高校生のための数学の質問スレPARTウィキ

整数

2023-10-05T17:43:01+09:00

-&link_anchor(173){最大公約数が1である整数a,b,cはa^2+b^2=c^2を満たしている。このとき、a,bのうち、一方が偶数であり、一方が奇数であることを示せ。} -&link_anchor(348){x^2+y^2=2009を満たす自然数x,y(x>=y)の組はいくつか} -&link_anchor(393){1から99までの数を掛けてできる数をAとする。Aを素因数分解すると　A=2^a*3^b*・・・*97となる。aとbを答えよ} -&link_anchor(487){整数の集合Aを A=6xy+x+y(x,yは0以外の任意の整数)とする Aに含まれない全ての整数の集合をBとするBの一般式を0以外の任意の整数z,wを用いて表せ} -&link_anchor(498){５個の数字１，２，３，４，５のうちから相異なるもの３個をとって、３桁の正の整数を作るときその全ての正の整数の和を求めよ。} -&link_anchor(522){不等式|X-1|<πをみたす整数解の個数は？} -&link_anchor(964){62円切手をなるべく多く使いながら 50円80円切手も何枚も使ってよいとしてピッタリ2100円にする組み合わせ} -&link_anchor(16){実数x,yについて、x+yとxyが共に偶数であるとき、自然数nに対してx^n+y^nが偶数になることを示せ} -&link_anchor(50){a=2011^2011^2011^2011・・・^2011(2011が2011個並ぶ）とする aを9で割った余りを求めよ} -&link_anchor(86){ある自然数があり、それを9で割ると5余り、7で割ると4余る63で割ったときの余りを求めよ} -&link_anchor(237){a,b,c,d：自然数 ab=cdのとき，aはcまたはdの約数は成り立ちますよね？} -&link_anchor(251){（１）ある4桁の自然数を9倍すると、その数字を逆に並べた整数になる。この時、この自然数を求めなさい} -&link_anchor(512){m,n,p,qは正の整数で、p,qは互いに素であるとする 2+1/(m+(1/(n+1/5)))=q/pかつq-p=432 が成り立つ時、m,n,p,qを求めよ} -&link_anchor(678){12^n で表される整数の桁数に現れない自然数のうち最少のものを求めよ。(log12=1.0791) } -&link_anchor(950){1.pが3より大きい素数のとき、(p^2)-1が24で割り切れることを示せ。} ---- &aname(16,option=nolink){} *16 ：１３２人目の素数さん [sage] 2011/01/21(金) 18:11:06 実数x,yについて、x+yとxyが共に偶数であるとき、自然数nに対してx^n+y^nが偶数になることを示せという問題で、回答例では帰納法を使っているんですが、二項定理を使って x^n+y^n=(x+y)^n-{nC1x^(n-1)y+nC2x^(n-2)y^2+……+nC(n-1)xy^(n-1)} =(x+y)^n-xy(実数) だからx^n+y^nは偶数というやり方では何かまずい部分がありますか？（式を書き誤ってるかもしれませんが、もしそうでも上手く斟酌していただけるとありがたいです） 17 ：１３２人目の素数さん [sage] 2011/01/21(金) 19:06:06 (偶数)-(偶数)×(実数)は、(実数)が半整数だと奇数になるよ 18 ：１３２人目の素数さん [sage] 2011/01/21(金) 19:15:29 誤：(偶数)-(偶数)×(実数)は、(実数)が半整数だと奇数になるよ正：(偶数)-(偶数)×(実数)は、(実数)が半整数だと奇数になることもあるよ 19 ：１３２人目の素数さん [sage] 2011/01/21(金) 19:23:19 >>18 ありがとうございますならば（）の中が整数ってことににならないかなーとも思いましたがこれもダメみたいですね素直に模範解答を研究してみます ---- ---- &aname(50,option=nolink){} *50 ：１３２人目の素数さん [sage] 2011/01/22(土) 15:30:53 自分で考えた問題なんだが a=2011^2011^2011^2011・・・^2011(2011が2011個並ぶ）とする aを9で割った余りを求めよ左から三番目以降の数字をAとすると a=2011^2011^A 2011≡1（mod3)なので 2011＾A≡1(mod3) よって2011＾A=3ｋ+1と表せるしたがってa=2011^(3k+1) また2011≡4(mod9)なので 2011＾3≡4＾3≡64≡1となるよってa≡2011^(3k+1)≡(2011＾3)＾ｋ･2011≡1＾ｋ･2011≡1･2011≡2011≡4 これで合ってるかな？ ---- 51 ：１３２人目の素数さん [sage] 2011/01/22(土) 15:35:09 2011≡1（mod3) の時点で2011を何乗しても≡1だろ ---- ---- &aname(86,option=nolink){} *86 ：１３２人目の素数さん [sage] 2011/01/23(日) 11:32:31 ある自然数があり、それを9で割ると5余り、7で割ると4余る 63で割ったときの余りを求めよよろしくお願いします ---- 87 ：１３２人目の素数さん [sage] 2011/01/23(日) 11:55:26 問題文を順番に考えていってもいい「それを9で割ると5余り」だからある自然数は例えば9m+5と表せる「7で割ると4余る」だからmに7a+bでもぶち込んで 63a+9b+5と表し、bに0～6を入れて、7で割って4余るところを探す 95 ：１３２人目の素数さん [sage] 2011/01/23(日) 14:27:11 >>87 9m+5と表せるところまではわかったのですが mに7a+bを入れるのはどうしてでしょうか？ [[整数>https://seisu.kansuji.com/]] n=9m+5とおくことができたので n=7b+4とおくのかな・・と考えてしまいます 9で割ったときの商に代入しているようなのですがどうなっているのかよくわかりません n=63a+9b+5なのでしょうか？ 97 ：１３２人目の素数さん [sage] 2011/01/23(日) 14:45:12 >>86 63は9でも7でも割り切れるので、求める「ある自然数を63で割った余り」は9で割ると5余り、7で割ると4余る。また、63で割った余りなので0以上62以下。求める余りに4を足すと9で割ると割り切れ、7で割ると1余る。 4以上66以下の9の倍数で7で割ると1余るものを探すと36のみ。求める余りは36-4=32。 ---- ---- &aname(173,option=nolink){} *173 ：１３２人目の素数さん [] 2011/01/08(土) 13:01:00 問題最大公約数が1である整数a,b,cはa^2+b^2=c^2を満たしている。このとき、a,bのうち、一方が偶数であり、一方が奇数であることを示せ。模範解答 (ⅰ)a,bが両方とも奇数であるとき a=2p+1,b=2q+1とすると a^2+b^2=(2p+1)^2+(2q+1)^2=4(p^2+q^2+p+q)+2=c^2 ところがc=4r,4r+1,4r+2,4r+3にたいして c^2=16r^2,16r^2+8r+1,16r^2+16r+4,16r^2+24r+9 となり、いずれの場合も整数cを平方し4で割った余りが２となることはないとありますが c=2r,2r+1とおいたら駄目なんでしょうか？ c^2=4r^2,4(r^2+r)+1となり４で割っても余りが２になりませんが・・・またc=3r,3r+1,3r+2とおいたらなぜ駄目なんですか？ ---- 174 ：１３２人目の素数さん [sage] 2011/01/08(土) 13:06:50 >>173 模範解答がおかしい気がする。2r、2r+1に分ければいいと思うよ。 3で割った余りで分けて解けるんならそれでもいいよ。 ---- ---- &aname(237,option=nolink){} *237 ：１３２人目の素数さん [age] 2011/01/27(木) 03:28:04 a,b,c,d：自然数 ab=cd のとき，aはcまたはdの約数は成り立ちますよね？ aがcdの約数でcの約数でもdの約数でもない自然数となる事ってないですよね？ ---- 238 ：１３２人目の素数さん [sage] 2011/01/27(木) 04:06:28 >>237 a＝12、b＝2、c＝3、d＝4 12は24の約数だが3や4の約数ではない。 239 ： 238 [sage] 2011/01/27(木) 04:07:33 b＝2にしたときc,d変えてなかったわ。どっちか2倍して。 240 ：２３７ [age] 2011/01/27(木) 04:22:27 なるほど・・・では「aかbどちらかは，必ずcまたはｄの約数である。」しかいえないということですね。ありがとうございました！！ 243 ：１３２人目の素数さん [sage] 2011/01/27(木) 05:42:53 >>240 >「aかbどちらかは，必ずcまたはｄの約数である。」 >しかいえないおい、それも間違ってるぞ (2･3)･(5･7)=(2･7)･(3･5) 244 ： 237 [age] 2011/01/27(木) 05:51:33 すいません237です。「aかbどちらかは，必ずcまたはｄの約数である。」という命題はあっていますよね？（「aとｂどちらもcdの約数だが，cまたはdの約数ではない」は起こりえない事を証明するために）自分でaとbどちらも，cまたはｄの約数でない。として背理法で証明しようといろいろやってみたのですができませんでした。だれか証明方法を教えていただけないでしょうか？ 245 ： 237 [ｓage] 2011/01/27(木) 05:54:36 たびたびすいません。結局成り立たないのですね・・・２３８，２４４さんありがとうございました。 ---- ---- &aname(251,option=nolink){} *251 ：１３２人目の素数さん [sage] 2011/01/27(木) 14:52:00 （１）ある4桁の自然数を9倍すると、その数字を逆に並べた整数になる。この時、この自然数を求めなさい（２）ある4桁の自然数を4倍すると、その数字を逆に並べた整数になる。この時、この自然数を求めなさいという問題なんですが、一体何をどうやればいいのか分かりません… とっかかりを教えて下さい ---- 252 ：１３２人目の素数さん [sage] 2011/01/27(木) 14:59:23 >>251 (1)9倍しても4桁だから、万の位は1 逆に並べた数すなわち9倍した数の1の位が1だから、元の数の1の位は9 1万を9倍すると9万だから、問題の数を9倍したときに千の位から万の位への繰り上がりはない。つまり元の数の千の位は0か1。 253 ：１３２人目の素数さん [sage] 2011/01/27(木) 15:05:49 (1) ９倍しても４桁の数→1000～1111 先頭は１、最後は９以外考えられない。また、並べ替えた数が９の倍数→各位の数字の合計が９の倍数十の位と百の位の合計は８→可能性があるのは1089のみ。実際、1089*9=9801 254 ：１３２人目の素数さん [sage] 2011/01/27(木) 15:13:40 同じ要領で2178 楽勝～♪ 255 ：１３２人目の素数さん [sage] 2011/01/27(木) 15:14:29 >>252 >>253 解答ありがとうございました！ 2番も同じように考えて、千の位が1か2で場合分けをしたらいいんですかね？とりあえずやってみます！ 256 ：１３２人目の素数さん [sage] 2011/01/27(木) 15:31:52 >>252 4桁で万の位は出てこんだろ。 257 ：１３２人目の素数さん [sage] 2011/01/27(木) 15:37:54 （2） 4倍しても4桁の数→1000～2499 先頭は1or2、最後は4or8。また、並べ替えた数が4の倍数→先頭は2、最後が8。 4倍した数が8999以下→2000～2249 4の倍数は下2桁が4の倍数。12,32,52,72。前行とあわせて12。 2100～2199。最後が8だから、21x8。あとはしらみ潰しで2178。 >>253 　千の位が0だと4桁とは言わない。 258 ：１３２人目の素数さん [sage] 2011/01/27(木) 16:02:16 アンカ >>252 だった。すまん >>253 ---- ---- &aname(348,option=nolink){} *348 ：１３２人目の素数さん [] 2011/01/10(月) 04:25:33 x^2+y^2=2009 を満たす自然数x,y(x>=y)の組はいくつか力尽くで求めれば(x,y)=(35,28)が求まるのですが、うまく求める方法はないでしょうか。やった方法は、とりあえず y^2=2009-x^2>=0 よりx>=44で、 x=44からx=31までy^2=2009-x^2が平方数になるか確かめました ---- 350 ：１３２人目の素数さん [sage] 2011/01/10(月) 07:28:06 >>348 以下、mod 7 で考える 0^2≡0　　1^2≡6^2≡1　　2^2≡5^2≡4　　3^2≡4^2≡2だから x^2+y^2≡2009≡0となるのはx≡y≡0の場合だけ ---- ---- &aname(393,option=nolink){} *393 ：１３２人目の素数さん [] 2011/01/10(月) 22:49:12 ・1から99までの数を掛けてできる数をAとする。　Aを素因数分解すると　A=2^a*3^b*・・・*97となる。　aとbを答えよ　答えはa=95、b=48。解説では 1から99までの中に、2の倍数は49個、2^2の倍数は24個、 2^3の倍数は12個、2^4の倍数は6個、2^5の倍数は3個、2^6の倍数は1個で 49+24+12+6+3+1=95個同様に3の倍数は33個、3^2の倍数は・・・よって　33+11+3+1=48個。となっているのですが、1から99までに、2の倍数は49個の中の、例えば4とか8はその次の、2^2*1の時、2^3*1の時にも出てきて、被ってしまっているような気がするのですが、どのように考えたらいいんでしょうか？ ---- 396 ：１３２人目の素数さん [] 2011/01/10(月) 22:50:50 >>393 8は2^3だから3回カウントしないといけない 16=2^4だから4回カウントしないといけない 398 ：１３２人目の素数さん [sage] 2011/01/10(月) 23:13:10 >>393 　2*(2*2)*(2*3)*(2*2*2)…の素因数2の数を数えるのに２の倍数を数える　[2]*([2]*2)*([2]*3)*([2]*2*2)… 　この[]で囲んだ2の数を数える４の倍数を数える　2*(2*[2])*(2*3)*(2*[2]*2)… 　この[]で囲んだ2の数を数える８の倍数を数える　2*(2*2)*(2*3)*(2*2*[2])… 　この[]で囲んだ2の数を数えるてな感じで、ちゃんと素因数2の数を漏れ無く数えてる 402 ：１３２人目の素数さん [sage] 2011/01/10(月) 23:39:13 >>393 書くのが大変なので1*2*3*4*5*6*7*8*9の場合で説明する。素因数分解したとき2^a*…のaがいくつであるかというのは、2で何回割りきることができるのかということと同じ。 1*2*3*4*5*6*7*8*9を2で割ってみる。まず、それぞれの数字で2で割れるもの（つまり、2の倍数）をそれぞれ1回割る。 2の倍数の個数ぶん割ることができて1*1*3*2*5*3*7*4*9となる。これらの数字の中でさらに2で割れるものは、元は2^2の倍数だったものであり、その個数分割ることができて1*1*3*1*5*3*7*2*9となる。以下、同様。結局、2で何回割りきることができるかというのは、2の倍数の個数+2^2の倍数の個数+2^3の倍数の個数ということになる。 404 ： 393 [sage] 2011/01/11(火) 00:38:19 >>396 さん >>398 さん >>402 さんありがとうございます。皆さんの説明で考えてみたんですが・・・・ >>402 さんの1*2*3*4*5*6*7*8*9で考えてみました。 1*2*3*4*5*6*7*8*9 = 1*[2]*3*([2]*'2')*5*([2]*3)*7*([2]*'2'*"2")*(3*3) = 2^7*3^4*5*7 ↑[ ]と ' 'と " "は囲んだだけで、数学的な意味はないですこの式をみると、見てのとおり、で分かるのですが・・・。 2　の倍数は [2]の部分で4個 2^2の倍数?は '2'の部分で2個 2^3の倍数?は "2"の部分で1個で計7個、だから2^7っていうのはすぐ分かるんだけど・・。 99/2で49.5だから49個、99/4で24、99/8で12、99/16で6、99/32で3個、99/64で1個。 49個の数字を全部2で割った数字で、偶数なものがあわられるのは、1個おきだからそれをさらに2で割るから、2^2の倍数が12個、って書いてるうちに分かったような、わかんない様な・・・・少し進歩しました！ありがとうごさいました！ ---- ---- &aname(487,option=nolink){} *487 ：１３２人目の素数さん [sage] 2011/01/12(水) 01:37:19 質問です塾にて数学の教師が超難問だと言って出してきた問題がどうしても解けません整数の集合Aを A=6xy+x+y(x,yは0以外の任意の整数)とする Aに含まれない全ての整数の集合をBとする Bの一般式を0以外の任意の整数z,wを用いて表せです Aを因数分解し、Aが因数に持ち得ない因数を Bが持つようにしようと考えだのですが上手くいきませんこの問題の主旨だけでもいいので教えて下さい ---- 489 ：１３２人目の素数さん [] 2011/01/12(水) 01:39:20 >>487 問題文が正確だとすると出題者はアホだな 490 ：１３２人目の素数さん [] 2011/01/12(水) 02:01:50 >>489 ごめんなさい板書をノートに写す段階で要約して写したので原文ママではないですが趣旨は変わってないし式も間違いないものと思われます今友人に確認とりましたどのあたりがおかしいか教えて頂けませんか？あと代行レスなのでしばらくレス出来ませんがどうかよろしくお願いします 504 ：１３２人目の素数さん [sage] 2011/01/12(水) 18:57:00 >>487 そんな簡単にはかけないのではないか。 B={n|n=0 または 6n+1 が素数、または 6n+1=(6z-1)(6w-1), z,w は0でない整数で、6z-1, 6w-1 はいずれも素数} あたりで勘弁してもらえないか。 875 ：Ｌ [sage] 2011/01/18(火) 19:53:18 >>487 一言でいうと次のようになるでしょう。(証明は容易なので略) N=6xy+x+yを満たす整数x,y(xy≠0)が存在する ⇔ |6N+1|は合成数 (1は合成数でないので注意してください。1は単数と呼びます) 問題の集合Bはこれから言葉遊びとして得られるでしょう。 ---- ---- &aname(498,option=nolink){} *498 ：１３２人目の素数さん [] 2011/01/12(水) 16:28:00 ５個の数字１，２，３，４，５のうちから相異なるもの３個をとって、３桁の正の整数を作るときその全ての正の整数の和を求めよ。私は100の位を1とすると、10の位と1の位は4*3通りこれが1から5まであるので (100+200+300+400+500)*12 同様にして10の位は(10+20+30+40+50)*12 1の位は(1+2+3+4+5)*12 として(111+222+333+444+555)*12として答えを出したのですが、答えを見ると（１＋２＋３＋４＋５）×１１１×4Ｐ2＝１９９８０として答えを出していましたこの111は何を表すのでしょうか？こちらのほうが綺麗な解答だと思うので詳しく知りたいのですが・・よろしくお願いします 499 ：１３２人目の素数さん [sage] 2011/01/12(水) 16:53:54 100の位の1は12個 10の位の1は12個 1の位の1は12個この1だけの和を先に計算すると 111*12 同様にして 2*111*12 3*111*12 4*111*12 5*111*12 ---- ---- &aname(512,option=nolink){} *512 ：１３２人目の素数さん [sage] 2011/01/31(月) 23:51:50 m,n,p,qは正の整数で、p,qは互いに素であるとする　 2+1/(m+(1/(n+1/5)))=q/pかつq-p=432 が成り立つ時、m,n,p,qを求めよという問いで、 k(5n+1)k=432-p k((5n+1)m+5)=p までは求まりました。kは、p,qが互いに素(22/23とか)でも、最初の式の左辺はそうとは限らない(44/46など）かもしれないと思い、導入した整数です。そこから (m+1)(5n+1)=(432-5k)/kとなりました。しかしそこからどうしてよいか分かりません。せめてk=1なら分かるのですが…… よろしくお願いします ---- 514 ：１３２人目の素数さん [sage] 2011/02/01(火) 00:41:58 >>512 とりあえず、繁分数の(外にある)２が無視されている 515 ：１３２人目の素数さん [sage] 2011/02/01(火) 01:23:23 >>514 そうなのですか？一応q/p=(p+432)/p=1+432/pの側に持っていって、-1+432/pとした結果のつもりですが…… 計算ミスがあったらすいません 521 ：１３２人目の素数さん [sage] 2011/02/01(火) 04:12:29 >>515 　見間違えました。失礼しました。あのような形の連分数には、一つ前の近似分数（この場合は最後の1/5を無視した式　2+1/(m+1/n)）との間に、 2+1/(m+1/n)=(2mn+n+2)/(mn+1)=b/a　(a,bは互いに素)とすると |aq-bp|=1という性質があります。これを利用するのが、正当だと思いますが、他にも、 432=2^4*3^3なので、pは、２の倍数でも、３の倍数でもない。連分数を見ると、５で割ると１余る。従って、３０で割ると１か１１余る。2>512 互除法連分数展開 545 ： 512 [sage] 2011/02/01(火) 13:47:27 2+1/(m+(1/(n+1/5)))=q/pかつq-p=432 について、＞連分数を見ると、５で割ると１余る。と教えていただいたのですが、そこがよく分かりません分数や小数ではなくなぜ１だと断定できるのですか？ ---- ---- &aname(522,option=nolink){} *522 ：１３２人目の素数さん [sage] 2011/01/12(水) 21:07:20 教えてください。不等式|X-1|<πをみたす整数解の個数は？という問題で、答えは７個ですが解き方がわかりません。 πとか出てきてるし、どうやったら７個になるのでしょうか？まず、絶対値をはずすと、x-1<π？ ---- 523 ：菅_理人@kmath1107BBS ◆.ffFfff1uU [sage] 2011/01/12(水) 21:10:04 >>522 πは約3.14 絶対値をはずすと－π < X - 1 < π だから - π + 1 < X < π　+ 1 -2.14・・・ < X < 4.14・・・これを満たす整数Xは -2,-1,0,1,2,3,4 で7個。 ---- ---- &aname(678,option=nolink){} *678 ：１３２人目の素数さん [sage] 2011/02/02(水) 19:40:11 12^n で表される整数の桁数に現れない自然数のうち最少のものを求めよ。(log12=1.0791) 12^nが表せない最少の桁数をkとすると、 (n)log12>678 12^nの桁数は [1+log(12^n)] ([・]は床関数である。JAPANの高校数学でいうガウス記号である) 1+log(12^n)=1+nlog12 1＜log12＜1.08 であり、1.08*12＜1 であるから、 1≦n≦12なる整数nに対しては 12^nの桁数はn+1である。 14＜13log12 であるから 12^13の桁数は15である。したがって求める最小の自然数は14である。 686 ： 680 [sage] 2011/02/02(水) 20:08:29 「訂正」誤)1.08*12＜1 正)0.08*12＜1 ---- ---- &aname(950,option=nolink){} *950 ：１３２人目の素数さん [sage] 2011/02/05(土) 16:46:37 1.pが3より大きい素数のとき、(p^2)-1が24で割り切れることを示せ。 2.nが素数でなく、4でもないとき、(n-1)!がnで割り切れることを示せ。「素数」という条件をどのように使えばよいのかがイマイチ分かりません。お手数掛けますが、どなたかお願いいたします。 ---- 952 ：１３２人目の素数さん [sage] 2011/02/05(土) 17:04:21 >>950 すべての自然数は 12k-11, 12k-10, 12k-9, 12k-8, 12k-7, 12k-6, 12k-5, 12k-4, 12k-3, 12k-2, 12k-1, 12k のいずれかの形で表され 3より大きい素数ということから12k-10, 12k-9, 12k-8, 12k-6, 12k-4, 12k-3, 12k-2, 12k は除外そのほかの場合で確かめると確かに24で割り切れる 953 ：１３２人目の素数さん [] 2011/02/05(土) 17:09:55 すべての自然数がそのいずれかの形で表されることの証明は？ 955 ：１３２人目の素数さん [sage] 2011/02/05(土) 17:12:45 >>950 (1) ワンラインソルーション(一番早い方法) (Z/24Z)* ～ (Z/8Z)*×(Z/3Z)* ～ (Z/2Z)×(Z/2Z)×(Z/2Z) から直接従う。 (2)nの最小の素因数をqとする。このとき q≦√n である。 n=qd を満たす正整数d(≧q)が取れる。当然、d＜n である。よって、d≠q ならば、n|(n-1)! がいえる。 d=q のとき、q≧3 ならば q＜2q＜q^2=n より、n|(n-1)! がいえる。 q=2 のとき、n=4 であり、4|3!=6 は明らかにいえない。 956 ：１３２人目の素数さん [sage] 2011/02/05(土) 17:19:11 >>950 p^2-1=(p+1)(p-1) より、 p=3でないかぎり、p^2-1は3で割り切れる。 p=2でないかぎり、p+1,p-1は8で割り切れる。 (p+1,p-1はどちらかは4で割り切れることに注意) 961 ：１３２人目の素数さん [sage] 2011/02/05(土) 17:44:52 >>950 大学入試において素数という条件はたいした意味をなしていない。次の事柄に注意するだけでその問題は解ける。「ある素数で割り切れる素数はその数自体しかない」たとえば 3で割り切れる素数は3しかないのです。だから3より大きい素数は 3で割ったときに 1余るか、2余るかの2択しかないわけ。もっと簡単な例だと、2より大きい素数は必ず奇数とかｗ 962 ：１３２人目の素数さん [sage] 2011/02/05(土) 17:47:14 (2)については次の事実で素数等という条件を使う。「どんな素数でない1より大きい整数nに対しても、 n=abを満たす1＜b≦a＜nなる整数a,bの組が取れる」 973 ：１３２人目の素数さん [sage] 2011/02/05(土) 19:24:43 >>971 　(1)おまけ解法 5以上の素数は6k±1で表せる (6k±1)^2-1=36k^2±12k=12k(3k±1)=24k^2+12k(k±1) 第二項には連続する2数の積が含まれているのでどちらかが偶数。 976 ：１３２人目の素数さん [sage] 2011/02/05(土) 19:55:02 >>961 おお、これにぐっときた。俺もずーっともやもやしてたんだよな。受験数学における「素数の存在」なるほど！ 979 ：１３２人目の素数さん [sage] 2011/02/05(土) 20:12:11 >>961 「ある素数で割り切れる素数はその数自体しかない」は素数（というか既約元)の定義ではないだろうか？定義を指して、大した意味をなしていないとは？ 980 ：１３２人目の素数さん [sage] 2011/02/05(土) 20:13:08 定義じゃねーだろ 981 ：１３２人目の素数さん [sage] 2011/02/05(土) 20:21:40 素数（そすう、英: prime number）とは、1とその数自身以外に正の約数がない、1 より大きな自然数のこと。(Wikipedia) 定義じゃないのか？ 982 ：１３２人目の素数さん [sage] 2011/02/05(土) 20:27:35 素数で割り切れる～っていって定義になるのか？ 983 ：１３２人目の素数さん [sage] 2011/02/05(土) 20:40:16 「1とその数以外の自然数で割れない」が定義であって、「他の素数では割れない」はそこから導き出される性質だろう。 ---- ---- &aname(964,option=nolink){} *964 ：１３２人目の素数さん [sage] 2011/01/20(木) 19:03:34 62円切手をなるべく多く使いながら 50円80円切手も何枚も使ってよいとしてピッタリ2100円にする組み合わせを大至急いくつか教えて ---- 966 ：１３２人目の素数さん [sage] 2011/01/20(木) 19:13:57 >>964 おれ、昔はヒマだったんだなあ。ちょうど、その計算をするプログラムを書いたことある。以下、その計算結果。 total amout? : 2100 stamp 1: 62 [ 62 ] stamp 2: 50 [ 50 62 ] stamp 3: 80 [ 50 62 80 ] stamp 4: ok... (50)*0 + (62)*30 + (80)*3 =2100 [33 stamps] (50)*1 + (62)*15 + (80)*14 =2100 [30 stamps] (50)*2 + (62)*0 + (80)*25 =2100 [27 stamps] (50)*3 + (62)*25 + (80)*5 =2100 [33 stamps] (50)*4 + (62)*10 + (80)*16 =2100 [30 stamps] (50)*6 + (62)*20 + (80)*7 =2100 [33 stamps] (50)*7 + (62)*5 + (80)*18 =2100 [30 stamps] (50)*9 + (62)*15 + (80)*9 =2100 [33 stamps] (50)*10 + (62)*0 + (80)*20 =2100 [30 stamps] (50)*11 + (62)*25 + (80)*0 =2100 [36 stamps] (50)*12 + (62)*10 + (80)*11 =2100 [33 stamps] (50)*14 + (62)*20 + (80)*2 =2100 [36 stamps] (50)*15 + (62)*5 + (80)*13 =2100 [33 stamps] (50)*17 + (62)*15 + (80)*4 =2100 [36 stamps] (50)*18 + (62)*0 + (80)*15 =2100 [33 stamps] (50)*20 + (62)*10 + (80)*6 =2100 [36 stamps] (50)*23 + (62)*5 + (80)*8 =2100 [36 stamps] (50)*26 + (62)*0 + (80)*10 =2100 [36 stamps] (50)*28 + (62)*10 + (80)*1 =2100 [39 stamps] (50)*31 + (62)*5 + (80)*3 =2100 [39 stamps] (50)*34 + (62)*0 + (80)*5 =2100 [39 stamps] (50)*42 + (62)*0 + (80)*0 =2100 [42 stamps]

