http://w.atwiki.jp/nryutryu/ nryutryu @ ウィキ ja 2010-06-22T02:08:08+09:00 1277140088 https://w.atwiki.jp/nryutryu/pages/16.html next up previous 次へ: レポートに関して 上へ: 実験1：C++/Octaveによる微分方程式の数値解法 戻る: 例題 実験：野球ボールの軌道計算 前節までで学習したオイラー法を用いて，ピッチャーが投げた野球ボールを打者が打った時のボールの軌道を計算するプログラムをC++言語を用いて作成しよう． まず，ボールの運動に関する基礎方程式を説明する．運動を記述するには，投射物の位置ベクトル $$ r(t)$$ と速度ベクトル $$ v(t)$$ を計算する必要がある．この運動方程式は， $$\displaystyle \frac{dv}{dt} = \frac{1}{m}F_{a}(v) - g \hat{y}; \hspace{10mm} \frac{dr}{dt} = v$$ (14) となる．ただし，$$ m$$ は投射物の質量， $$ F_{a}(v)$$ は空気抵抗による力，$$ g$$ は重力加速度，$$ \hat{y}$$ は鉛直方向の単位ベクトルである．実際の空気抵抗の計算は非常に複雑になるので，ここでは次の近似式を用いることとする． $$\displaystyle F_{a} = - \frac{1}{2}C_{d} \rho A \vert v\vert v$$ (15) ここで，$$ C_{d}$$ は抵抗計数，$$ \rho$$ は空気の密度，$$ A$$ は投射物の横断面積である． 空気抵抗を無視できる場合，運動方程式は以下の方法で解析的に解くことができる． $$\displaystyle r(t) = r_{1} + v_{1}t - \frac{1}{2}g t^{2} \hat{y}$$ (16) ただし， $$ r_{1}\equiv r(t=0)$$ と $$ v_{1}\equiv v(t=0)$$ は位置と速度の初期値である． 以下にプログラムの概要をまとめる． \begin{itembox}[c]{プログラム概要} \begin{itemize} \item ボールの初期位置 $$r_{1... ...�屬鯢充┐垢襦\item ボールの軌道をグラフ表示する． \end{itemize}\end{itembo 2010-06-22T02:08:08+09:00 1277140088 https://w.atwiki.jp/nryutryu/pages/15.html それでは，簡単な例題を見てみよう． $$\displaystyle \frac{d}{dt}x=-x, \hspace{5mm} x(0)=1$$ (11) この(一階の)微分方程式には解析解が存在して， $$\displaystyle x(t) = e^{-t}$$ (12) となる． 問題:2 微分方程式([*])の解を導出して確かめよ． これをオイラー法で計算すると， $$\displaystyle x_{n+1}$$ $$\displaystyle =$$ $$\displaystyle x_{n} - x_{n} \tau$$ (13) となる． 2010-06-22T01:57:44+09:00 1277139464 https://w.atwiki.jp/nryutryu/pages/14.html 最も原始的な解法で，「刻み幅」と呼ぶ量 $$ \tau$$ を定めて，独立変数のとびとびの値 $$\displaystyle t_{n} = a + n\tau \hspace{10mm} (n = 0,1,2,\cdots )$$ (8) における未知関数の値 $$ x^{i}(t_{n})$$の近似値$$ x^{i}_{n}$$を， $$\displaystyle x^{i}_{n+1} = x^{i}_{n} + \tau f^{i}_{n}, \hspace{10mm} f^{i}_{n} \equiv f^{i}(x^{1}_{n}, \cdots, x^{m}_{n}, t_{n} )$$ (9) によって次々と $$ (n=0,1,\cdots)$$ 定めていく方法である． この公式は $$ t=t_{n}$$における微分方程式([*])の左辺を $$\displaystyle \frac{d}{dt}x^{i} \fallingdotseq \frac{x^{i}_{n+1} - x^{i}_{n}}{t_{n+1} - t_{n}} = \frac{x^{i}_{n+1} - x^{i}_{n}}{\tau}$$ (10) で置き換えたものの，分母を払って移項したものであると思えば良い1． 問題:1 実際にオイラー法を適用しようとすると，幾つかの問題のために 精度が悪く使われることはほとんどない．オイラー法の問題点を説 明せよ． 2010-06-22T01:34:28+09:00 1277138068 https://w.atwiki.jp/nryutryu/pages/13.html 独立変数を $$ t$$，$$ t$$ の未知関数(従属変数とも言う)を $$ x(t)$$ として， $$ x(t)$$ の満たすべき二つの条件，すなわち 1. 微分方程式： $$\displaystyle \frac{d}{dt}x = f(x,t) \hspace{10mm} (a \leq t \leq b)$$ (1) 2. 初期条件： $$\displaystyle x(a) = x_{0}$$ (2) を与えて関数 $$ x(t) (a\leq t \leq b)$$ を求める，と言うのが問題である． ``連立''方程式の場合も，未知関数が $$ x^{1}(t), \cdots, x^{m}(t)$$ と，$$ m$$ 個あること以外は形式的には全く同じで， 1. 