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実験：野球ボールの軌道計算

2010-06-22T02:08:08+09:00

next up previous 次へ: レポートに関して上へ: 実験1：C++/Octaveによる微分方程式の数値解法戻る: 例題実験：野球ボールの軌道計算前節までで学習したオイラー法を用いて，ピッチャーが投げた野球ボールを打者が打った時のボールの軌道を計算するプログラムをC++言語を用いて作成しよう．まず，ボールの運動に関する基礎方程式を説明する．運動を記述するには，投射物の位置ベクトル $$ r(t)$$ と速度ベクトル $$ v(t)$$ を計算する必要がある．この運動方程式は， $$\displaystyle \frac{dv}{dt} = \frac{1}{m}F_{a}(v) - g \hat{y}; \hspace{10mm} \frac{dr}{dt} = v$$ (14) となる．ただし，$$ m$$ は投射物の質量， $$ F_{a}(v)$$ は空気抵抗による力，$$ g$$ は重力加速度，$$ \hat{y}$$ は鉛直方向の単位ベクトルである．実際の空気抵抗の計算は非常に複雑になるので，ここでは次の近似式を用いることとする． $$\displaystyle F_{a} = - \frac{1}{2}C_{d} \rho A \vert v\vert v$$ (15) ここで，$$ C_{d}$$ は抵抗計数，$$ \rho$$ は空気の密度，$$ A$$ は投射物の横断面積である．空気抵抗を無視できる場合，運動方程式は以下の方法で解析的に解くことができる． $$\displaystyle r(t) = r_{1} + v_{1}t - \frac{1}{2}g t^{2} \hat{y}$$ (16) ただし， $$ r_{1}\equiv r(t=0)$$ と $$ v_{1}\equiv v(t=0)$$ は位置と速度の初期値である．以下にプログラムの概要をまとめる． \begin{itembox}[c]{プログラム概要} \begin{itemize} \item ボールの初期位置 $$r_{1... ...�屬鯢充┐垢襦\item ボールの軌道をグラフ表示する． \end{itemize}\end{itembox} // baseball.cpp: オイラー法を用いて野球ボールの軌道を計算するプログラム #include "NumMeth.h" void main() { //* ボールの初期位置及び初期速度を設定する． double y1, speed, theta; double r1[2+1], v1[2+1], r[2+1], v[2+1], accel[2+1]; cout << "高さの初期値(メートル) : "; cin >> y1; r1[1] = 0; r1[2] = y1; // 初期位置ベクトル cout << "初期速度(m/s) : "; cin >> speed; cout << "初期角度(度) : "; cin >> theta; const double pi = 3.141592654; v1[1] = speed*cos(theta*pi/180); // 初期速度 (x) v1[2] = speed*sin(theta*pi/180); // 初期速度 (y) r[1] = r1[1]; r[2] = r1[2]; // 初期位置および初期速度を設定 v[1] = v1[1]; v[2] = v1[2]; //* 物理パラメータを設定(質量, Cd値など) double Cd = 0.35; // 空気抵抗(無次元) double area = 4.3e-3; // 投射物の横断面積(m^2） double grav = 9.81; // 重力加速度(m/s^2) double mass = 0.145; // 投射物の質量(kg) double airFlag, rho; cout << "空気抵抗(あり:1, なし:0) : "; cin >> airFlag; if( airFlag == 0 ) rho = 0; // 空気抵抗なし else rho = 1.2; // 空気の密度(kg/m^3) double air_const = -0.5*Cd*rho*area/mass; // 空気抵抗定数 //* ボールが地面に着くまで, あるいは最大の刻み数になるまでループ double tau; cout << "時間刻みτ(秒) : "; cin >> tau; int iStep, maxStep = 1000; // 最大の刻み数 double *xplot, *yplot, *xNoAir, *yNoAir; xplot = new double [maxStep + 1]; yplot = new double [maxStep + 1]; xNoAir = new double [maxStep + 1]; yNoAir = new double [maxStep + 1]; for( iStep=1; iStep<=maxStep; iStep++ ) { //* プロット用に位置(計算値および理論値)を記録する xplot[iStep] = r[1]; // プロット用に軌道を記録 yplot[iStep] = r[2]; double t = ( iStep-1 )*tau; // 現在時刻 xNoAir[iStep] = r1[1] + v1[1]*t; // 位置(x) yNoAir[iStep] = ?????? // 位置(y) //* ボールの加速度を計算する double normV = sqrt( v[1]*v[1] + v[2]*v[2] ); accel[1] = air_const*normV*v[1]; // 空気抵抗 accel[2] = air_const*normV*v[2]; // 空気抵抗 accel[2] -= grav; // 重力 //* オイラー法を用いて, 新しい位置および速度を計算する /* ここにオイラー法のアルゴリズムを書く */ //* ボールが地面に着いたら(y < 0)ループを抜ける /* if文を使って書く */ } //* 最大到達高さと滞空時間を表示する cout << "最大到達高さは" << r[1] << "メートル" << endl; 滞空時間の表示をここに書く //* プロットする変数を出力する // xplot, yplot xNoAir, yNoAir ofstream xplotOut("xplot.txt"), yplotOut("yplot.txt"), xNoAirOut("xNoAir.txt"), yNoAirOut("yNoAir.txt"); int i; for( i=1; i<=iStep+1; i++ ) { xplotOut << xplot[i] << endl; yplotOut << yplot[i] << endl; } for( i=1; i<=iStep+1; i++ ) { xNoAirOut << xNoAir[i] << endl; yNoAirOut << yNoAir[i] << endl; } delete [] xplot, yplot, xNoAir, yNoAir; // メモリを開放 } 問題:3 ボールの軌道のグラフを gnuplot で出力せよ．なお，時間刻み $$ \tau$$ は $$ 0 < t \leq 2$$ の間で5個選ぶこと．補助的に Octave を用いてよもい．問題:4 時間刻み $$ \tau$$ の設定によって，計算結果が大きく異なることが確認できるが，その理由を考察せよ．問題:5 オイラー法よりも高精度な数値計算アルゴリズムについて調べてよ．余力のある人は，アルゴリズムを実装しその結果をオイラー法と比較してみよ． Tomoki MIYAZATO 平成16年6月29日