メニュー

2011-03-05T13:44:58+09:00

116 **メニュー -[[トップページ]] -[[プラグイン紹介>プラグイン]] -[[掲示板>>http://tree.atbbs.jp/mathqa/index.php/]] [[有効数字]] [[√]] [[どうしてこんな式変形が]] [[因数分解]] [[方程式]] [[不等式]] [[恒等式]] [[無理数]] [[整数]] [[範囲]] [[a^n-b^n]] [[二次関数]] [[関数]] [[集合]] [[十分条件]] [[順列と組み合わせ]] [[確率]] [[x+y xy]] [[図形]] [[円の方程式]] [[パスカルの定理]] [[軌跡]] [[領域]] [[三角比]] [[正弦定理、余弦定理]] [[三角関数]] [[複素数]] [[自然対数]] [[log]] [[数列]] [[ベクトル]] [[微分]] [[極値]] [[積分]] [[区分求積]] [[関数方程式]] [[極限]] [[ニュートン法]] [[体積]] [[行列]] [[極座標]] [[放物線]] [[マクローリン展開]] [[オンラインサイト]] [[思った]] ---- カウンター today&counter(today) total&counter(total) yesterday&counter(yesterday) ウィキのメンバー数&count_members() **リンク -[[@wiki>>http://atwiki.jp]] -[[@wikiご利用ガイド>>http://atwiki.jp/guide/]] **他のサービス -[[無料ホームページ作成>>http://atpages.jp]] -[[無料ブログ作成>>http://atword.jp]] -[[2ch型掲示板レンタル>>http://atchs.jp]] -[[無料掲示板レンタル>>http://atbbs.jp]] -[[お絵かきレンタル>>http://atpaint.jp/]] -[[無料ソーシャルプロフ>>http://sns.atfb.jp/]] // リンクを張るには "[" 2つで文字列を括ります。 // ">" の左側に文字、右側にURLを記述するとリンクになります //**更新履歴 //#recent(20) &link_editmenu(text=ここを編集)