微分方程式： $$\displaystyle \frac{d}{dt}x^{i} = f^{i}(x^{1}, \cdots, x^{m}, t) \hspace{10mm} (i=1, \cdots, m; a \leq t \leq b)$$ (3) 2. 初期条件： $$\displaystyle x^{i}(a) = x^{i}_{0} \hspace{10mm} (i=1, \cdots, m)$$ (4) を与えて $$ x^{i}(t) (a \leq t \leq b)$$ を求めることが問題である． ``高楷''の微分方程式，たとえば $$\displaystyle \frac{d^{3}}{dt^{3}}x = f(x, \frac{dx}{dt}, \frac{d^{2}x}{dt^{2}}, t)$$ (5) の様なものも，未知関数の数を増やして $$\displaystyle x^{1} = x, x^{2} = \frac{dx}{dt}, x^{3} = \frac{d^{2}x}{dt^{2}}$$ (6) とおけば $$\displaystyle \frac{dx^{1}}{dt}$$ $$\displaystyle =$$ 2010-06-22T00:25:38+09:00 1277133938 https://w.atwiki.jp/nryutryu/pages/12.html * 人気商品一覧 @wikiのwikiモードでは #price_list(カテゴリ名) と入力することで、あるカテゴリの売れ筋商品のリストを表示することができます。 カテゴリには以下のキーワードがご利用できます。 |キーワード|表示される内容| |ps3|PlayStation3| |ps2|PlayStation3| |psp|PSP| |wii|Wii| |xbox|XBOX| |nds|Nintendo DS| |desctop-pc|デスクトップパソコン| |note-pc|ノートパソコン| |mp3player|デジタルオーディオプレイヤー| |kaden|家電| |aircon|エアコン| |camera|カメラ| |game-toy|ゲーム・おもちゃ全般| |all|指定無し| 空白の場合はランダムな商品が表示されます。 ※このプラグインは[[価格比較サイト@PRICE>>http://atprice.jp]]のデータを利用しています。 ----- たとえば、 #price_list(game-toy) と入力すると以下のように表示されます。 ゲーム・おもちゃ全般の売れ筋商品 #price_list(game-toy) ノートパソコンの売れ筋商品 #price_list(game-toy) 人気商品リスト #price_list() 2010-06-21T23:39:45+09:00 1277131185 https://w.atwiki.jp/nryutryu/pages/11.html * コメントプラグイン @wikiのwikiモードでは #comment() と入力することでコメントフォームを簡単に作成することができます。 詳しくはこちらをご覧ください。 ＝＞http://atwiki.jp/guide/17_60_ja.html ----- たとえば、#comment() と入力すると以下のように表示されます。 #comment 2010-06-21T23:39:45+09:00 1277131185 https://w.atwiki.jp/nryutryu/pages/10.html * 関連ブログ @wikiのwikiモードでは #bf(興味のある単語) と入力することで、あるキーワードに関連するブログ一覧を表示することができます 詳しくはこちらをご覧ください。 ＝＞http://atwiki.jp/guide/17_161_ja.html ----- たとえば、#bf(ゲーム)と入力すると以下のように表示されます。 #bf(ゲーム) 2010-06-21T23:39:45+09:00 1277131185 https://w.atwiki.jp/nryutryu/pages/9.html @wikiにはいくつかの便利なプラグインがあります。 ----- #ls ----- これ以外のプラグインについては@wikiガイドをご覧ください =>http://atwiki.jp/guide/ 2010-06-21T23:39:45+09:00 1277131185 https://w.atwiki.jp/nryutryu/pages/8.html * 動画(youtube) @wikiのwikiモードでは #video(動画のURL) と入力することで、動画を貼り付けることが出来ます。 詳しくはこちらをご覧ください。 ＝＞http://atwiki.jp/guide/17_209_ja.html また動画のURLはYoutubeのURLをご利用ください。 ＝＞http://www.youtube.com/ ----- たとえば、#video(http://youtube.com/watch?v=kTV1CcS53JQ)と入力すると以下のように表示されます。 #video(http://youtube.com/watch?v=kTV1CcS53JQ) 2010-06-21T23:39:45+09:00 1277131185 https://w.atwiki.jp/nryutryu/pages/7.html * アーカイブ @wikiのwikiモードでは #archive_log() と入力することで、特定のウェブページを保存しておくことができます。 詳しくはこちらをご覧ください。 ＝＞http://atwiki.jp/guide/25_171_ja.html ----- たとえば、#archive_log()と入力すると以下のように表示されます。 保存したいURLとサイト名を入力して"アーカイブログ"をクリックしてみよう #archive_log() 2010-06-21T23:39:45+09:00 1277131185