣り合うマスは異なる色で塗ります。両端が同じ色になる場合の数を求めてください。(09,横国) -さいころを続けて投げるとき、出る目の総和がn回目に初めて自然数xより大きくなる確率をP_n(x)と書きます。(1)P_2(x)を求めてください。(2)P_[n+1](x) (x>6)をP_n(x),P_n(x-1),…を用いて表してください。(93,名古屋) -1辺の長さ2の正6角形A_1A_2A_3A_4A_5A_6を考えます。サイコロを3回振り出た目を順にi,j,kとし、三角形A_iA_jA_kの面積の二乗を得点とします。三角形にならない場合の得点は0とします。得点の期待値を求めてください。(10,千葉) -[[サイコロをn回投げ、出た目の最大公約数をGとします。Gの期待値を求めてください。(07,阪大文)>diceGCD]] -サイレンを断続的に鳴らして16秒の信号を作る。ただし、サイレンは1秒または2秒鳴り続けて1秒休み、これを繰り返す。また信号はサイレンの音で始まり、サイレンの音で終わるものとする。信号は何通りできるか。(01,名古屋) -H大学には4つの食堂がありA君とBさんはそれぞれ毎日正午に、前日とは異なる3つの食堂のうち1つを無作為に選んで昼食をとります。最初の日二人は別々の食堂で食事をしました。n(n≧2)日後に二人が食堂で出会うのがちょうど2回目である確率を求めてください(99一橋) -nを正の整数とします。09cards]] -n≧3の自然数で,サイコロをn回投げ出た目の数をそれぞれ順にX1,X2,…Xnとします。i=2,3,…nに対してXi=X(i-1)となる事象をAiとします。(1)略(2)A2,A3,…Anのうち少なくとも2つが起こる確率q_nを求めてください。(10一橋) -[[(1個のサイコロをn回投げます。(1)n≧2のとき,1の目が少なくとも1回出て,かつ2の目も少なくとも1回でる確率を求めてください。(2)n≧3のとき,1の目が少なくとも2回出て,かつ2の目が少なくとも1回でる確率を求めてください。(00一橋))>n-dice]] -サイコロを3回振って出た目をa,b,cとします。このとき方程式x^3-ax^2+bx-c=0が少なくとも1個の整数解をもつ確率を求めてください。(91,東工大) -正七角形の頂点と対角線の交点とで作られる三角形について、3つの頂点がすべて正七角形の頂点であるような三角形の個数はいくつありますか。ただし、正七角形において頂点以外で3つの対角線が1点で交わることはありません。(02 東洋大) -重さの異なる4個の玉が入っている袋から玉を1つ取り出し、元に戻さずにもう1つ取り出したところ、2番目の玉の方が重かった。2番目の玉が4個の中で最も重い確率を求めてください。(86,防衛医大)

diceGCD

2011-03-09T15:51:34+09:00

&bold(){サイコロをn回投げ、出た目の最大公約数をGとします。Gの期待値を求めてください。} 投げる回数によって当然$${\rm G}_n$$の値は違うので場合分けをする. 出た目の中で互いに素になる数が一組でもあればその公約数は当然1. それ以外の場合は以下の通り -出た目が全て 2, 4, 6 のどれか (Gn=2) -出た目が全て 3, 6 のどちらか (Gn=3) -出た目が全て同じ (Gn=出目) これら全てにおいてGの値と確率との積を足し合わせると $${\rm E} \left[ {\rm G}_n \right] =2(\frac{1}{2^n}-\frac{1}{6^n}) + 3(\frac{1}{3^n}-\frac{1}{6^n})+(2+3+4+5+6)\frac{1}{6^n} + 1(1-\frac{1}{2^n}-\frac{1}{3^n}-\frac{1}{6^n})$$ 整理して $${\rm E} \left[ {\rm G}_n \right] = 1 + \frac{1}{2^n} + 2\frac{1}{3^n} + 14\frac{1}{6^n}$$ もうちょっとスマートな解法がありそう.

その他・Reply用問題

2011-03-06T13:36:59+09:00

&bold(){その他} &bold(){Reply専用問題} -[[sin^3(x)の不定積分を求めてください。]] -I_n=∫(x^n)(e^x)dxとします。n≧1としてI_nの漸化式を求めてください。 -[[log(x)の不定積分を求めてください。]] -[[x^(tanx)を微分してください。]] -[[x^xを微分してください。]] -[[極限値lim[x→0](1+ax)^(1/x)を求めてください。]] -[[y=log(√(3x+2)/√(x+5))を微分してください。]] -[[集合A,BについてA-B=φであるための必要十分条件はA⊆Bであることを示してください。]] -[[集合A,A',BについてA⊇A'ならばA-B⊇A'-Bであることを示してください。]] -f(x)=2(2x^2-x+1)^2-(2x^2-x+1)+1の最小値とそのときのxの値を求めよ。

f(x)=2(2x^2-x+1)^2-(2x^2-x+1)+1の最小値とそのときのxの値を求めよ。

2011-03-06T13:34:03+09:00

\begin{eqnarray} f(x)=2(2x^{2}-x+1)^{2}-(2x^{2}-x+1)+1の最小値とそのときのxの値を求めよ。 \end{eqnarray}