例題

2010-06-22T01:57:44+09:00

それでは，簡単な例題を見てみよう． $$\displaystyle \frac{d}{dt}x=-x, \hspace{5mm} x(0)=1$$ (11) この(一階の)微分方程式には解析解が存在して， $$\displaystyle x(t) = e^{-t}$$ (12) となる．問題:2 微分方程式([*])の解を導出して確かめよ．これをオイラー法で計算すると， $$\displaystyle x_{n+1}$$ $$\displaystyle =$$ $$\displaystyle x_{n} - x_{n} \tau$$ (13) となる．

オイラー法

2010-06-22T01:34:28+09:00

最も原始的な解法で，「刻み幅」と呼ぶ量 $$ \tau$$ を定めて，独立変数のとびとびの値 $$\displaystyle t_{n} = a + n\tau \hspace{10mm} (n = 0,1,2,\cdots )$$ (8) における未知関数の値 $$ x^{i}(t_{n})$$の近似値$$ x^{i}_{n}$$を， $$\displaystyle x^{i}_{n+1} = x^{i}_{n} + \tau f^{i}_{n}, \hspace{10mm} f^{i}_{n} \equiv f^{i}(x^{1}_{n}, \cdots, x^{m}_{n}, t_{n} )$$ (9) によって次々と $$ (n=0,1,\cdots)$$ 定めていく方法である．この公式は $$ t=t_{n}$$における微分方程式([*])の左辺を $$\displaystyle \frac{d}{dt}x^{i} \fallingdotseq \frac{x^{i}_{n+1} - x^{i}_{n}}{t_{n+1} - t_{n}} = \frac{x^{i}_{n+1} - x^{i}_{n}}{\tau}$$ (10) で置き換えたものの，分母を払って移項したものであると思えば良い1．問題:1 実際にオイラー法を適用しようとすると，幾つかの問題のために精度が悪く使われることはほとんどない．オイラー法の問題点を説明せよ．

数式２

2010-06-22T00:25:38+09:00

独立変数を $$ t$$，$$ t$$ の未知関数(従属変数とも言う)を $$ x(t)$$ として， $$ x(t)$$ の満たすべき二つの条件，すなわち 1. 微分方程式： $$\displaystyle \frac{d}{dt}x = f(x,t) \hspace{10mm} (a \leq t \leq b)$$ (1) 2. 初期条件： $$\displaystyle x(a) = x_{0}$$ (2) を与えて関数 $$ x(t) (a\leq t \leq b)$$ を求める，と言うのが問題である． ``連立''方程式の場合も，未知関数が $$ x^{1}(t), \cdots, x^{m}(t)$$ と，$$ m$$ 個あること以外は形式的には全く同じで， 1. 微分方程式： $$\displaystyle \frac{d}{dt}x^{i} = f^{i}(x^{1}, \cdots, x^{m}, t) \hspace{10mm} (i=1, \cdots, m; a \leq t \leq b)$$ (3) 2. 初期条件： $$\displaystyle x^{i}(a) = x^{i}_{0} \hspace{10mm} (i=1, \cdots, m)$$ (4) を与えて $$ x^{i}(t) (a \leq t \leq b)$$ を求めることが問題である． ``高楷''の微分方程式，たとえば $$\displaystyle \frac{d^{3}}{dt^{3}}x = f(x, \frac{dx}{dt}, \frac{d^{2}x}{dt^{2}}, t)$$ (5) の様なものも，未知関数の数を増やして $$\displaystyle x^{1} = x, x^{2} = \frac{dx}{dt}, x^{3} = \frac{d^{2}x}{dt^{2}}$$ (6) とおけば $$\displaystyle \frac{dx^{1}}{dt}$$ $$\displaystyle =$$ $$\displaystyle x^{2}$$ $$\displaystyle \frac{dx^{2}}{dt}$$ $$\displaystyle =$$ $$\displaystyle x^{3}$$ $$\displaystyle \frac{dx^{3}}{dt}$$ $$\displaystyle =$$ $$\displaystyle f(x^{1}, x^{2}, x^{3}, t)$$ (7) という1階微分方程式の形に帰着できる．

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