ますぼっと＠問題・解答まとめwiki

l≦m≦n、1/l+1/m+1/n=3/2をみたす自然数の組(l,m,n)を全て求めてください。(04,明治薬科大)

2011-07-24T14:57:07+09:00

$$l\leq m\leq n$$　より、$$\frac{1}{l}\geq \frac{1}{m}\geq \frac{1}{n}$$ よって　$$\frac{1}{l}+\frac{1}{m}+\frac{1}{n}\leq \frac{1}{l}+\frac{1}{l}+\frac{1}{l}=\frac{3}{l}$$ すなわち　$$\frac{3}{2}\leq \frac{3}{l}$$　　　∴　$$l\leq 2$$ となり、$$l=1,2$$ ①$$l=1$$のとき $$\frac{1}{1}+\frac{1}{m}+\frac{1}{n}=\frac{3}{2}$$　　　∴　$$\frac{1}{m}+\frac{1}{n}=\frac{1}{2}$$ ここで　$$\frac{1}{m}+\frac{1}{n}\leq \frac{1}{m}+\frac{1}{m}=\frac{2}{m}$$ すなわち　$$\frac{1}{2}\leq \frac{2}{m}$$　　　∴　$$m\leq 4$$ この中で、$$m=3$$のとき$$n=6$$、$$m=4$$のとき$$n=4$$となり、題意を満たす。 ②$$l=2$$のとき $$\frac{1}{2}+\frac{1}{m}+\frac{1}{n}=\frac{3}{2}$$　　　∴　$$\frac{1}{m}+\frac{1}{n}=1$$ ここで　$$1\leq \frac{2}{m}$$　　　∴　$$m\leq 2$$ この中で、$$m=2$$のとき$$n=2$$となり、題意を満たす。以上より、求める自然数の組は $$(l,m,n)=(1,3,6),(1,4,4),(2,2,2)$$

diceGCD

2011-03-09T15:51:34+09:00

&bold(){サイコロをn回投げ、出た目の最大公約数をGとします。Gの期待値を求めてください。} 投げる回数によって当然$${\rm G}_n$$の値は違うので場合分けをする. 出た目の中で互いに素になる数が一組でもあればその公約数は当然1. それ以外の場合は以下の通り -出た目が全て 2, 4, 6 のどれか (Gn=2) -出た目が全て 3, 6 のどちらか (Gn=3) -出た目が全て同じ (Gn=出目) これら全てにおいてGの値と確率との積を足し合わせると $${\rm E} \left[ {\rm G}_n \right] =2(\frac{1}{2^n}-\frac{1}{6^n}) + 3(\frac{1}{3^n}-\frac{1}{6^n})+(2+3+4+5+6)\frac{1}{6^n} + 1(1-\frac{1}{2^n}-\frac{1}{3^n}-\frac{1}{6^n})$$ 整理して $${\rm E} \left[ {\rm G}_n \right] = 1 + \frac{1}{2^n} + 2\frac{1}{3^n} + 14\frac{1}{6^n}$$ もうちょっとスマートな解法がありそう.

f(x)=2(2x^2-x+1)^2-(2x^2-x+1)+1の最小値とそのときのxの値を求めよ。

2011-03-06T13:34:03+09:00

\begin{eqnarray} f(x)=2(2x^{2}-x+1)^{2}-(2x^{2}-x+1)+1の最小値とそのときのxの値を求めよ。 \end{eqnarray}

4桁の整数で、その下二桁の数と上二桁の数との和の平方と等しくなるものを求めよ。(78,群馬)