図形

2011-03-05T13:44:46+09:00

-&link_anchor(412){平面図形の定理の証明です.△ABCにおいて∠Aの外角二等分線と辺BCの延長線上が交わり,その交点をDとしたとき　AB:AC=BD:BC} -&link_anchor(464){直方体ABCD-EFGHにおいて、ＡＢ＝3、ＡＤ=4、ＡＥ＝２であるとき、次のものを求めよ。} -&link_anchor(505){半径３５５，６ミリの円があり、その弧の上に点A、Bがある。このa,b,c,d,の各地点から円の孤までの線の長さをそれぞれ求めよ。} -&link_anchor(538){円に内接する四角形ABCDがある。AB=6、AD=8、BD=10、BC=CD、AC>ADである。 1、∠BAD 2、∠BCD 3、∠CAD 4、ACの長さ 5、sin∠ADC　をそれぞれ求めよ。} -&link_anchor(551){△ABCにおいて、AB＝6、AC=3、∠A=120°である。頂点Aと辺BCの中点Mを結んだ線分の長さAMは？} -&link_anchor(691){図は1辺が4cmの立方体、点A、P、Qを通る平面と点B、Q、Rを通る平面とで切断し、２つの三角錐を切り取って作った立方体である。体積と面積を答えよ。} -&link_anchor(804){平面x+2y+3z=6について、原点を通り、この平面に垂直に交わる直線の方程式を求めよ。} -&link_anchor(941){凸四角形ABCDにおいて AC=1 0<∠ACB=∠ACD<π/2 ∠BAD=π/2 このとき三角形BCDの面積Sの最大値を求めよ} -&link_anchor(4){数学Bの問題で、点P（３，４，５）を通りXY平面に平行な平面の方程式を教えてください} -&link_anchor(8){問１．頂角Ａが36度、辺ＢＣが１の二等辺三角形ＡＢＣにおいて底角Ｃの二等分線と線分ＡＢとの交点をＤとするこのときのＢＤの長さを求めよ} -&link_anchor(160){円 x^2 +y^2 =1 をある直線 l に関して折り返すと，点 (2, 0) で x 軸に接する．このとき，直線 l の方程式を求めよ} -&link_anchor(167){三角形ABCについて面積が√5であり∠A=θとすると∠C=90°+θとなり辺ACの長さが1であったとするこのとき辺ABとCBの長さを求めよ} -&link_anchor(182){図のような、底面の半径r、高さhの直円錐を考える。その内部に図のように面ABCD、面EFGHを正方形とする直方体を考える。(1)直方体の高さをxとするとき、直方体の体積をr,h,xの式で表せ。} -&link_anchor(211){正四面体ってすごい綺麗な形してると思うんですが4つの面は正三角形です　このときってそれぞれの面が底面から何度傾いているかって分からないんですか？} -&link_anchor(313){角Bが直角でAB＝BC＝1の直角二等辺三角形がある。}} -&link_anchor(670){10x^2+kxy+2y^2-9x-4y+2=0が2直線をあらわし時のkを求めよ。} -&link_anchor(849){一つの円に関して中心角が等しい⇔対応する弧が等しいの証明} -&link_anchor(889){平面上に四角形OABCが与えられている。ここでOは原点とする。} -&link_anchor(7){四角形の成立条件(？)について質問があります} -&link_anchor(73){点Ｐは線分ＡＢを直径とする円周上にある　⇔　角ＡＰＢ＝９０°} -&link_anchor(102){円の周上に３点A,Q,Bがあり、点Pが直線ABに関して点Qと同じ側にあるとき、 ①点Pが円の内部にある→∠APB＞∠AQB ②点Pが円の外部にある→∠APB＜∠AQB } ---- &aname(4,option=nolink){} *4 ：１３２人目の素数さん [] 2011/01/21(金) 02:57:40 数学Bの問題で、点P（３，４，５）を通りXY平面に平行な平面の方程式を教えてください ---- 5 ：１３２人目の素数さん [sage] 2011/01/21(金) 02:58:35 z=5 ---- ---- &aname(7,option=nolink){} *7 ：１３２人目の素数さん [] 2011/02/05(土) 22:45:18 四角形の成立条件(？)について質問があります (文系プラチカ) 四角形ABCDにおいて、 AB＝BC＝1、CD＝2、DA＝x、∠ABC＝θ とする。このとき四角形ABCDに外接する円があるようにしながら、辺DAの長さxをさまざまに変えたとき、cosθの取りうる値の範囲を求めよ。という問題なのですが。解説に四角形ABCDが存在するための条件から、 DC-CB-BA>7 四本の棒で四角形を作ることを考えてみよう。一本だけ異常に長い棒があったら四角形作れないよね？これは絵でも書いてもらうと分かりやすいのだけど。あと、すでに３本は長さが決まってるから、残りの一本が短すぎても四角形は作れない。 9 ：１３２人目の素数さん [sage] 2011/02/05(土) 22:50:35 >>7 三角不等式みたいなものだよ。どの辺も他の3辺の和以上になることはない。 10 ：１３２人目の素数さん [sage] 2011/02/05(土) 23:06:40 >>7 まずある三角形ＡＢＣの存在条件は｜ＡＢ－ＡＣ｜＜ＢＣ＜ＡＢ＋ＡＣであり、これは△ＡＢＣを図で書くと、左辺では｜ＡＢ－ＡＣ｜≧ＢＣだと、右辺ではＢＣ≧ＡＢ＋ＡＣだと三角形が潰れて（もしくは点Ａ、点Ｂ、点Ｃが一直線上になる）描けなくなることから明らか。 11 ：１３２人目の素数さん [sage] 2011/02/05(土) 23:10:54 次に四角形で上のことと同様に描いてみる（四角形を描く時に潰れない条件を考えてみる）とＣＤが足されても点Ａ、点Ｂ、点Ｃ、点Ｄが一直線になりそうなギリギリの図形で考えてみると考えやすい 25 ：スガ ◆.ffFfff1uU [sage] 2011/02/06(日) 00:19:29 >>21 その式が何処から出てきたのかわかんないけど、この問題は素直に置換積分したほうがいいと思うよ。置換後の形がすぐにひらめくのであれば不要だけど。 26 ：１３２人目の素数さん [] 2011/02/06(日) 00:21:11 さきほど、四角形の成立条件について質問したもの >>7 ですがみなさんのアドバイスを参考に考え直してみました。四角形ABCDにおいて、対角線BDを引く。まず、△BCDについて、三角形の成立条件より｜CD-BC｜>7 ですがみなさんのアドバイスを参考に考え直してみました。四角形ABCDにおいて、対角線BDを引く。まず、△BCDについて、三角形の成立条件より｜CD-BC｜>26 いいと思う。十分条件を忘れずにな。 29 ：１３２人目の素数さん [] 2011/02/06(日) 01:06:21 >>28 すみません十分条件と言いますと、どういうことですか？ 30 ：１３２人目の素数さん [sage] 2011/02/06(日) 01:14:25 この問題で言うと 0<ｘ<4…必要条件解答の()内…十分条件つまり必要条件は、それがないと題意が成り立たない。十分条件は必要条件が本当に題意を満たしているのかの確認。今は0<ｘ<4だけでは四角形はできても、円に内接することが示されていないから、その確認がいるってこと。集合と論理の分野で必要、十分ってのがあるけどわからなかったら気にしなくていいよ 38 ：１３２人目の素数さん [] 2011/02/06(日) 01:27:52 >>30 すみません。聞き忘れていたのですが、（逆に、これを満たすどんなxに対しても、四角形ABCDの対角の和A＋C、B+Dをそれぞれ180度に等しく出来るので、この四角形に外接する円を取ることが出来る）とは、どうやって分かったのか、教えてもらってもいいですか？ 39 ：１３２人目の素数さん [sage] 2011/02/06(日) 01:38:14 0<ｘ<4って出てきてるから数字を代入して確認したらいいと思う。大体は端、真ん中とかわかりやすそうな所を３つ代入して成立したらいける。例えばｘ＝０だと図を描くと三角形ができる。ｘ＝４だと四角形内の２つの三角形で余弦定理を使うとcosθ＝－１となってθの範囲の端だとわかる。 40 ：１３２人目の素数さん [] 2011/02/06(日) 01:43:07 なるほど、ありがとうございます！解答作成の際は、過程は誤魔化して書かずに、結論だけを書いておけば、大丈夫ですか？それと、()内を証明するなんてことになったときは、相当面倒ですか？ 41 ：１３２人目の素数さん [sage] 2011/02/06(日) 01:53:16 解答のように、結論だけでいいと思うよ。たぶん()内は証明する時間がないし、俺はできないｗちなみに、数学で確認作業は大事だよ。数値を代入できるのなら(角度とか数式)代入した方がいい。考えはあってるのに(1)で間違って後全滅なんてことにならないようにしないとね。 42 ：１３２人目の素数さん [] 2011/02/06(日) 01:57:12 なるほど、ありがとうございます。確認を忘れないように気をつけます！それと、、、ｘ＝０だと図を描くと三角形ができる。と書いてあったんで考えてみたんですけど、ｘ＝０とは、ＡとＤが一致してＡ(=Ｄ)Ｃ=２となるときですよね？そのとき△Ａ(=Ｄ)ＢＣで余弦定理使うと。cosθ＝－１となって三角形が作れなくなってしまい、？？？となってしまいました。三角形が出来るのに、コサインが合わない、どういうことなんでしょうか？ 43 ：１３２人目の素数さん [sage] 2011/02/06(日) 02:03:46 >>42 間違えた。三角形はできないよね。その時は１＋１＝２となりＡ、Ｂ、Ｃは一直線上になる。これは計算した通りcosθ＝－１とも合致している。 ---- ---- &aname(8,option=nolink){} *8 ：１３２人目の素数さん [sage] 2011/01/21(金) 10:18:35 問１．頂角Ａが36度、辺ＢＣが１の二等辺三角形ＡＢＣにおいて底角Ｃの二等分線と線分ＡＢとの交点をＤとするこのときのＢＤの長さを求めよ問２．{3-(5+√3)cos^2θ}/(sinθ+cosθ)＝-√3cosθ tanθを求めよ。ただし、0°≦θ≦90°とする。問１に関してはＤから辺ＡＣに垂線を下ろすとちょうど中点であることくらいしかわかりませんでした問２は以下のとこまでいきました 3-(5+√3)cos^2θ＝-√3cosθ(sinθ+cosθ) 3-5cos^2θ-√3cos^2θ＝-√3sinθcosθ-√3cos^2θ 3-5cos^2θ＝-√3sinθcosθ √3sinθcosθ-5cos^2θ＝-3 cosθ(√3sinθ-5cosθ)＝-3 sinθ(√3sinθ-5cosθ)＝-3tanθ ---- 9 ：１３２人目の素数さん [sage] 2011/01/21(金) 10:46:52 >>8 1 正五角形とその対角線を書いてみる 2 > 3-(5+√3)cos^2θ＝-√3cosθ(sinθ+cosθ) 両辺を cos^2θ で割って 1/cos^2θ=1+tan^2θ ---- ---- &aname(73,option=nolink){} *73 ：１３２人目の素数さん [] 2011/02/06(日) 13:41:03 異なる3点Ａ、Ｂ、Ｐについて、点Ｐは線分ＡＢを直径とする円周上にある　⇔　角ＡＰＢ＝９０° の、←の証明を教えてガリレオ ---- 74 ：１３２人目の素数さん [sage] 2011/02/06(日) 13:42:43 >>73 定義より明らか 75 ：１３２人目の素数さん [sage] 2011/02/06(日) 13:43:56 >>73 定義より自明 86 ：１３２人目の素数さん [sage] 2011/02/06(日) 14:13:18 >>73 ABの中点をMとすると⊿AMPはAM=PMなる二等辺三角形 87 ： 73 [] 2011/02/06(日) 14:14:05 円周角の定理は、→の証明には使えると思うんですが、←の証明にどうやって使うんでしょうか。あと、「定義より自明」も気になります。よろしくお願いします 88 ： 73 [sage] 2011/02/06(日) 14:15:29 >>86 の証明でうまくいきました。他に、・円周角の定理を使った証明・定義より自明これらを詳しくお願いします 89 ：１３２人目の素数さん [sage] 2011/02/06(日) 14:18:08 >>88 △ABPの外接円を考える。円の中心をOとすると∠AOBは？ 90 ： 73 [sage] 2011/02/06(日) 14:20:04 >>89 えっと、それは→の証明じゃないんでしょうか！？ 91 ：１３２人目の素数さん [sage] 2011/02/06(日) 14:22:42 外接円とした時点では、ABは直径でも何でもないその円のただの弦。ここが分からないなら、君には数学は無理だ。 92 ： 73 [sage] 2011/02/06(日) 14:24:03 円周角の定理より、∠AOB=90×2=180として、どうして←が言えるんでしょうか 93 ：１３２人目の素数さん [sage] 2011/02/06(日) 14:25:27 ∠AOB=180°なら3点A、O、Bは一直線上にある。すなわちABは直径。 94 ： 73 [sage] 2011/02/06(日) 14:26:23 ABが円Oの直径⇔∠AOB=180 でＯＫ？ ---- ---- &aname(102,option=nolink){} *102 ：１３２人目の素数さん [sage] 2011/02/06(日) 14:38:43 円の周上に３点A,Q,Bがあり、点Pが直線ABに関して点Qと同じ側にあるとき、 ①点Pが円の内部にある→∠APB＞∠AQB ②点Pが円の外部にある→∠APB＜∠AQB 教科書では、①は単にAPを延長して円との交点をP'として証明しているのに、 ②はなぜか、線分ＡＢ上にA,Bとは異なる点Cをとり、直線CPと円周の交点をP'として証明しています。 ②の証明は、別の観点からの証明というより、単純に労力が二倍になるだけだと思うんですが、なにがしたいのでしょうか？ ---- 113 ： 102 [sage] 2011/02/06(日) 15:25:09 ttp://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q1351287473 の図でも同じような、わざわざ点Ｃをとる証明がなされています。なぜみんなわざわざこんなことするの？ 114 ：１３２人目の素数さん [sage] 2011/02/06(日) 15:27:51 それが分かりやすいから？ 115 ：１３２人目の素数さん [sage] 2011/02/06(日) 15:31:09 線分APが弧ABと交点を持つとは限らないからだろ 117 ：１３２人目の素数さん [sage] 2011/02/06(日) 15:51:24 >>115 ほうほう。教科書は定理や証明を並べるだけじゃなくて、そういうことをちゃんと書いてほしいですな 120 ：１３２人目の素数さん [sage] 2011/02/06(日) 16:20:37 >>117 APと弧の交点で証明を進めていけばすぐ破綻に気づくだろ 124 ：１３２人目の素数さん [sage] 2011/02/06(日) 16:31:27 >>120 それに気づくのは結構難しいと思う。教科書の図も、普通にAPと（BPも）弧が交差してるし。弧が半円よりも短いときのケースとか、教科書に一言書いてくれてあったら、ここで君に出会うことも無かった。 ---- ---- &aname(160,option=nolink){} *160 ：１３２人目の素数さん [sage] 2011/01/24(月) 21:45:15 円 x^2 +y^2 =1 をある直線 l に関して折り返すと，点 (2, 0) で x 軸に接する．このとき，直線 l の方程式を求めよ折り返してx軸に接する…。わからないです。お願いします。 161 ：１３２人目の素数さん [sage] 2011/01/24(月) 22:31:22 >>160 折り返した円の中心はどこにあるよ？折り返すんだから、直線 l は中心同士の垂直二等分線。 ---- ---- &aname(167,option=nolink){} *167 ：１３２人目の素数さん [] 2011/01/24(月) 23:10:24 三角形ABCについて面積が√5であり ∠A=θとすると∠C=90°+θとなり辺ACの長さが1であったとするこのとき辺ABとCBの長さを求めよという問題でBC=6, CB=3√5が答えですとりあえずAB=x, Bc=yとおいて ycosθ=xsinθ=2√5 cos^2+sin^2=1より(x+y)^2/(xy)^2 =20 というところまでは求められたのですがそこで詰まりましたここから先の解説をいただけると幸いです ---- 172 ：１３２人目の素数さん [sage] 2011/01/25(火) 03:04:06 >>167 制限低利より1/sin(90ｰ2θ)=y/sinθ ---- ---- &aname(182,option=nolink){} *182 ：１３２人目の素数さん [sage] 2011/01/25(火) 19:10:39 問題ttp://imepita.jp/20110125/677800 &blankimg(677800.jpg) 解答ttp://imepita.jp/20110125/678540 &blankimg(678540.jpg) 図のような、底面の半径r、高さhの直円錐を考える。その内部に図のように面ABCD、面EFGHを正方形とする直方体を考える。ここで頂点A,B,C,Dは直円錐の側面上にあり、頂点E,F,G,Hは直円錐の底面上にあるものとする。このとき次の問いに答えよ。 (1)直方体の高さをxとするとき、直方体の体積をr,h,xの式で表せ。 (2)直方体の体積を最大にするようた高さxを求めよ。また、そのときの体積を求めよ。という問題で、俺は(1)で、△OIC相似△OJLよりOI:IC=OJ:JL ⇔(h-x):IC=h:r ⇔IC=r(h-x)/h よって、正方形ABCDの一辺の長さは2IC=2r(h-x)/hとしたんですけど間違ってました解答は、正方形ABCDの一辺の長さをyとすると、IC=AC/2=y/(√2) OI:IC=OJ:JLより(h-x):y/(√2)=h:r これよりy=(√2)r(h-x)/hとなっていましたこれで結局体積も違ってきてしまいますどこが違うのか分からないんで教えてくださいあとレス代行してもらってるのど返信が遅れるかもしれません ---- 183 ：１３２人目の素数さん [sage] 2011/01/25(火) 20:47:04 >>182 ACは正方形ABCDの対角線 184 ：１３２人目の素数さん [sage] 2011/01/25(火) 20:53:30 >>182 2ICってACだろ？ ACは対角線だよ。求めるのはその1/√2。 ---- ---- &aname(211,option=nolink){} *211 ：１３２人目の素数さん [sage] 2011/01/26(水) 22:31:34 正四面体ってすごい綺麗な形してると思うんですが 4つの面は正三角形です底面を固定すると3つの面が頂点で1つになりますこのときってそれぞれの面が底面から何度傾いているかって分からないんですか？ 60°ですか？ ---- 213 ：１３２人目の素数さん [sage] 2011/01/26(水) 22:40:00 >>211 高さを出して余弦定理 214 ：１３２人目の素数さん [] 2011/01/26(水) 22:40:48 >211 3辺 2 √3 √3 ---- ---- &aname(313,option=nolink){} *313 ：１３２人目の素数さん [] 2011/01/29(土) 12:51:13 角Bが直角でAB＝BC＝1の直角二等辺三角形がある。辺BC上に点Dをとり、三角形ABDの内接円の半径と、三角形ADCの内接円の半径が等しくなるようにする。このときBDの長さはいくらか。これはどのように考えればいいでしょうか。ｒ＝S/sを使うのかなと思いましたが辺の長さがわかりまｓんし。 314 ：スガマサト ◆.ffFfff1uU [sage] 2011/01/29(土) 13:31:43 AB=BC=1で角Bが直角なら AC=√2 ---- ---- &aname(412,option=nolink){} *412 ：１３２人目の素数さん [sage] 2011/01/11(火) 08:42:48 平面図形の定理の証明です. △ABCにおいて∠Aの外角二等分線と辺BCの延長線上が交わり,その交点をDとしたとき　AB:AC=BD:BC これを証明しろという問題です. ヒントとしてAB>ACのときとAB>412 問題自体が間違ってるからな AB:ACはBD:CDと等しいぜヒント DからABに平行な直線を引いてみよう 419 ： 412 [sage] 2011/01/11(火) 11:25:43 >>417 すいません、問題を写し間違えました。 AB>ACはCを通りADと平行な直線とABの交点をXとして、錯角や同位角を用いて証明できましたが、 AB>464 三角形ＢＤＥの各辺の長さを三平方の定理で求めると、 BD=√25=5 DE=√20=2√5 EB=√13 一番短い辺EBの対角Dの余弦(cosD)を余弦定理で求める。 cosD=(25+20-13)/(2*(2√5)*5)=32/(2*2*5√5)=8/(5√5) ∴sinD=√{1-(8/(5√5))^2}=√(61/125)=(√61)/(5√5) （有理化しない方が計算が楽に済むことが多い。）（一番短い辺BDの対角Dは鋭角になるから、sinD>0） ∴S=(1/2)*(2√5)*5*{(√61)/(5√5)}=√61 四面体ABDEについて、三角形ADEを底面、辺ABを高さとみれば体積は、 (1/3)*{(1/2)*4*2}*3=4 （四面体ABDEの体積は、直方体ABCD-EFGHの1/6だから、(2*3*4)/6=4としてもよい。）点Aから平面BDEに下ろした垂線と平面BDEの交点をIとする。四面体ABDEについて、三角形BDEを底面、辺AIを高さとみれば、 (1/3)*(√61)*AI=4 より、AI=12/√61 475 ： 466 [sage] 2011/01/11(火) 22:51:37 >>467-468 一番短い辺BDの対角Dは鋭角になるから、sinD>0は要らんかったね。三角形の内角だから結局sinDもsinEもsinBも正だったわ。 ---- ---- &aname(505,option=nolink){} *505 ：１３２人目の素数さん [] 2011/01/12(水) 19:14:51 半径３５５，６ミリの円があり、その弧の上に点A、Bがある。 AとBとの間に直線距離を引き、長さを図ると５４ミリあった。この直線ABを１０，８ミリごとに５等分する点を４つ置き（円の中心から見て左からa,b,c,d,）そこから円の外側の（近い側の）孤に交わる直角の線をそれぞれ引く。このa,b,c,d,の各地点から円の孤までの線の長さをそれぞれ求めよ。 ---- 　 506 ：菅_理人@kmath1107BBS ◆.ffFfff1uU [sage] 2011/01/12(水) 19:23:58 >>505 解法のみ円の中心をOとし、A,Bの中点をCと置こう。三角形OACに３平方の定理を使うと OCの長さが分かる。 Ca,Cb,の長さは分かるので、三平方の定理を順に適用して Oa,Obの長さを求めることができる。 a,b,c,dから円の弧までの長さはそれぞれ半径からOa.Obの長さを引けば求められる。なお、OaとObについてのみ計算すればOdとOcは対象性から分かる。 510 ：１３２人目の素数さん [] 2011/01/12(水) 19:53:29 >>506 求めるのは直線ABから「直角に出て」弧に交わるまでの線の長さ」ではないですか？ 511 ：菅_理人@kmath1107BBS ◆.ffFfff1uU [sage] 2011/01/12(水) 20:04:32 >>510 そうみたいね。すっかり馬鹿に成ったなぁ。昔から誤解答は良くやってたけど 512 ：１３２人目の素数さん [] 2011/01/12(水) 20:09:02 >>510 直角というかABから垂直に出る線が一番近い円の弧とぶるかるまでのそれぞれの距離だよねこれどういう公式使うのかな？良く解らんなあ >>505 513 ：１３２人目の素数さん [] 2011/01/12(水) 20:11:56 単純に三角関数じゃねえか？ 514 ：菅_理人@kmath1107BBS ◆.ffFfff1uU [sage] 2011/01/12(水) 20:13:49 座標平面や三角関数無しで解きたかったけど無理っぽい。 515 ：１３２人目の素数さん [] 2011/01/12(水) 20:15:14 > そこから円の外側の（近い側の）孤に交わる直角の線をそれぞれ引く。 520 ：菅_理人@kmath1107BBS ◆.ffFfff1uU [sage] 2011/01/12(水) 20:48:28 >>505 点aで弦ABと垂直に交わる直線を考える。この直線と円の交点をE,Fとする。aに近いほうがE (求める長さはaE) で、円の中心とこの弦EFの距離は aCの距離に等しいので求まる。半径OEの長さも分かるので、三平方の定理からEFの長さが求まる。 (EFの長さ) - (OCの長さ) を２で割ったものが求めるaEの長さ。 521 ：菅_理人@kmath1107BBS ◆.ffFfff1uU [sage] 2011/01/12(水) 20:49:29 失礼。 (EFの長さ)/2 - (OCの長さ) がaEの長さ。 524 ：１３２人目の素数さん [] 2011/01/12(水) 21:16:18 >>520 ふむ。解析中。 527 ：菅_理人@kmath1107BBS ◆.ffFfff1uU [sage] 2011/01/12(水) 21:31:31 >>524 ちょっと分かりにくいよね。手ごろなupロダがあればいいのだけど。 EとFの中点をGと置いて、三角形OEGに注目すると分かりやすいかも。 540 ：１３２人目の素数さん [] 2011/01/13(木) 00:54:18 >>527 解析しました。 >>505 の数値で計算するとaE＝0.6573ミリとでました！（簡易計算機なんで大体の近似値です。素晴らしい！脱帽です　 541 ： 540 [] 2011/01/13(木) 01:07:18 >>527 ｂEも出ました。0.9855ミリでした。三平方だけで出来ましたね。面白かった！ ---- ---- &aname(538,option=nolink){} *538 ：１３２人目の素数さん [] 2011/01/13(木) 00:09:02 円に内接する四角形ABCDがある。 AB=6、AD=8、BD=10、BC=CD、AC>ADである。 1、∠BAD 2、∠BCD 3、∠CAD 4、ACの長さ 5、sin∠ADC　をそれぞれ求めよ。という問題で、 1と2は、△ABDで辺の比が 5:4:3なので90度、向かい合う角も90度。 4は、　BC=CDで、斜辺の長さが10の二等辺直角三角形なので BC=CD=5√2 　これで四辺の長さが分かるので、cos∠ADCを求めて、AC=の形で余弦定理を使って求めて、　AC=8^2+5√2-2*8*5√2cos∠ADCで求める 5は、4でcos∠ADCを　1-cos^2∠ADCで求める 3も、4を求めた後、△ADCの三辺の長さから求められる、と思うのですがそれだと問題の順がなにか変な感じがするのですが、これはもっと簡単に∠CADがわかるものなのでしょうか？ ---- 545 ：１３２人目の素数さん [sage] 2011/01/13(木) 15:28:45 >>538 (3)は円周角 ---- ---- &aname(551,option=nolink){} *551 ：１３２人目の素数さん [sage] 2011/01/13(木) 17:45:50 教えてください。 △ABCにおいて、AB＝6、AC=3、∠A=120°である。頂点Aと辺BCの中点Mを結んだ線分の長さAMは？答えは、3√3/2ですが、これは内接円の半径rで解いても正弦定理の外接円で解いても答えが違うのですがどうやって解くんですか？円は関係ない場合の解き方がわかりません。 ---- 553 ：１３２人目の素数さん [sage] 2011/01/13(木) 17:53:00 >551 ACをAの方に延長して、Bから垂線をおろす。 554 ：１３２人目の素数さん [sage] 2011/01/13(木) 17:56:50 >>553 Bから垂線下しても真ん中のMの計算がわかりません ---- ---- &aname(670,option=nolink){} *670 ：１３２人目の素数さん [] 2011/02/02(水) 18:57:31 10x^2+kxy+2y^2-9x-4y+2=0が2直線をあらわし時のkを求めよ。ただしkは整数とする。（px+qy+r)(sx+ty+u)=0の形にすればいいのは分かるってとりあえずyの2次方程式としてみたんですがその後どうすれば良いかわかりませんちなみにこんな感じになりました 2y^2+(kx-4)y+(10x^2+9x-2)=0 ---- 672 ：１３２人目の素数さん [sage] 2011/02/02(水) 19:15:40 >>670 計算おかしい気がするが後ろを因数分解して襷掛けを考える 673 ： 672 [sage] 2011/02/02(水) 19:21:52 後ろってのは10x^2-9x+2のことな 676 ：１３２人目の素数さん [sage] 2011/02/02(水) 19:31:14 >>670 10x^2-9x+2=(5x-2)(2x-1) 2y^2-4y+2=(2y-2)(y-1)だから因数分解の結果は(5x+2y-2)(2x+y-1)になるよ ---- ---- &aname(691,option=nolink){} *691 ：１３２人目の素数さん [sage] 2011/01/14(金) 18:16:51 ttp://imepita.jp/20110114/611700 &blankimg(611700.jpg) 図は1辺が4cmの立方体、点A、P、Qを通る平面と点B、Q、Rを通る平面とで切断し、２つの三角錐を切り取って作った立方体である。 3点P、Q、Rは立方体の各辺と中点であるとする。体積と面積を答えよ。さっぱりわかりません。立方体の体積4*4*4＝64 こっからどうすればいいですか？ ---- 705 ：１３２人目の素数さん [sage] 2011/01/14(金) 21:30:33 >>703 切り取った三角錐それぞれの体積を求める 708 ：１３２人目の素数さん [sage] 2011/01/14(金) 22:49:21 >>691 切り取られた三角錐の体積を求めて引く。 ---- ---- &aname(804,option=nolink){} *804 ：１３２人目の素数さん [sage] 2011/01/17(月) 00:33:52 平面x+2y+3z=6について、原点を通り、この平面に垂直に交わる直線の方程式を求めよ。わかりそうでわかりません。どなたかよろしくお願いします。 ---- 805 ：１３２人目の素数さん [] 2011/01/17(月) 00:55:22 >>804 法線ベクトル(1, 2, 3) 806 ：１３２人目の素数さん [sage] 2011/01/17(月) 01:00:34 >>805 x=y/2=z/3　ですね、ありがとうございますた ---- ---- &aname(849,option=nolink){} *849 ：１３２人目の素数さん [] 2011/02/04(金) 16:12:39 一つの円に関して中心角が等しい⇔対応する弧が等しいの証明を考え＆探しているんですが、よくわかりません。 ttp://ziddy.japan.zdnet.com/qa3460606.html このベストアンサーは、循環しているように思います。（任意の円周角に対応する弧上の点が一意に取れて、同じことをした弧と「ぴったり一致する」、のであれば、その事実を最初から証明に使えばよい）ＧＯＯＤな証明をご存知の方、よろしくお願いします。 ---- 850 ： 849 [] 2011/02/04(金) 16:18:12 ちなみに、「ぴったり一致する」ことを最初から使った説明は ttp://contest.thinkquest.jp/tqj2002/50027/page078.html このようになると思いますが、これでは納得できないという人は、どうしたらいいでしょうか 851 ：１３２人目の素数さん [sage] 2011/02/04(金) 16:20:17 >>849 「角が等しい」と「弧が等しい」をそれぞれどう定義するの？ 852 ：１３２人目の素数さん [] 2011/02/04(金) 16:24:27 >>851 わかりません。そこからなにか解決策があるなら、私に質問する前に定義と証明をお願いします。 853 ：１３２人目の素数さん [sage] 2011/02/04(金) 16:32:52 弧長/半径で中心角を定義したらほぼ自明じゃね？ 854 ： 849 [sage] 2011/02/04(金) 16:42:07 >>853 中心角を弧長で、あるいは弧を中心角で定義すれば、確かに自明ですが、少なくとも教育課程ではそのような定義はされてないですから、中学生にはどう説明しているんでしょう？また、そのような定義をするにしても、その定義でいい理由として、中心角が等しい＝弧が等しいあるいは中心角の大きさと弧の長さが比例するのようなことが直観的理解として必要であるように思います。結局、どちらにしても直観に頼るしかないのでしょうか？ 861 ：１３２人目の素数さん [sage] 2011/02/04(金) 17:54:32 >>859 この辺を勉強しては如何 ttp://www.amazon.co.jp/dp/4320015134 ttp://www.amazon.co.jp/dp/4480089535 876 ：スガマサト ◆.ffFfff1uU [sage] 2011/02/04(金) 20:53:42 中学生のレベルでって言うならある程度直感に頼るのはしょうがないんじゃないの。中心角と半径を指定したとき扇形は一通りしか作図できないから弧の長さは一定って話。この作図が一通りってのは書けば明らかなんだけど、 >>875 のいう直感的な説明でしかないし。 881 ：１３２人目の素数さん [sage] 2011/02/04(金) 21:03:17 >>875 扇を作る二つの半径と弦とで出来る三角形は半径と中心角が等しければ合同ってのではダメなの？合同だから三角形はぴったり重なり、そのとき弧がぴったり重ならないとすると中心からの距離が半径ではない部分がどちらかにあることになって矛盾するから、弧もぴったり重なる。 894 ：１３２人目の素数さん [sage] 2011/02/04(金) 21:53:39 >>854 中学レベルでは割と曖昧なことしか言えません。初等幾何学の範疇では角度と円周の長さを独立に定義できないので、初等幾何での証明ではあなたの満足するものは得られないと思います。しかし数学的に厳密な論理的整合性のある体系は整理されています。「計量」または「内積」なるものを定義して、そこから角度や曲線の長さを定義します。もちろん初等幾何学からの結果に整合的であるようになっています。詳しくは解析学を勉強してください。しかし結局は初等幾何的な直観を念頭に置いています。 ---- ---- &aname(889,option=nolink){} *889 ：１３２人目の素数さん [] 2011/02/04(金) 21:33:17 平面上に四角形OABCが与えられている。ここでOは原点とする。4点O,A,B,Cから3点を選び、この3点を頂点とする三角形の重心をGとし、残りの1点とGを端点とする線分をm:nに内分する点をPとする。ただしm,nは正数である。 4点O,A,B,Cの中から3点をどのように選んでも、その結果得られる点Pが同じ点になるようなm,nの比を求めて下さい。 ---- 891 ：１３２人目の素数さん [] 2011/02/04(金) 21:40:10 四角形OABCを正方形としと考えていいですか？ 892 ：１３２人目の素数さん [] 2011/02/04(金) 21:44:25 a＞0としてO(0,0),A(a,0),B(a,a),C(0,a)で考えていいですか？ 903 ：１３２人目の素数さん [sage] 2011/02/04(金) 23:36:14 >>901 >>892 この質問なら答えはダメあらゆる四角形OABCについ述べないといけないから、 O(0,0),A(xa,ya),B(xb,yb),C(xc,yc) とか置かないといけないどこまで習っているか、進度によって解答が変わるんだから… 905 ：１３２人目の素数さん [] 2011/02/04(金) 23:38:12 >>903 やはり四角形の形を特定してはいけないんですね。 3Cまで履修しています。 907 ：１３２人目の素数さん [sage] 2011/02/04(金) 23:45:32 >>905 なら、 >>903 のように各点を置いてもよし、ベクトルを使ってもよし各三角形でそれぞれのPを求めて、P同士を比較すればいい 911 ：１３２人目の素数さん [sage] 2011/02/05(土) 00:11:40 >>889 3:1 ---- ---- &aname(941,option=nolink){} *941 ：１３２人目の素数さん [] 2011/01/19(水) 23:05:27 凸四角形ABCDにおいて AC=1 0<∠ACB=∠ACD<π/2 ∠BAD=π/2 このとき三角形BCDの面積Sの最大値を求めよよろしくお願いします。 942 ：１３２人目の素数さん [sage] 2011/01/19(水) 23:09:49 S=1/2bcsinA

