http://w.atwiki.jp/omoshiro2ch/ 面白い問題おしえて～な＠数学板 ja 2006-02-13T20:29:06+09:00 1139830146 https://w.atwiki.jp/omoshiro2ch/pages/94.html * 代数１１－１ > 262 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2006/01/18(水) 12:14:04 > 数オリの問題解いてたら思いついた問題。 > > nを奇数、a1，…，anを相異なる整数とする。多項式 1＋Π[i＝1～n](x－ai) が > Z[x]上 既約にならないことはあるか。 > 263 名前：１３２人目の素数さん[] 投稿日：2006/01/18(水) 19:05:14 > >>262 > もとの数オリの問題はどんな問題？ > それが分かれば分かるかも * 解答 > 266 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2006/01/20(金) 18:20:14 > >>264 > 馬鹿は引っ込め > >>262 > http://www.iis.it-hiroshima.ac.jp/~ohkawa/math/math_pro_a017.htm 2006-02-13T20:29:06+09:00 1139830146 https://w.atwiki.jp/omoshiro2ch/pages/93.html *幾何１１－６ > 274 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2006/01/26(木) 08:56:12 > 平面上に面積 1 の円がある。 > この円の面積を4本の異なる直線で6等分せよ。 > ただし、4本の直線はどれも、円と二点で交わるものとする。 * 解答 > 275 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2006/01/26(木) 15:34:41 > >>274 > √3/4 < π/6 だから、存在は中間値の定理より明らか。 > 276 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2006/01/26(木) 21:50:15 > >>275 > 解説ｷﾎﾞﾝ > 277 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2006/01/27(金) 14:16:00 > >>275 > 何か勘違いしてないか？直線4本だぞ？5本なら(左から右に並べて縦に引けば)明らかだが。 > 278 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2006/01/27(金) 15:33:19 > >>277 > 中心角が 2π/3 の扇形 2 個を半分にすればいいんでしょ。 > 頂角が 2π/3 で斜辺の長さが 1 の二等辺三角形の面積は √3/4 じゃないの。 > 279 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2006/01/27(金) 18:20:10 > やっと、言いたいことが分かった。 > > んじゃ、同じ問題で9分割してみてくれ。 > 280 名前：277[sage] 投稿日：2006/01/27(金) 21:58:01 > >>278 > それ、「線分」だったら出来るけどさ、「直線」だと無理でしょ？そういう二等辺三角形を > 書いた時点で、(引いた直線によって)既に書いてある他の扇形がさらに分割されてしまう。 > 281 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2006/01/27(金) 22:09:19 > >>280 > そうでもない、画像作ってウプするから、しばらく待て > 282 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2006/01/27(金) 22:14:46 > http://v.isp.2ch.n 2006-02-13T20:26:29+09:00 1139829989 https://w.atwiki.jp/omoshiro2ch/pages/92.html * 幾何１１－５ > 232 名前：１３２人目の素数さん[] 投稿日：2006/01/11(水) 16:46:27 > 「任意の凸多面体は三角形、四角形または五角形のいずれかを > 少なくとも一つ面として持つことを示せ。」 > > ヒント：面あたりの辺の本数の平均を評価すればよい。 2006-02-13T20:23:45+09:00 1139829825 https://w.atwiki.jp/omoshiro2ch/pages/91.html * 幾何１１－４ > 147 名前：１３２人目の素数さん[] 投稿日：2005/12/31(土) 00:36:24 > 面積が7で辺の長さがすべて有理数となるような直角三角形の3辺の長さを決定せよ。 > > (一つでも見つかればぉｋ) * 解答 > 149 名前：１３２人目の素数さん[] 投稿日：2005/12/31(土) 01:25:15 > >147 > 35/12、24/5、337/60が見付かった。 2006-02-13T20:23:08+09:00 1139829788 https://w.atwiki.jp/omoshiro2ch/pages/90.html * 幾何１１－３ > 78 名前：数ｾﾐから拝借してﾁｮｯﾄ変えてみました。[] 投稿日：2005/12/24(土) 02:19:28 > 次の条件を満たす平面上の閉曲線S考える。 > > ・Sは原点を通る任意の直線と2点で交わる > ・Sは原点を中心とする単位円周の任意の接線と2点で交わる > ・|a|<1とする。Sは直線y=aと2点で交わる > ・|a|<1とする。Sは直線x=aと2点で交わる > > このとき、Sは原点を中心とする単位円周と言えるか。 > 79 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2005/12/24(土) 02:22:47 > >>78 > ＞・Sは原点を中心とする単位円周の任意の接線と2点で交わる > 　 > こんな条件があんのになんでSが単位円周になりえるわけ？ > 80 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2005/12/24(土) 02:25:56 > 楕円 x^2/9 + y^2/4 = 1 とかでもいいような > 81 名前：１３２人目の素数さん[] 投稿日：2005/12/24(土) 02:29:28 > >79 > すみません。書き間違えました。2点ではなく1点です。 > 82 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2005/12/24(土) 02:30:21 > >>81 > 一点のみを共有する？交わるじゃなくて？ > 83 名前：１３２人目の素数さん[] 投稿日：2005/12/24(土) 02:34:19 > >82 > 交わるです。 > 84 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2005/12/24(土) 02:35:17 > >>83 > じゃあ単位円周でもその条件みたしてないじゃん。 > 85 名前：１３２人目の素数さん[] 投稿日：2005/12/24(土) 02:38:29 > >84 > 何故ですか？馬鹿ですみません。1点を共有する=1点で交わるとの解釈です。 > 86 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2005/12/24(土) 02:42:02 > >>85 > 普通わざわざ“交わる”という単語をつかうときは“接する”状態はふくめないだろ？ 2006-02-13T20:22:21+09:00 1139829741 https://w.atwiki.jp/omoshiro2ch/pages/89.html * 解析１１－５ > 268 名前：１３２人目の素数さん[] 投稿日：2006/01/22(日) 15:53:46 > 0≦x≦1、pを0≦p≦1なる実数として、関数F_p(x)を以下で定義する。 > F_p(x)=pF_p(2x)　(0≦p≦1/2) > F_p(x)=(1ｰp)F_p(2xｰ1)+p　(1/2≦p≦1) > > (1)F_p(x)は連続関数であることを示せ。 > > (2)xが二進法展開でx=1/2^a_0+1/2^a_1+1/2^a_2…1/2^a_n(a_0<a_1<a_2<…<a_n)なる表示を持つとき、 > F_p(x)=p^a_0+tp^a_1+(t^2)p^a_2+…(t^n)p^a_n > を示せ。 > 269 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2006/01/22(日) 23:24:08 > >268これは難問 > 270 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2006/01/23(月) 13:52:05 > >>268 > > F_p(x)=p^a_0+tp^a_1+(t^2)p^a_2+…(t^n)p^a_n > t の定義は？ > 271 名前：268[] 投稿日：2006/01/23(月) 15:47:16 > すまん、t=(1-p)/pだ 2006-02-13T20:11:53+09:00 1139829113 https://w.atwiki.jp/omoshiro2ch/pages/88.html * 解析１１－４ > 256 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2006/01/13(金) 20:47:36 > 関数x(t)、y(t)はx:[0,1]→R、y:[0,1]→Rの連続関数であり、 > x(0)=y(0)=0、x(1)=y(1)=1 > 任意の実数t∈(0,1)に対し、x(t)、y(t)のうち少なくとも一つが有理数である。 > という条件を満たすとする。 > > このとき、x-y平面上の曲線( x(t),y(t) ) t∈[0,1]の長さの最小値を求めよ。 2006-02-13T20:11:14+09:00 1139829074 https://w.atwiki.jp/omoshiro2ch/pages/87.html * 解析１１－３ > 231 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2006/01/11(水) 12:56:47 > 東大スレよりコピペ > --- > 関数x(t)、y(t)はx:[0,1]→R、y:[0,1]→Rの連続関数であり、 > x(0)=y(0)=0、x(1)=y(1)=1を満たす。 > > この時、次の二つの問いに答えよ。 > (1) > 任意の実数t∈(0,1)に対し、x(t)、y(t)のうち少なくとも一つが無理数である。 > という条件を満たすx(t)、y(t)の例を一つ求めよ。 > > (2) > 任意の実数t∈(0,1)に対し、x(t)、y(t)のうち少なくとも一つが有理数である。 > という条件を満たすx(t)、y(t)は存在するか。 *解答 > 233 名前：１３２人目の素数さん[] 投稿日：2006/01/11(水) 17:36:35 > >>231 > (1) たとえばx(t)=t, y(t)=log2(t+1) > (2) すべての自然数と,0<a<1を満たすすべての有理数は、オイラーの対角線論法によって > 1対1に対応することが示されている。したがって(x(t),y(t))の組と対応するtも、自然数と1対1に対応しなければならない。 > ところが実数tの濃度は自然数より濃いから、これは矛盾である。 > 234 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2006/01/11(水) 17:58:14 > >>233 > (2)はおれもそれ考えたけど、x(t)やy(t)がある値を > 無限回とる場合とかはまずいよね。なんか引っ掛けっぽい。 > > 答えは存在するよね。 > x(t) > = 0 on [0, 1/2) > = 2t - 1 on [1/2, 1] > > y(t) > = 2t on [0, 1/2) > = 1 [1/2, 1] > 235 名前：１３２人目の素数さん[] 投稿日：2006/01/11(水) 18:40:55 > >>234 > (2)に何か条件を付けてみたらどうなる？ > 如何なる小さな（空でない）区間でも定数でないとか。 > 236 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2 2006-02-13T20:10:20+09:00 1139829020 https://w.atwiki.jp/omoshiro2ch/pages/86.html * 解析１１－２ > 177 名前：1[sage] 投稿日：2006/01/02(月) 19:22:40 > 謹賀新年。 > > 地上に置くと、秒速1cmで歩く虫がいる。 > 長さが10cmの、いくらでも延びるゴムひもがある。 > > (1) 虫をゴムひもの一端に乗せ、ひもの上を他端に向けて歩かせる。 > 同時に、ゴムひもが毎秒10cmの割合で延びていくとする。 > このとき虫は他端に到着できるだろうか？ > > (2) ゴムひもの長さを表す函数をr(t)とするとき、虫が他端に > 到着できるためにr(t)が満たすべき条件はどんなものか？ > ちなみに(1)では、r(t)=10+10tである。 > > なお、ゴムひもは一様に延びるものとする。たとえば、ひもの中点に > 印を付けると、ひもがどんなに延びても印は中点のままである。 * 解答 > 178 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2006/01/02(月) 21:49:06 > >>177 > ゴムひもがのびることによって虫のスピードはあがると考えていいすか？ > t秒放置したのち一瞬でt･10cmのばすという操作を繰り返すとかんがえて > t→0とするとかんがえると虫は毎秒1cmよりはやくなるよね？この方針で桶？ > 179 名前：1[sage] 投稿日：2006/01/03(火) 02:12:44 > >>178 > ひもの一端を地面に固定した上で、虫の対地速度を考えれば、それでおｋ。 > この場合、たとえば中点の対地移動速度は5cm/sなので、 > 仮に虫が中点にいたとすると、その瞬間には虫は対地速度6cm/sで > 移動していることになる。 > > なお(2)については、およその見当はついているものの、 > 厳密な解答は持っていませんのであしからず。 > 181 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2006/01/03(火) 02:59:19 > >>179 > だとするとこう？ > ゴムひもをx=0に固定しもう片方の端がx>0をx=r(t)にしたがってうごくとする。 > このゴムひも上をx軸正の方向にゴム上を等速度vでうごくとする。 > t秒後の虫の位置をs(t)としてs’=v+(s 2006-02-13T20:04:53+09:00 1139828693 https://w.atwiki.jp/omoshiro2ch/pages/85.html * 解析１１－１ > 52 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2005/12/18(日) 03:50:57 > 実数列{an}に対して、Σ[i＝1～∞]aiが収束しているとする。また、実数列{bn}がβ∈Rに収束しているとする。 > このとき、Σ[i＝1～∞]aibi は収束すると言えるか？ * 解答 > 53 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2005/12/18(日) 04:25:39 > 普通に微積か実数論の練習問題じゃね？ > 54 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2005/12/18(日) 05:25:59 > >>52 > 宿題は質問スレに書け、厨房め！ > 55 名前：52[sage] 投稿日：2005/12/18(日) 08:09:12 > は？宿題じゃねぇし。どうせアレだろ、ε－δ論法を少し弄れば「収束する」ことが証明できるとでも思ったんだろ？ > 息抜き程度の難易度で、それなりに楽しめる問題を見つけたと思ったんだけどなぁ…馬鹿に出題したのが間違いだったよ。 > > 解答：収束するとは言えない。 > 略証)ある実数列{an}が存在して、どんなβ∈Rに対しても、βに収束する適当なbnを選べばΣaibiが発散することを示す。 > an＝{(-1)^(n－1)}/nで定義される実数列{an}を考える。Σ[i＝1～∞]ai＝log2 となって収束する。 > bn＝1/logn (nは偶数)，0 (nは奇数)　とするとbn→0であるが、Σ[i＝1～∞]aibi＝－Σ[i＝1～∞]1/(2ilog2i) > となり、2ilog2i はi≧1において単調増加だからΣ[i＝1～∞]1/(2ilog2i)＝Σ[j＝0～∞]Σ[i＝2^j～2^(j＋1)－1]1/(2ilog2i) > ≧Σ[j＝0～∞]Σ[i＝2^j～2^(j＋1)－1]1/(2*2^(j＋1)log2*2^(j＋1))＝Σ[j＝0～∞]1/{4(j＋2)log2}＝∞だから > Σ[i＝1～∞]aibi＝－∞となって発散する。一般のβ∈Rに対しては、Bn＝β＋bn とすればBn→βであるが > ΣaiBi＝βlog2＋Σaibi＝βlog2－∞＝－∞となって 発散する。 > 56 名前：52[ 2006-02-13T20:01:39+09:00 1139828499