2011-03-15T20:23:25+09:00

4桁の整数で、その下二桁の数と上二桁の数との和の平方と等しくなるものを求めよ。 10 ≦ x ≦　99 , 0 ≦ y ≦ 99 なる自然数x,yをとり、求める4桁の整数を100x+yと置く。ただし、4桁の整数の10の位が０の時は、yは一桁の数とする。 ①10 ≦ x+y ≦ 198 である。問題の条件が成り立つとき、100x+y = (x+y)^2　が成り立つ。変形して、　②99x = (x+y-1)(x+y)　となる。左辺は11の倍数なので、右辺も11の倍数である。 [a]x+y が11の倍数の時 x+y=11k (k:自然数 , 1 ≦ k ≦ 18　∵① )と置ける。 ②　⇔　99x=11k(11k-1) ⇔　9x=k(11k-1) である。この左辺は9の倍数なので、右辺も9の倍数。 kと11k-1共に3の倍数となることはないので、 (∵tを自然数とし、k=3t とおくと、11k-1=33t-1 となり、 kは3の倍数であるが、11k-1 は3の倍数でない。) よって、k または 11k-1 が9の倍数。 kが9の倍数の時、③k=9,18。 11k-1が9の倍数の時、 pを自然数とすると、11k-1=9p と置ける。変形して 11(k-5)=9(p-6) となる。右辺は9の倍数なので、左辺も9の倍数。よって、qを整数として、k-5=9q ⇔　k=9q+5 と置ける。 1 ≦ k ≦ 18　より、④k=5,14。 ③、④より、k=5,9,14,18である。 ②とx+y=11kから、 k=5のとき、(99x=55*54 かつ　x+y-1==54)　⇔　(x=66,y=-11) k=9のとき、(99x=99*98 かつ　x+y-1=98)　⇔　(x=98,y=1) k=14のとき、(99x=154*153 かつ　x+y-1=153)　⇔　(x=238,y=-84) k=18のとき、(99x=198*197 かつ　x+y-1=197)　⇔　(x=394,y=-196) 10 ≦ x ≦　99 , 0 ≦ y ≦ 99 より、(x,y)=(98,1)のみが適する。 [b]x+y-1 が11の倍数の時 x+y-1=11k (k:自然数 , 1 ≦ k ≦ 18　∵① )と置ける。

aは0≦a≦7の整数、bは1≦b≦88の整数です。89a+b＋669が1024の倍数のとき、a,bの値を求めてください。(10,早稲田)

2011-01-27T20:00:35+09:00

-aは0≦a≦7の整数、bは1≦b≦88の整数です。89a+b＋669が1024の倍数のとき、a,bの値を求めてください。(10,早稲田) $$670\leq a+b+669\leq 1380$$より、1024の倍数の時 $$89a+b+669=1024$$ $$89a+b=355$$ $$355\equiv 88\mod 89$$ 1≦b≦88よりb=88 このときa=3 以上よりa=3,b=88 by meganelover

tokyorika97

2011-01-16T13:07:11+09:00

-平面上のベクトル↑a,↑bが|↑a+3↑b|=1,|3↑a-↑b|=1を満たすように動きます。|↑a+↑b|の最大値,最小値を求めてください。(97,東京理科大) $$|\vec a+3\vec b|=1$$・・・①の平方を$$|3\vec a-\vec b|=1$$・・・②の平方からひいて $$|3\vec a-\vec b|^2-|\vec a+3\vec b|^2=0$$ $$8|\vec a|^2-12\vec a\cdot \vec b-8|\vec b|^2=0$$ $$2|\vec a|^2-3\vec a\cdot \vec b-2|\vec b|^2=0$$ $$(2\vec a+\vec b)\cdot (\vec a-2\vec b)=0$$・・・②' ここで$$\vec c=2\vec a+\vec b,\vec d=\vec a-2\vec b$$とすると $$\vec a=\frac{2\vec c+\vec d}5,\vec b=\frac{\vec c-2\vec d}5$$ また$$\vec c\cdot \vec d=0$$ ①に代入して $$|\vec c-\vec d|=1$$ 平方して、②'を考えて $$|\vec c|^2+|\vec d|^2=1$$ $$|\vec d|^2=1-|\vec c|^2$$・・・③ ここで、 $$|\vec a+\vec b|^2$$ $$=|\frac{2\vec c+\vec d}5+\frac{\vec c-2\vec d}5|^2$$ $$=\frac1{25}|3\vec c+\vec d|^2$$ $$=\frac1{25}(9|\vec c|^2+|\vec d|^2)$$ $$=\frac1{25}(8|\vec c|^2+1)$$ ここで、$$8|\vec c|^2\geq 0$$より、 $$|\vec a+\vec b|^2\geq\frac1{25}$$ ～以下蛇足かもしれません。～この最小値が実現するか考える。 $$|\vec a+\vec b|^2=\frac1{25}$$のとき、$$|\vec c|^2=0$$ よって、$$|\vec c|=0$$。③より$$|\vec d|=1$$ $$\vec