確率

2011-03-05T13:35:41+09:00

-&link_anchor(408){コインを６回投げたときの表裏の出方は2^6で６４通りですよね。表が３回でる場合は6C3で２０通りで確率にすると20/64=5/16となりますよね？何故1/2の確率で出る表を1/2出す（６回中３回）確率が1/2にならないのでしょうか？} -&link_anchor(445){Ａさんは20%で当たりが出るくじを3回引き、Ｂさんは10%で当たりが出るくじを9回引きました（くじは引くたびに元に戻します）どちらがより多く当たりますか？} -&link_anchor(698){1、1、1、1、2、2、3、3、4、4 の10枚のカードから同時に3枚取り出す。その最大の数をXとする。 X=4となる確率は？} -&link_anchor(777){独立試行と確率について模擬授業をすることになりました。しかし、独立な試行の確率の公式をどう教えたらいいかわからなくて困っています。} -&link_anchor(153){大学には4つの食堂がありA君とBさんはそれぞれ毎日正午に、前日とは異なる3つの食堂のうち1つを無作為に選んで昼食をとります。最初の日二人は別々の食堂で食事をしました。 n(n≧2)日後に二人が食堂で出会うのがちょうど2回目である確率} -&link_anchor(701){4個のサイコロを同時に投げたとき、出る目の最小値が2である確率を求めなさい } -&link_anchor(809){９枚のカードに１から９までの数字が１つずつ記入してある。このカードの中から任意に１枚抜き出し、その数字を記録し、もとのカード中に戻すという操作をｎ回繰り返す。問、記録された数の積が１０で割り切れる確率を求めよ } -&link_anchor(85){ 赤玉3個、白玉５個入った袋から玉を2個取り出す。 2個の玉の色が違う確率を、次の各場合について求めよ。 } ---- &aname(85,option=nolink){} *85 ：１３２人目の素数さん [sage] 2011/02/06(日) 14:11:00 赤玉3個、白玉５個入った袋から玉を2個取り出す。 2個の玉の色が違う確率を、次の各場合について求めよ。 (1) 最初に１個取り出し、袋に戻してから2個目を取り出す場合。 (2) 最初に1個取り出し、袋に戻さずに2個目を取り出す場合。簡単なんでしょうけど、自分分からなくなってしまいました。どなたか是非解いて下さい。 ---- 96 ：１３２人目の素数さん [] 2011/02/06(日) 14:27:54 >>85 (1)は一回目… 赤玉を取り出す確率は3/8、白玉を取り出す確率は5/8。二回目… 玉を戻すので、一回目と確率は同じ。 (2)は一回目…(1)の一回目と同じ。二回目…玉を一つ取り出した状態なので、全事象は7通りになる。つまり、一回目に …赤玉を取り出すと、白玉がでる確率は5/7、…白玉を取り出すと、赤玉がでる確率は3/7 もうわかるよな？ ---- ---- &aname(153,option=nolink){} *153 ：１３２人目の素数さん [] 2011/01/08(土) 01:41:50 大学には4つの食堂がありA君とBさんはそれぞれ毎日正午に、前日とは異なる3つの食堂のうち1つを無作為に選んで昼食をとります。最初の日二人は別々の食堂で食事をしました。 n(n≧2)日後に二人が食堂で出会うのがちょうど2回目である確率を求めてください。問題の回答が無くて困っています。どのように解けばいいでしょうか？　どなたかお願い致します。 ---- 155 ：１３２人目の素数さん [] 2011/01/08(土) 01:47:16 >>153 (n-1)日目までは別々の食堂で食べる確率にn日目に同じ食堂で食べる確率 ---- ---- &aname(408,option=nolink){} *408 ：１３２人目の素数さん [sage] 2011/01/11(火) 07:16:42 確率の問題なのですが、コインを投げて表と裏どちらが出るかってやつなのですがコインを６回投げたときの表裏の出方は2^6で６４通りですよね。表が３回でる場合は6C3で２０通りで確率にすると20/64=5/16となりますよね？コレが解りません。何故1/2の確率で出る表を1/2出す（６回中３回）確率が1/2にならないのでしょうか？なにか計算間違ってますか？ ---- 410 ：１３２人目の素数さん [sage] 2011/01/11(火) 07:41:15 >>408 表がでる確率が1/2ということは N回なげたときの表が出る数の期待値がN/2であるってことだからだから100回中50回でる場合が最も期待される　だけでその確率は1/2とは関係ない 411 ：１３２人目の素数さん [sage] 2011/01/11(火) 08:20:53 >>408 2n回投げたときn回表が出るのは、「2n-1回まででn-1回表で2n回目に表」か「2n-1回まででn回表で2n回目に裏」の場合。表、裏が出る確率がそれぞれ1/2の場合、「2n-1回まででn-1回表」と「2n-1回まででn回表」の確率は同じだから、結局、「2n回投げたときn回表が出る確率」は「2n-1回まででn-1回表が出る確率」と等しい。 2n-1回投げたとき、「n-1回表」と「n回表」以外があるとき（つまり、nが3以上の時）は、「n-1回表」の確率は1/2未満になる。直感的には、100枚いっぺんに投げたら2回に1回は50対50になるとは思えない。 416 ：１３２人目の素数さん [sage] 2011/01/11(火) 09:34:07 >>408 (その感覚がおかしい事を理解する方法) 100回投げて50回表が出る確率は1/2でしょうか？ (正しい理解を納得させる方法) 表が０回、１回、．．．、６回出る確率をきちんと求め、合計が１になる事を確かめてください。 ---- ---- &aname(445,option=nolink){} *445 ：１３２人目の素数さん [sage] 2011/01/11(火) 19:14:55 確立苦手なんで教えてくださいＡさんは20%で当たりが出るくじを3回引き、Ｂさんは10%で当たりが出るくじを9回引きました（くじは引くたびに元に戻します）どちらがより多く当たりますか？ A→0.2*3=0.6 B→0.1*9=0.9 でＢさんが多く当たる、じゃないよねぇ ---- 449 ：１３２人目の素数さん [sage] 2011/01/11(火) 19:28:32 正しいよ 453 ： 445 [sage] 2011/01/11(火) 19:47:54 正しいのかーあと問題とは直接関係ないけどAとBそれぞれ平均何回当たるかはどうやって求めるの？？ ---- ---- &aname(698,option=nolink){} *698 ：１３２人目の素数さん [sage] 2011/01/14(金) 20:01:13 1、1、1、1、2、2、3、3、4、4 の10枚のカードから同時に3枚取り出す。その最大の数をXとする。例. 2、2、1 → X=2 X=4となる確率は？という問題で 4.4から1枚とり、残りはなんでもいいので 2C1×9C2/10C3 としては間違いなのはなぜですか？ ---- 699 ：１３２人目の素数さん [sage] 2011/01/14(金) 20:10:23 >>698 2枚の4を4Aと4Bとして、お前のやり方だと、 4Aを選んで→4Bと何か1枚を選ぶ 4Bを選んで→4Aと何か1枚を選ぶをダブルでカウントしてるから。 ---- ---- &aname(701,option=nolink){} *701 ：１３２人目の素数さん [] 2011/02/02(水) 21:17:08 4個のサイコロを同時に投げたとき、出る目の最小値が2である確率を求めなさいっていう数IAの問題なんですが、どうやって解けば良いんですかorz ---- 702 ：１３２人目の素数さん [sage] 2011/02/02(水) 21:21:01 >>701 > 出る目の最小値が2 ２の目が少なくとも１個出る。１の目は出ない。 703 ：１３２人目の素数さん [sage] 2011/02/02(水) 21:23:21 >>699 直線ax+y=kがDと共有点を持つか持たないかを考える。共有点を持つようなkの中で値が最も小さいのがm、最も大きいのがM。 >>701 （最小値が2） ⇔（（すべて2以上）かつ（少なくとも1つは2）） ⇔（（すべて2以上）かつ（（すべて3以上）ではない）） ---- ---- &aname(777,option=nolink){} *777 ：１３２人目の素数さん [sage] 2011/01/16(日) 21:30:32 独立試行と確率について模擬授業をすることになりました。しかし、独立な試行の確率の公式をどう教えたらいいかわからなくて困っています。独立な試行の確率の公式は、独立な試行SとTがあるとき、 (求めたい確率)＝(試行Sにおいて事象Aの起こる確率)×(試行Tにおいて事象Bの起こる確率) 試行SとTが独立でなくても、起こる確率の積で求めたい確率は求められる場合があります。そこで独立な試行の確率の公式との違いを明確にしたいのですが、どのように生徒側に説明したらよいのかを教えて下さい。 ---- 778 ：１３２人目の素数さん [sage] 2011/01/16(日) 21:32:27 互いに影響を与えない。教科書についてなかったか。 779 ：１３２人目の素数さん [] 2011/01/16(日) 21:33:02 A∩B=φ 780 ：１３２人目の素数さん [sage] 2011/01/16(日) 21:42:05 >>777 独立試行はどう定義されているの？ 781 ：１３２人目の素数さん [sage] 2011/01/16(日) 21:53:49 >>778 >>779 >>780 みなさんありがとうございます。聞き方が悪かったみたいです、すみません。「独立な試行の確率は、積で求められる。」「独立な試行でないときでも、積で求められる場合がある。」この「積で求められる」を混乱しないように説明したいのですが… 782 ：１３２人目の素数さん [] 2011/01/16(日) 21:54:42 > 「独立な試行でないときでも、積で求められる場合がある。」 783 ：１３２人目の素数さん [sage] 2011/01/16(日) 21:56:08 >>781 各々具体例を挙げてみて 787 ：１３２人目の素数さん [sage] 2011/01/16(日) 21:59:16 もともと自分が考えていた問題を挙げてみます。問題1. 当たりくじ2本とはずれくじ3本の合計5本のくじがある。これからくじを1本引くとき、当たる確率を求めよ。問題2. 当たりくじ2本とはずれくじ3本の合計5本のくじがある。これからくじを1本引き,戻してからさらにもう1本を引くとき、 2回とも当たりくじを引く確率を求めよ。問題3. 当たりくじ2本とはずれくじ3本の合計5本のくじがある。これからくじを1本引き、そのままもう1本を引くとき、 2回とも当たりくじを引く確率を求めよ。 790 ： 777 [sage] 2011/01/16(日) 22:02:15 >>789 すみません、781と787は自分です。失礼しました。 794 ：１３２人目の素数さん [sage] 2011/01/16(日) 22:12:07 >>790 条件付き確率を説明したらどう？ 797 ： 777 [sage] 2011/01/16(日) 22:19:55 レスが遅くてすみません。独立な試行の確率は積で必ず求められる。しかし、独立でなくても求められる場合がある。その例が、 >>787 の問題3.を挙げるといいのでしょうか。 >>794 言われてみれば確かにそうですね。説明を加えてみようと思います。 ---- ---- &aname(809,option=nolink){} *809 ：１３２人目の素数さん [] 2011/02/04(金) 01:22:52 ９枚のカードに１から９までの数字が１つずつ記入してある。このカードの中から任意に１枚抜き出し、その数字を記録し、もとのカード中に戻すという操作をｎ回繰り返す。問、記録された数の積が１０で割り切れる確率を求めよという問題について質問です。解答は余事象の(5が出ない確率)+(偶数が出ない確率)-(５と偶数が出ない確率)を用いて 1-(8/9)^n-(5/9)^n+(4/9)^nとなっていて、参考で誤答例として (５が少なくとも１回出る確率)×(偶数が少なくとも１回出る確率)={1-(8/9)^n}{1-(5/9)^n}…① が載っているのですが、ここで質問があります。この誤答例がいけないところは、(５が少なくとも１回出る確率)と(偶数が少なくとも１回出る確率)が独立かどうか不明なのに、①のように考えてしまっているところだそうです。独立とは事象Ａと事象Ｂが互いに影響しないという感じで理解していて、この試行ではカードは毎回戻すので互いに影響しないと考えたので、①が誤りである理由がしっくりきませんどなたか解説お願いします。 ---- 810 ：１３２人目の素数さん [sage] 2011/02/04(金) 01:26:47 >>809 n=1のときを考えてみて。 811 ：１３２人目の素数さん [] 2011/02/04(金) 01:37:56 >>810 ありがとうございます n=1のとき、確率は0なのに、①では成り立たないのは確認できました ①は２回以上の試行を前提にしているから誤りなんですか？鈍くてすみません 812 ：１３２人目の素数さん [sage] 2011/02/04(金) 01:45:53 >>811 独立じゃないことがわかるだろ？ 813 ：１３２人目の素数さん [] 2011/02/04(金) 01:49:49 その独立っていうのがちゃんと分かっていないので、独立というのを教えていただきたいです 814 ：１３２人目の素数さん [sage] 2011/02/04(金) 01:52:48 >>813 君が書いてたことで合ってるよ。その問題の場合、偶数が少なくとも１回出る確率は5がいくつ出たかということに影響されるから独立じゃない。 815 ：１３２人目の素数さん [] 2011/02/04(金) 01:58:41 >>814 ありがとうございます！ちなみに、５が少なくとも１回出る確率は偶数が何回出たかということに影響されるから独立じゃないとも言えますか？ 816 ：１３２人目の素数さん [sage] 2011/02/04(金) 01:59:28 >>815 そだよ。お互いに影響される。 817 ：１３２人目の素数さん [] 2011/02/04(金) 02:12:09 >>816 ありがとうございます申し訳ないんですが、分かったような分かってないような気がするので一応確認お願いします。 (５が少なくとも１回出る確率)を考える際に偶数が何回出るか考えてないから (偶数が少なくとも１回出る確率)に影響して、 (偶数が少なくとも１回出る確率)を考える際に奇数(５)が何回出るか考えてないから (５が少なくとも１回出る確率)に影響すると考えて大丈夫ですか？

不等式

2011-03-05T13:22:16+09:00

-&link_anchor(221){√7-√5 > √3-√2 を証明せよ。} -&link_anchor(346){a≧0，b≧0のとき(a+b)/2≧√ab を証明せよこの問題で，(左辺)-(右辺)≧0を示した後等号成立の場合を示さないと間違いになると教わったのですがなぜ間違いになるのでしょうか？} -&link_anchor(65){ a≦bを証明しろという問題ではa0 y<0 のとき xy-y・・・Aのとる符号とそのときのxを考える。 Aが正のとき xの変域はアであり、} -&link_anchor(581){xyz≦2とする。xy≧16のとき、zのとりうる範囲を求めよ。 } -&link_anchor(777){k＜aでaの最小値が1ならk＜1なんですか？ } -&link_anchor(856){ xが＜０のとき x＋1/x≦－2が成り立つことを証明しなさい } -&link_anchor(932){0以上の実数x、y、zに対して (x+y+z)*(xy+yz+zx)≧axyzが常に成り立つような定数aの最大値を求めなさい } -&link_anchor(954){正の数a.bに対して√a+√b≦k√(a+b)が常に成り立つようなkの最小値を求めよ } ---- &aname(65,option=nolink){} *65 ：１３２人目の素数さん [] 2011/02/06(日) 13:22:21 a≦bを証明しろという問題ではa>65 数学的にはオッケーだけど、高校レベルの問題で出てくるときはほぼ確実に等号成立条件まで考えたほうがいいね。等号が成立しないなら間違ってる可能性が高い。先生によって減点があるかもしれない。 70 ：１３２人目の素数さん [] 2011/02/06(日) 13:35:22 ≧は＞または=だから等号成立条件を考えていないと、＞しか示していないことになる 79 ：スガ ◆.ffFfff1uU [sage] 2011/02/06(日) 13:52:09 >>76 ないね。オッケーだと思うよ。あと何人か勘違いしてるけど、数学上は等号が成立しなくても≧は使っていいんだよ。学校ではたまに違うことがあるだけで。 80 ：１３２人目の素数さん [sage] 2011/02/06(日) 13:53:04 1≦2は等号成立しないが明らか 81 ：１３２人目の素数さん [sage] 2011/02/06(日) 13:55:15 >>70 ばかか？ 5≧4はあっているし 5>4も正しい ---- ---- &aname(221,option=nolink){} *221 ：１３２人目の素数さん [sage] 2011/01/27(木) 00:41:54 √7-√5 > √3-√2 を証明せよ。 √2=1.414 などの数値計算をしてはならない。 ---- 230 ：１３２人目の素数さん [sage] 2011/01/27(木) 01:56:01 >>221 曲のない話だが、どんどん2乗を繰り返し、自明な不等式に帰着させる。 √7-√5 > √3-√2 ⇔ √7+√2＞√5+√3　⇔ 9+2√14＞8+2√15　⇔ 1＞2(√15-√14)　⇔ 1＞4(29-2√(15*14))　⇔ 8√(15*14)＞115　⇔ 64*15*14＞115^2　⇔ 2688＞2645 よって明らか 231 ：１３２人目の素数さん [sage] 2011/01/27(木) 02:02:11 >>221 √7-√5= 2/(√7+√5) √3-√2= 1/(√3+√2) つまり 2(√3+√2) > (√7+√5) を証明すること = (√12+√8) ---- ---- &aname(344,option=nolink){} *344 ：え(⌒▽⌒)？ [sage] 2011/01/29(土) 21:55:46 x>0 y<0 のとき xy-y・・・Aのとる符号とそのときのxを考える。 Aが正のとき xの変域はアであり、 Aが0のとき xはイであり、 Aが負のとき xの変域はウである。どのようにして、やっていけばいいのでしょうか？ ---- 368 ：１３２人目の素数さん [sage] 2011/01/30(日) 10:54:49 >>365 二つの実数をかけたとき符号はどうなるか、を考えるだけ。 369 ：え(⌒▽⌒)？ [sage] 2011/01/30(日) 11:01:57 y(x-1)・・・A y(x-1)>0のとき、 y<0より、(x-1)<0 → x<1 y(x-1)=0のとき、 y<0より、x-1=0 →x=1 y(x-1)<0のとき、 y<0より、(x-1)>0 →x>1 おーけー？ ---- ---- &aname(346,option=nolink){} *346 ：１３２人目の素数さん [] 2011/01/29(土) 22:06:21 不等式の証明について質問です a≧0，b≧0のとき (a+b)/2≧√ab を証明せよこの問題で，(左辺)-(右辺)≧0を示した後等号成立の場合を示さないと間違いになると教わったのですがなぜ間違いになるのでしょうか？ 347 ：１３２人目の素数さん [sage] 2011/01/29(土) 22:10:55 不完全なだけで間違いじゃない気がするけどなあ。 348 ：１３２人目の素数さん [sage] 2011/01/29(土) 22:28:25 >>346 等号成立の場合を示さなくても間違いじゃねえよ。ただし、問題文に「等号が成立するのはどんな場合か」を要求する記述があれば、それを書かなくては駄目だがな。 350 ：１３２人目の素数さん [sage] 2011/01/29(土) 22:56:10 >>347 不完全じゃないだろ不等式の成立を示すことが要求されているだけで等号が成立するかか否かは関係ない 352 ：１３２人目の素数さん [sage] 2011/01/29(土) 22:58:41 高校数学ローカルルールにおいては「不等式を示せ」という問題は「不等式を示し、等号成立条件を求めよ」という意味である、ということ。変なローカルルールだけど、一般にまかり通ってるし、従っといて損はないというだけ。 354 ：１３２人目の素数さん [] 2011/01/29(土) 23:06:48 >>352 そんなのは、お前の脳内だけの、きわめて局所的なローカルルールだまかり通ってなどないわ 355 ：１３２人目の素数さん [sage] 2011/01/29(土) 23:06:55 >>352 それは間違い。過去に京大の入試問題で、等号が成立しないのに等号付きの不等式の証明が出題された事がある。 356 ：１３２人目の素数さん [sage] 2011/01/29(土) 23:10:03 p≧q⇔p>qまたはp=q これを知らない高校生は多いだろう 364 ：１３２人目の素数さん [sage] 2011/01/30(日) 00:32:38 >>352 のような勘違いする奴がいるのは証明した不等式を用いて最大(小)値を求める問題が多いからだろうなそういう場合は当然だが等号成立条件の確認がいるんだけどそれをどんな場合でも不等式の等号成立を確認しなければいけないと思い込んでしまうんだろう困ったことにそういう勘違いをした数学教師も少なからずいるから勘違いした奴が増えてしまう ---- ---- &aname(581,option=nolink){} *581 ：１３２人目の素数さん [] 2011/02/01(火) 20:54:17 xyz≦2とする。 xy≧16のとき、zのとりうる範囲を求めよ。 ---- 586 ：１３２人目の素数さん [sage] 2011/02/01(火) 21:45:05 適当に解いたから検算程度に z<0のとき、xyz≦2を満たす z≧0のとき、xy≧16より、xyz≧16z また、xy≧16より 1/xy≦1/16なので 16z≦xyz≦2 z≦2/xy 　≦1/8 ∴z≦1/8 ---- ---- &aname(777,option=nolink){} *777 ：１３２人目の素数さん [] 2011/02/03(木) 21:55:05 k＜aでaの最小値が1ならk＜1なんですか？ ---- 778 ：スガマサト ◆.ffFfff1uU [sage] 2011/02/03(木) 21:57:38 >>777 その問題の背景を全然知らずに答えるけど、 aの最小値が１だとしてもaが1より大きな値をとりうるのだから、 kも1より大きな値をとりうるよ。しかし、他にも条件がつけばk<1となる可能性もある。 ---- ---- &aname(856,option=nolink){} *856 ：１３２人目の素数さん [sage] 2011/02/04(金) 17:18:54 xが＜０のとき x＋1/x≦－2が成り立つことを証明しなさいこの問題はx＝－a(a＞０)とおいて代入し式変形そして相加･相乗平均の不等式から証明したらいいですか？ ---- 857 ：１３２人目の素数さん [sage] 2011/02/04(金) 17:23:32 両辺にxかけて実数の平方が常に0以上であることを行ってもいい 858 ：１３２人目の素数さん [sage] 2011/02/04(金) 17:27:39 >>856 相加相乗が使えるときの条件を100回読み直せ 866 ：１３２人目の素数さん [sage] 2011/02/04(金) 18:39:31 >>858 ,865 (-x)と(-1/x)で相加相乗してこい ---- ---- &aname(932,option=nolink){} *932 ：１３２人目の素数さん [sage] 2011/02/05(土) 12:39:51 0以上の実数x、y、zに対して (x+y+z)*(xy+yz+zx)≧axyz が常に成り立つような定数aの最大値を求めなさい全く分かりませんヒントお願いします ---- 933 ：スガマサト ◆.ffFfff1uU [sage] 2011/02/05(土) 12:49:15 >>932 x,y,zは0以上なので相加平均と相乗平均の関係が使えるよ。 x+y+x ≧ 3 (xyz)^(1/3) xy+yz+zx ≧ 3 (xyz)^(2/3) 両辺それぞれ掛け合わせればオッケー 938 ：１３２人目の素数さん [sage] 2011/02/05(土) 13:25:16 >>933 おい、いい加減なこと書かずにちゃんと書けよ >>932 が今後類題出たとき間違えるだろ ---- ---- &aname(954,option=nolink){} *954 ：１３２人目の素数さん [sage] 2011/02/05(土) 17:12:29 文型プラチカ38番の2 正の数a.bに対して√a+√b≦k√(a+b)が常に成り立つようなkの最小値を求めよという問題で、二乗して二次関数を使うような模範解答載っています。二乗したあと、(k^2-1)(a+b)≧2√(ab)　をa+b≧2√(a+b)と比べて k^2-1≧1　から導く解法を考えてみたんですが、ダメな部分はありますか？ ---- 963 ： 954 [sage] 2011/02/05(土) 17:47:41 僕は方針がこれでいいか聞きたかっただけですここには回答を全部書かなければいけないというルールがあるんですか？あったのなら僕の不手際なので謝ります >>958 は僕じゃないです 964 ：１３２人目の素数さん [sage] 2011/02/05(土) 17:50:20 >>954 >>二乗したあと、(k^2-1)(a+b)≧2√(ab)　をa+b≧2√(a+b)と比べてこれは、 >>二乗したあと、(k^2-1)(a+b)≧2√(ab)　をa+b≧2√(ab)と比べての間違いじゃないの？ 965 ：１３２人目の素数さん [sage] 2011/02/05(土) 17:53:51 ちょっと、引用がおかしくなったので、書き直し >>954 >>二乗したあと、(k^2-1)(a+b)≧2√(ab)　をa+b≧2√(a+b)と比べてこれは、「二乗したあと、(k^2-1)(a+b)≧2√(ab)　をa+b≧2√(ab)と比べて」と書くつもりだったんじゃないの？ 966 ：１３２人目の素数さん [sage] 2011/02/05(土) 17:55:40 >>965 すいません、右は相加相乗平均で出したものなのでそのとおりです。 967 ：１３２人目の素数さん [sage] 2011/02/05(土) 18:13:05 結果的には正しい事をしているかもしれない。しかし、解答者自身、自らがやろうとしているのは、「最大値を求めようとして式変形をしている」のか、「絶対不等式の式変形／式の比較を行っている」のか「不等式を解こうという立場での式変形」なのか明確に理解し、突っ込みを入れられても、きちんと応えられるのならｏｋだが、何となく「これっていい近道じゃない？」みたいな感じでそのルートを取ったのだとすると、やはり正道を取る事を俺は勧める。