shinshu

2011-01-10T20:42:55+09:00

-x

9cards

2011-01-10T01:05:30+09:00

1から9までの整数がもれなく記されたカードが9枚ある。このカードの中から任意に1枚抜き出し、その数字を記録しもどのカードの中に戻すという操作をn回繰り返します。記録された数の積が5で割り切れる確率、10で割り切れる確率をそれぞれ求めてください。(98名大) <積が5で割り切れる確率> 「積が5で割りきれる確率」＝「少なくとも一回は5を引く確率」＝「1-(一回も5を引かない確率)」である。一回も5を引かない確率は　(8/9)^n よって求める確率は　1-(8/9)^n　(答) <積が10で割りきれる確率> 「積が10で割りきれる確率」＝「(積が5で割り切れる確率)-(積が5で割り切れるが奇数になる確率)」である。「積が5で割り切れるが奇数になる確率」＝「1回は5を引き、残りのn-1回は1,3,5,7,9のいずれかを引く確率」なので nC1*1/9*(5/9)^(n-1)＝n*5^(n-1)/9^n よって求める確率は　1-(8/9)^n-n*5^(n-1)/9^n＝1-(8^n+n*5^(n-1))/9^n　(答)

関数f(x,y)=x^4-4x^2y+5y^2+4y+8が最小値をとるときの(x,y)とその最小値を求めてください。(摂南大)

2011-01-09T18:27:48+09:00

-関数f(x,y)=x^4-4x^2y+5y^2+4y+8が最小値をとるときの(x,y)とその最小値を求めてください。(摂南大) $$x^2=t$$とし、tを固定してf(t,y)をyの関数として考える。 $$f(x,y)=x^4-4x^2y+5y^2+4y+8$$ $$ =t^2-4ty+5y^2+4y+8$$ $$ =5y^2+(4-4t)y+t^2+8$$ $$ =5(y+\frac{2-2t}5 )^2+\frac{t^2+8t+36}5$$ $$ =5(y+\frac{2-2t}5 )^2+\frac{(t+4)^2+20}5$$ ここで$$(y+\frac{2-2t}5 )^2\geq 0$$(∵y,tは実数） ∴$$y=\frac{2t-2}5$$のとき最小値$$\frac{(t+4)^2+20}5$$ $$t=x^2$$より$$t\geq 0$$。このとき最小値$$\frac{(t+4)^2+20}5$$の最小値は $$t=0,(x=0)$$のとき$$\frac{36} 5$$ 以上より$$x=0,y=-\frac52$$のとき最小値$$\frac{36} 5$$ by meganelover

chiba_10

2011-01-08T17:02:57+09:00

-角Cが直角である三角形ABCを考えます。辺BCの長さは3以上の素数,辺CA,ABの長さは自然数とします。tanAもtanBも整数にならないことを示してください。(10,千葉) 三角形ABCの角A,B,Cの対辺をそれぞれa,b,cとする。 $$\tan A=\frac a b,\tan B=\frac b a$$である。（１）$$\tan A$$ これが整数のとき、aはbの倍数である。しかしaは素数であるから、そのようなときa=b。このとき三平方の定理より $$c^2=2a^2$$ $$c=\sqrt 2\cdot a$$ であり、cの長さは自然数という条件に反する。これで、背理法により示された。（２）$$tan B$$ これが整数のとき、aはbの素因数であるからb=kaと書けることが必要十分条件。(kは自然数　∵bは自然数) このとき、三平方の定理より $$c^2=a^2+(ka)^2$$ $$c^2=(k^2+1)a^2$$ であるから、cが整数となるとなるための必要十分条件は$$k^2+1$$が平方数であること。このとき、$$k^2+1=n^2$$と置け、（n≠0,nは自然数) $$1=(n+k)(n-k)$$であるが、このような(n+k,n-k)は(1,1)(-1,-1) しかしこのときnまたはkが0になってしまい、n,kは自然数という条件に合わなくなる。よって背理法により示された。以上より$$\tan A,\tan B$$は整数にはならない。 by meganelover