自然対数

2011-03-05T13:21:07+09:00

-&link_anchor(600){いまいち分からないのですが、自然対数は何が目的で出てきた概念なのですか？ } -&link_anchor(757){lim[x→0]{(1+x+x^2)^(1/x)}　　これが　＝e　になるというのはマジですか？ } -&link_anchor(72){厚さ1mmの新聞紙を何回二つ折りしたら100kmを越えますか？ } ---- &aname(72,option=nolink){} *72 ：１３２人目の素数さん [] 2011/02/06(日) 13:38:58 厚さ1mmの新聞紙を何回二つ折りしたら100kmを越えますか？ 2^n＞10^8を満たす最小の自然数nを求めたいのですが ---- 77 ：１３２人目の素数さん [sage] 2011/02/06(日) 13:48:12 >>72 nlog[10](2)＞8 n＞8/0.3010=26.5・・・ ∴n=27 ---- ---- &aname(600,option=nolink){} *600 ：１３２人目の素数さん [sage] 2011/01/14(金) 15:09:33 いまいち分からないのですが、自然対数は何が目的で出てきた概念なのですか？ πや√と違って、何のために使っているのかが分かりにくいので質問です ---- 601 ：１３２人目の素数さん [sage] 2011/01/14(金) 15:19:30 微分方程式初等関数とオイラーの公式 602 ：１３２人目の素数さん [sage] 2011/01/14(金) 15:20:12 >>600 実数はほとんどが無理数 605 ： 600 [sage] 2011/01/14(金) 15:39:18 >>602 それが何が関係あるのですか？ 606 ：１３２人目の素数さん [sage] 2011/01/14(金) 15:54:00 >>600 自然対数は指数関数を微分するために定義されるもの 607 ：１３２人目の素数さん [sage] 2011/01/14(金) 15:58:21 >>606 は？ 610 ：１３２人目の素数さん [sage] 2011/01/14(金) 16:07:17 >>607 微分の定義も知らないのか・・・ 614 ：１３２人目の素数さん [sage] 2011/01/14(金) 16:19:24 自然対数はオイラーの公式などの公式によく出てくるが基本にもどれば指数関数を微分の定義に則って計算したときに出てくる不定形の極限値をe を用いて表しただけだからな 618 ：１３２人目の素数さん [sage] 2011/01/14(金) 16:28:41 指数関数を微分したときに現れる不定形の極限を１としたときの底をeとする 622 ：１３２人目の素数さん [sage] 2011/01/14(金) 16:30:58 > 底をeとするなんだ？ 626 ：１３２人目の素数さん [sage] 2011/01/14(金) 16:32:57 >>618 とーとろじー 628 ：１３２人目の素数さん [sage] 2011/01/14(金) 16:33:40 >>622 指数関数の底って言うだろ 629 ：１３２人目の素数さん [sage] 2011/01/14(金) 16:35:13 y=a^x aを底と呼ぶ 630 ：１３２人目の素数さん [sage] 2011/01/14(金) 16:36:20 >>618 その極限の存在をどうやって担保する？ 631 ：１３２人目の素数さん [sage] 2011/01/14(金) 16:36:29 >>628 もう一度よく読み返せ 639 ：１３２人目の素数さん [sage] 2011/01/14(金) 16:44:31 >>630 あ？そこまで書かなきゃいけねえのかよ da^x/dx =　lim_Δx→0 ( a^(x+Δx)-a^x)/Δx 　　　　　=　a^x lim_Δx→0 ( a^Δx-1 )/Δx lim_Δx→0 ( a^Δx-1 )/Δx=1 となる特別な数を底に選びeと書く 642 ：１３２人目の素数さん [sage] 2011/01/14(金) 16:46:34 >>639 だから　lim_Δx→0 ( a^Δx-1 )/Δx　の存在はどうするんじゃ？ 649 ：１３２人目の素数さん [] 2011/01/14(金) 16:49:57 >>639 　って予め微分可能性を仮定してるよね 660 ：１３２人目の素数さん [sage] 2011/01/14(金) 16:57:50 df/dx=f ,f(0)=1 を満たす関数考えて f(1)=eと定義する 1+1+1/2+1/6+1/24+…が収束するのでそれをeとする 663 ：１３２人目の素数さん [sage] 2011/01/14(金) 17:00:35 数ＩＩＩの教科書見ろよ。極限によるネイピアの数の定義　→　指数関数、対数関数の微分だろ。 664 ：１３２人目の素数さん [sage] 2011/01/14(金) 17:01:36 >>660 解の存在と一意性はどうします？ 665 ：１３２人目の素数さん [sage] 2011/01/14(金) 17:02:50 >>663 高校ではネイピア数の定義なんかしていませんネイピア数の性質を語っているだけです指数関数ですら連続関数であることを示していませんから 666 ：１３２人目の素数さん [sage] 2011/01/14(金) 17:04:13 >>664 縮小写像の原理から不動点の存在が言えればいいですか？ 667 ：１３２人目の素数さん [sage] 2011/01/14(金) 17:05:55 ネイピア数の定義はしてるよ。それをいったらおしまいだよ。２次関数ですら連続の証明はしていない。っていうか、連続の定義は誤魔化している。 668 ：１３２人目の素数さん [sage] 2011/01/14(金) 17:11:23 不定形なら定数になる場合と発散する場合があってその不定形が定数になるaが存在するかはわからない 669 ：１３２人目の素数さん [sage] 2011/01/14(金) 17:12:20 2次関数は微分の公式導いているから良いでしょう 670 ：１３２人目の素数さん [sage] 2011/01/14(金) 17:13:36 >>668 eに関して言えば簡易に2>675 ごめん何言ってるか分からないわ 678 ：１３２人目の素数さん [sage] 2011/01/14(金) 17:33:54 >>655 間違ってたら悪いんだけど x=0で微分すればいいんじゃない？ 680 ： 678 [sage] 2011/01/14(金) 17:34:45 ミス >>655 　× >>675 　○ 682 ：１３２人目の素数さん [sage] 2011/01/14(金) 17:37:55 >>675 2^xと3^xのグラフを書いてx=0で微分すれば 2>682 それじゃ無理だからやれると思うならやってみ ---- ---- &aname(757,option=nolink){} *757 ：１３２人目の素数さん [sage] 2011/01/16(日) 03:15:02 　lim[x→0]{(1+x+x^2)^(1/x)}　　これが　＝e　になるというのはマジですか？ ---- 758 ：１３２人目の素数さん [sage] 2011/01/16(日) 03:19:44 >>757 本当みたい mathematicaで実行して結果だけ確かめてみただけだけど

数列

2011-03-05T13:10:54+09:00

-&link_anchor(332){三つの数6、a、bはこの順に等差数列をなし、a,b,16はこの順に頭皮数列をなす。このときa、bを求めよ。} -&link_anchor(800){２つの数列をかけてできる数列の和の問題です a_(n)=6*2^(n-1) b_(n)=n/3で、Σ[k=1,n]a_(k)b_(k)を求めたいのですが} -&link_anchor(906){Σ計算で、例えば Σｋの式だとn(n+1)/2に変換しますが、何故 Σ(１/ｋ)-(１/ｋ+１)のような分数式はｋをｎに直さないで直接ｋに値を代入して(１/１-１/２…)と計算するのでしょうか } -&link_anchor(928){ ①a(1)=8, a(n+1)={3a(n)+4}/{a(n)+3} の一般項の導き方 } -&link_anchor(13){少しひねった階差型数列①に対して公式 a[n]=a[1]+Σ[k=1,n-1]b[k](n≧2)…☆ をアレンジして使うことは、十分に理解している人以外にはお勧めできません } -&link_anchor(58){異なる正の実数a,b,cが1/b - b = (1+ba)/(b-a) - (1+cb)/(c-b)を満たすとき、a, b, c はこの順に等比数列を成す。} ---- &aname(13,option=nolink){} *13 ：１３２人目の素数さん [] 2011/02/05(土) 23:30:18 みなさん、ありがとうございますおかげさまで、解決しましたそれと、もう1つお聞きしたいのですが、 a[1]=-1/2 a[2n+1]=a[2n-1]+(n^2+n-1)/2…① よって、n≧1のとき a[2n+1] =-1/2+Σ[k=1,n] (k^2+k-1)/2 =…… =1/6(n-1)(n+1)(n+3) これはn=0でも成り立つ。本問のように少しひねった階差型数列①に対して公式 a[n]=a[1]+Σ[k=1,n-1]b[k](n≧2)…☆ をアレンジして使うことは、十分に理解している人以外にはお勧めできません。 (何度ミスを見たことか……)。ひねられたら、原理に戻って考えることが大切です。と、書かれているのですが、ここでの、アレンジ→失敗というのは、 ☆より、nを2n+1に置き換えて、 a[2n+1]=-1/2+Σ[k=1,2n+1] (k^2+k-1)/2 としてしまって、本来足すべきではないものまで含んでしまう、ということですかね？これくらいしか失敗例が思い浮かばないのですが、何かあれば教えてください。 ---- 14 ：１３２人目の素数さん [sage] 2011/02/05(土) 23:39:25 >>13 それでいいと思う。一般に数列はやり方が決まっているもの（微分しないといけないものとか）以外、原則一から考えた方がいいと思う。完璧にその公式がわかってるならいいけど、不完全な暗記なら使ってはダメ←これ鉄則 15 ： 13 [] 2011/02/05(土) 23:41:51 ☆より、nを2n+1に置き換えて、 a[2n+1]=-1/2+Σ[k=1,2n] (k^2+k-1)/2 に訂正です。 ---- ---- &aname(58,option=nolink){} *58 ：１３２人目の素数さん [sage] 2011/02/06(日) 12:26:00 前スレ837の者ですが、スルーされてしまったので・・・　異なる正の実数a,b,cが　　1/b - b = (1+ba)/(b-a) - (1+cb)/(c-b) 　を満たすとき、a, b, c はこの順に等比数列を成す。数学板の実力派の方なら、鮮やかな証明を知っているのでは、と思ったのですが・・・再度、エレガントな証明があれば、ご教授願います。 ---- 59 ：スガ ◆.ffFfff1uU [sage] 2011/02/06(日) 12:34:23 >>58 左辺-右辺 = 0を計算すると ((1 + b^2) (b^2 - a c))/((a - b) b (b - c)) = 0 a,b,cが異なる正の実数であることから b^2 - a c = 0 証明終わり。 60 ： 58 [sage] 2011/02/06(日) 12:45:59 > 左辺-右辺 = 0を計算すると > ((1 + b^2) (b^2 - a c))/((a - b) b (b - c)) = 0 これって、アッサリ一気に導けるのですか？私はこれを面白みのない単純計算でやったので、計算の際に何かうまい手があるのでしょうか。 61 ：１３２人目の素数さん [sage] 2011/02/06(日) 12:51:04 あと前スレでも書きましたが、通分して計算するのはできたので、別の、うまい証明をお聞きしたかったのです。式の形から、a,b,c をそれぞれtanA,tanB,tanCとおくと、この式は　2/tan(2B) = 1/tan(B-A) - 1/tan(C-B) と書けることが分かったのですが、このときtanA,tanB,tanCが頭皮列になることって、見る人が見れば明らかだったりしますか・・・？ 62 ：スガ ◆.ffFfff1uU [sage] 2011/02/06(日) 12:51:26 めんどくさい計算ではあるけど、これが一番優しいんじゃないかと思う。 b/a = s c/b = t とでもおいて s = t　を導く方法も考えたけど、余計にややこしい。 ---- ---- &aname(332,option=nolink){} *332 ：１３２人目の素数さん [sage] 2011/01/10(月) 02:17:58 三つの数6、a、bはこの順に等差数列をなし、a,b,16はこの順に頭皮数列をなす。このときa、bを求めよ。 ---- 337 ：１３２人目の素数さん [sage] 2011/01/10(月) 02:51:51 >>332 6,a,bがこの順に等差数列をなす⇒2a=6+b（等差中項）…☆ a,b,16がこの順に等比数列をなす⇒b^2=16a(等比中項）…◎ ☆を◎に代入して、 b^2=8*(6+b) ⇔b^2-8b-48=0 ⇔(b+4)(b-12)=0 ⇔b=-4,12 b=-4のとき、a=1 b=12のとき、a=9 ∴(a,b)=(1,-4),(9,12) ---- ---- &aname(457,option=nolink){} *457 ：１３２人目の素数さん [] 2011/01/31(月) 12:49:08 a[1]=0,{(n-1)^2}a[n]=S[n]を満たす数列{a[n]}を求めよ。 m(__)m ---- 458 ：１３２人目の素数さん [] 2011/01/31(月) 13:11:32 式のnをn-1にして式を立てもとの式と辺々ひく 459 ：１３２人目の素数さん [] 2011/01/31(月) 13:12:51 訂正 nをn+1にして 460 ：１３２人目の素数さん [] 2011/01/31(月) 13:50:10 (n^2-1)a[n+1]={(n-1)^2}a[n]になりました 462 ：１３２人目の素数さん [sage] 2011/01/31(月) 14:55:15 (n+1)na[n+1]=n(n-1)a[n] {n(n-1)a[n]} は定数列 463 ：１３２人目の素数さん [] 2011/01/31(月) 15:17:17 定数列ってどんなですか？ 478 ：１３２人目の素数さん [sage] 2011/01/31(月) 17:57:24 >>473 値が一定の数列 480 ：１３２人目の素数さん [sage] 2011/01/31(月) 18:01:11 a[n+1]=((n-1)/(n+1))a[n] n≧3 a[n]=((n-2)/n)a[n-1] =((n-2)/n)*((n-3)/(n-1))a[n-2] =((n-2)/n)*((n-3)/(n-1))*((n-4)/(n-2))a[n-2] =・・・ =((n-2)/n)*((n-3)/(n-1))*((n-4)/(n-2))*・・・*(3/5)*(2/4)*(1/3)a[2] 504 ：１３２人目の素数さん [] 2011/01/31(月) 21:53:36 てことは、a[1]=0でn(n-1)a[n]は定数列てことはa[n]=0ですか？確かに0,0,0,・・・の数列は、{(n-1)^2}a[n]=S[n]を満たすんですけどどうやって説明すればいいんですか？ 506 ：１３２人目の素数さん [] 2011/01/31(月) 21:55:56 だいたい定数列とか教科書に載ってないんですけど 507 ：１３２人目の素数さん [sage] 2011/01/31(月) 22:16:40 >>504 (n^2-1)a[n+1]=(n-1)^2 a[n] を (n+1)na[n+1]=n(n-1)a[n] にする過程で(n-1)で割っているから、(n-1)≠0の条件が付く 508 ：１３２人目の素数さん [sage] 2011/01/31(月) 22:31:15 (n+1)na[n+1]=n(n-1)a[n] n≧3 n(n-1)a[n]=(n-1)(n-2)a[n-1] =(n-2)(n-3)a[n-2] =・・・ =2*1*a[2] =2(∵a[2]=1) ∴ a[n]=0 (n=1) a[n]=2/n(n-1) (n≧2) 509 ：１３２人目の素数さん [sage] 2011/01/31(月) 22:34:40 >>508 a[2]=1って誰が言った？ 510 ：１３２人目の素数さん [sage] 2011/01/31(月) 22:40:09 >>508 > =2(∵a[2]=1) a[2]に指定は無いよ 511 ：１３２人目の素数さん [sage] 2011/01/31(月) 23:49:47 >>506 どの項も同じ数(定数)である数列、 1,1,1,・・・　 ---- ---- &aname(800,option=nolink){} *800 ：１３２人目の素数さん [] 2011/01/16(日) 23:13:14 ２つの数列をかけてできる数列の和の問題です a_(n)=6*2^(n-1) b_(n)=n/3 で、 Σ[k=1,n]a_(k)b_(k) を求めたいのですが項を書き出して弄ったり、青チャートや教科書を参照したりしてもヒントに繋がるものを見つけることはできませんでした解法のヒントだけでもいいのでどなたか御教授くださいお願いします ---- 801 ：１３２人目の素数さん [] 2011/01/16(日) 23:27:59 青チャートに載ってないわけがない等差数列と等比数列の積の和は頻出 802 ：１３２人目の素数さん [sage] 2011/01/16(日) 23:36:23 >>800 d(r + r^2 + r^3 + r^4 + r^5 + r^6 + r^7 + … + r^n)/dr = 1 + 2*r + 3*r^2 + 4*r^3 + 5*r^4 + 6*r^5 + 7*r^6 + … + n*r^(n-1) ---- ---- &aname(906,option=nolink){} *906 ：１３２人目の素数さん [sage] 2011/02/04(金) 23:42:02 Σ計算で、例えば n Σｋの式だとn(n+1)/2に変換しますが、何故 k=1 n Σ(１/ｋ)-(１/ｋ+１) k=1 のような分数式はｋをｎに直さないで直接ｋに値を代入して(１/１-１/２…)と計算するのでしょうかｋが分母にあるといけないのでしょうか？どうしてｋの扱いが違うのですか？ ---- 913 ：１３２人目の素数さん [sage] 2011/02/05(土) 00:19:52 >>906 n Σｋ= n(n+1)/2 k=1 は公式です。1/kの場合には使えません。 915 ：１３２人目の素数さん [sage] 2011/02/05(土) 00:36:53 >>906 もともとΣ[k=1,n](a(k))の意味が Σ[k=1,n](a(k))=a(1)+a(2)+…+a(n) だから Σ[k=1,n](1/k-1/(k+1))=(1-1/2)+(1/2-1/3)+…+(1/n-1/(n+1)) のように計算するほうが基本的な方法むしろΣ[k=1,n](k)=1/2*n(n+1) は直感的には分からず前もって、 Σ[k=1,n]((k+1)^2-k^2)=Σ[k=1,n](2k+1) の計算、比較をして求めているから使える公式もちろん左辺は (n+1)^2-1、右辺は 2Σ[k=1,n](k)+n になるついでに Σ[k=1,n](1/ｋ) を簡単に計算する方法はないかな ---- ---- &aname(928,option=nolink){} *928 ：１３２人目の素数さん [sage] 2011/02/05(土) 08:22:33 数列なんですが2つ教えてください。 ①a(1)=8, a(n+1)={3a(n)+4}/{a(n)+3} の一般項の導き方 ②|r|<1 のとき lim_[n→∞]n*r^n=0 の証明よろしくお願いします。 ---- 931 ：１３２人目の素数さん [sage] 2011/02/05(土) 10:28:00 >>928 b[n]=(a[n]+2)/(-a[n]+2) で　数列　b[n]　を定義すると、　b[n+1]=5*b[n]　が得られる。

極限

2011-03-05T13:05:06+09:00

-&link_anchor(570){（１）lim㏒ｎ/㏒（ｎ＋１）} -&link_anchor(184){ lim_[n→∞][{a^(n+2)}/(n+1)(n+2)]} -&link_anchor(341){a) lim[x→0](sinx/x°) {x°は度数法}} -&link_anchor(829){ 次の無限級数の収束、発散を調べよまた、収束するものについては和を求めよ。 1/2-1/3+1/3-1/4+1/4・・・・ } -&link_anchor(46){初項 a[1] = √2 で, 漸化式が a[n+1] = (√2)^{a[n]}という数列に対して, lim[n→∞] a[n] の値を求めよ } ---- &aname(46,option=nolink){} *46 ：１３２人目の素数さん [sage] 2011/02/06(日) 02:49:24 初項 a[1] = √2 で, 漸化式が a[n+1] = (√2)^{a[n]} という数列に対して, lim[n→∞] a[n] の値を求めよ答えは2になるらしいのですが、手がかりすらつかめませんお願いします。 ---- 47 ：１３２人目の素数さん [sage] 2011/02/06(日) 04:21:32 >>46 「上に有界で単調増加する数列は収束する」を使えばいい。・任意の自然数nに対して a[n]＜2 を示す。(とくに上に有界) n=1のとき、a[1]=√2＜2 n=k(k:自然数)のとき、a[k]＜2 と仮定すると、 a[k+1]=(√2)^(a[k])＜(√2)^2＜2 よって数学的帰納法より任意の自然数nに対して a[n]＜2 ・与えられた数列が単調増加することを示す。次の補題から直接従う(補題の証明は略。微分の問題の練習になる) [補題] 任意の実数0＜x＜2に対して、 (√2)^x ＞ x　が成立する。以上より、与えられた数列の収束性が示された。収束値をαとすれば、0＜α≦2 であり、 α=(√2)^α の成立がいえる。再び補題を用いれば α=2 であることがいえる。 ---- ---- &aname(184,option=nolink){} *184 ：１３２人目の素数さん [] 2011/01/08(土) 15:43:14 面積を求める問題で、[ ]の中の式にまではいきついたのですが、これからどうするのでしょうか。分子分母をn^2で割った後、進めません。お願いします。 lim_[n→∞][{a^(n+2)}/(n+1)(n+2)] ---- 185 ：１３２人目の素数さん [] 2011/01/08(土) 15:46:55 >>184 ∞ 186 ：１３２人目の素数さん [] 2011/01/08(土) 15:47:36 or 0 187 ：１３２人目の素数さん [] 2011/01/08(土) 15:48:18 or 発散 188 ：１３２人目の素数さん [sage] 2011/01/08(土) 15:59:31 or 二項定理 191 ：１３２人目の素数さん [] 2011/01/08(土) 16:12:39 >>185-188 自分でも発散だと思うのですが、[　]が間違ってるかもしれません。 [ ]は∫(0→a)x(a-x)^n dx です。もし、よろしければ教えて下さい。 192 ：１３２人目の素数さん [] 2011/01/08(土) 16:14:45 部分積分 197 ：１３２人目の素数さん [] 2011/01/08(土) 16:28:30 >>192 部分積分したら[{a^(n+2)}/(n+1)(n+2)] になりませんか？ 198 ：１３２人目の素数さん [] 2011/01/08(土) 16:35:02 (n+2)がいらん 209 ：１３２人目の素数さん [] 2011/01/08(土) 16:59:58 >>198 頭悪いだろ 210 ：１３２人目の素数さん [] 2011/01/08(土) 17:00:20 >>198 大丈夫か？ 211 ：１３２人目の素数さん [sage] 2011/01/08(土) 17:00:47 >>209 おまえがな 212 ：１３２人目の素数さん [] 2011/01/08(土) 17:06:41 >>198 なぜ？ 213 ：１３２人目の素数さん [sage] 2011/01/08(土) 17:09:39 >>197 合ってるよ 214 ：１３２人目の素数さん [] 2011/01/08(土) 17:12:30 >>213 ですよね？ただ、これからどうするのでしょうか。 lim_[n→∞][{a^(n+2)}/(n+1)(n+2)] 215 ：１３２人目の素数さん [sage] 2011/01/08(土) 17:13:13 >>214 aの値で場合分け 218 ：１３２人目の素数さん [] 2011/01/08(土) 17:17:12 >>214 はい。 a≧1がうかびません 220 ：１３２人目の素数さん [sage] 2011/01/08(土) 17:26:48 >>218 a>1のとき∞ a=1のとき0 ---- ---- &aname(341,option=nolink){} *341 ：１３２人目の素数さん [] 2011/01/10(月) 03:28:06 極限の問題です。ロピタルは制限して求めよ。 a) lim[x→0](sinx/x°) {x°は度数法} b) lim[n→∞](nsinπ/n) c) lim[x→π](sinnx/sinx) 以上の三問がわからなくて困っております。回答は結果だけではなく過程も必要ですので一問だけでも結構ですので、もしわかる方がいらしたら最後までは大変かと思いますがよろしくおねがいします。 ---- 342 ：１３２人目の素数さん [sage] 2011/01/10(月) 03:29:58 (sinx)/x→1 x→0 を使え 344 ： 341 [] 2011/01/10(月) 03:37:45 >>342 a問題のことでしょうか？ lim[x→∞](sinx/x)=0というのは -1≦sinx≦1ということからも理解できるのですがそこに至るまでのx°の説明がうまくできません。わかるようであれば、過程を含め詳しい解答をしていただければ助かります。 346 ： 341 [] 2011/01/10(月) 03:44:28 >>342 すみません。 >>344 ではaとbがごっちゃになっていました lim[x→0](sinx/x)＝1のことですね。これも、(xcosx/x)<(sinx/x)<(x/x)のはさみ撃ちから導けます問題はやはり、そこまでの過程ですかね 347 ：１３２人目の素数さん [sage] 2011/01/10(月) 04:14:47 一応確認するけど、問題文は b)lim[n→∞](nsin(π/n)) c)lim[x→π](sin(nx)/sinx)、nは整数だよね？ 349 ： 341 [] 2011/01/10(月) 05:14:42 >>347 そのとおりです。あとxは実数です ---- ---- &aname(570,option=nolink){} *570 ：１３２人目の素数さん [] 2011/02/01(火) 20:05:33 質問してもいいですか？＞＜（１）lim㏒ｎ/㏒（ｎ＋１）　　　ｎ→∞ （２）limｎ（㏒ｎ）２乗｛sin（１/㏒ｎ）－sin（１/㏒（ｎ＋１））｝　　　ｎ→∞ お願いします＞＜ ---- 579 ：１３２人目の素数さん [sage] 2011/02/01(火) 20:47:09 >>570 (1) log(n)/log(n+1)-1=log(n/(n+1))/log(n+1)→0(n→∞) つまり (2)　f(x)=sin(1/logx)とおくとf'(x)=-cos(1/logx)/{x(logx)^2} 中間値の定理より sin(1/log(n))-sin(1/log(n+1))=cos(1/log(n+θ)/{(n+θ)(log(n+θ))^2} (0<θ<1) なるθが存在する (1)と同様に (log(n))^2/(log(n+θ))^2=1 つまり 580 ：１３２人目の素数さん [sage] 2011/02/01(火) 20:53:22 >>579 ×中間値の定理 ○平均値の定理 ---- ---- &aname(829,option=nolink){} *829 ：１３２人目の素数さん [sage] 2011/02/04(金) 11:28:06 次の無限級数の収束、発散を調べよまた、収束するものについては和を求めよ。 1/2-1/3+1/3-1/4+1/4・・・・という問題なんですが部分和をどうやって求めればいいのかわかりません。例題はSnのnが偶数のときと奇数のときと分けてやってるんですが.... ---- 830 ：１３２人目の素数さん [sage] 2011/02/04(金) 11:30:39 >>829 どうみても1/2なんだが・・・ 831 ：１３２人目の素数さん [sage] 2011/02/04(金) 11:37:45 >>830 nが偶数の時ってどうなるんですか？ 832 ：１３２人目の素数さん [sage] 2011/02/04(金) 11:39:47 >>831 > 次の無限級数の収束、発散を調べよ 833 ：１３２人目の素数さん [sage] 2011/02/04(金) 11:40:01 頭固すぎるだろ、パッと見で1/2になるのになんでわざわざ部分和を求めようとするんだ？ 834 ：１３２人目の素数さん [] 2011/02/04(金) 11:47:02 順番変えたら値が変わるような？ 835 ：１３２人目の素数さん [sage] 2011/02/04(金) 11:49:56 例題の解答はこれです &blankimg(Y6lEG.jpg) こんな感じの解答を書きたいのですが、部分和がだせないんです... 845 ：１３２人目の素数さん [sage] 2011/02/04(金) 15:32:02 >>829 級数が収束するとは、第ｎ部分和をSnとして数列{Sn}　S1,S2,S3,･･･S,+･･･が収束することである。 1/2-1/3+1/3-1/4+1/4・・・・のときは、ｎが奇数ならば　Sn＝1/2 ｎが偶数ならば　Sn＝1/2-1/(n/2+2) となる。 1/(n/2+2)→0(n→∞) より、Sn→1/2(n→∞) よって1/2-1/3+1/3-1/4+1/4･･･は収束し、その極限値は1/2と結論できる。 847 ： 845 [sage] 2011/02/04(金) 15:33:45 すまん訂正 ×　S1,S2,S3,･･･S,+･･･ ○　S1,S2,S3,･･･Sn,+･･･

極座標

2011-03-05T04:09:48+09:00

-&link_anchor(91){極座標について質問です} -&link_anchor(16){極方程式 r=cosθ+2(π≧θ≧0) により表される曲線をCとする。Cとx軸とで囲まれた図形をx軸の周りに一回転して得られる立体の体積を求めよ。} ---- &aname(16,option=nolink){} *16 ：１３２人目の素数さん [] 2011/02/05(土) 23:54:22 平面上で原点を極、x軸の正の部分を始線とする極座標に関して、極方程式 r=cosθ+2(π≧θ≧0) により表される曲線をCとする。Cとx軸とで囲まれた図形をx軸の周りに一回転して得られる立体の体積を求めよ。これについてなんですが、あるθのときの立体の切り口が円になりますよねそのときの円の面積をθで表して、それを０→πまで積分すれば求められると思ったのですが、答えと違っています。どこが違うのでしょうか　教えてください ---- 18 ：スガ ◆.ffFfff1uU [sage] 2011/02/05(土) 23:57:38 >>16 θに対する円の半径書いてみて。 19 ：１３２人目の素数さん [] 2011/02/05(土) 23:58:36 rsinθ　です 20 ：スガ ◆.ffFfff1uU [sage] 2011/02/06(日) 00:02:51 ∫[-1,2] πy^2 dx を x = cosθ(cosθ+2) y = sinθ(cosθ+2) で置換積分するわけだけど、最初のdx　をはじめからdθと書いちゃってない？ 21 ：１３２人目の素数さん [] 2011/02/06(日) 00:08:32 置換せずに極のままで積分することはできないのでしょうか。 π∫[0,π](rsinθ)^2 dθ　のように 22 ：１３２人目の素数さん [] 2011/02/06(日) 00:09:41 >>16 具体的に図を描くと、 θ＝０の時は(２、０) θ＝π/６の時は (√(３/２)＋２、π/６) となるのでθ＝π/６の方が右にはみ出す。つまりｘ≧２は別に考えないといけない。 23 ：１３２人目の素数さん [] 2011/02/06(日) 00:12:30 θ=0のときは(3,0)だと思うのですがちなみに微分して確かめても面積を別に考えるような必要はなかったです 24 ：１３２人目の素数さん [sage] 2011/02/06(日) 00:16:05 確かに、失敬した 25 ：スガ ◆.ffFfff1uU [sage] 2011/02/06(日) 00:19:29 >>21 その式が何処から出てきたのかわかんないけど、この問題は素直に置換積分したほうがいいと思うよ。置換後の形がすぐにひらめくのであれば不要だけど。 31 ：１３２人目の素数さん [sage] 2011/02/06(日) 01:16:58 >>21 それはできません。 ∫[-1,3] πy^2 dx では、πy^2 dx　がxに対する微小体積ですのでちゃんと機能しますが、 π∫[0,π](rsinθ)^2 dθ では、π(rsinθ)^2 dθ　はθに対する微小体積ではないのでこれでは求まりません。 ---- ---- &aname(91,option=nolink){} *91 ：１３２人目の素数さん [sage] 2011/01/23(日) 12:47:11 極座標について質問です x^2-y^2=1 について、極座標表示では x=1/cosθ、y=tanθと書けるのは分かるのですが、この時xsinθ=yになるはずですよね？その証明がうまくいきません　良かったらご教示ください ---- 92 ：１３２人目の素数さん [sage] 2011/01/23(日) 13:21:24 相似だろ ---- ----

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2011-03-05T03:41:57+09:00

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