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自作問題集(41~60) - (2008/04/17 (木) 22:42:17) の１つ前との変更点
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投票会を春休みかなんかにやります。それまでじっくり見たり解いてみたりしてください。
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問題41(y)
(1/a)+(1/b)+(1/c)=１のa,b,cの整数解は何通りあるでしょう。ただし10≧a≧b≧ｃです。
問題42(y)
(1/a)+(1/b)+(1/c)=(1/d)+(1/e)+(1/f)=Ａ
a~fはそれぞれ異なる自然数のとき最大のＡの値を求めよ。
また、そのとき(a,b,c,d,e,f)の組は何通り考えられるか。
問題43(i)
<math>a+b=c^{2}</math>
<math>b+c=a^{2}</math>
<math>c+a=b^{2}</math>
<math>a,b,c</math>の自然数解をすべて求めよ。
問題44(t)
0≦d,e,f≦50・・・①
dx^2+ey+fz=g・・・②
ex^2+fy+dz=h・・・③
fx^2+dy+ez=i・・・④
g+h+i=2008・・・⑤
上の①～⑤を満たす(x,y,z)のなかでx+y+zが最小となる(d,e,f)を下の⑥～⑧に代入する。なお、上の方程式と下の方程式の解は同じとする。
ax^2+by+cz=d・・・⑥
bx^2+cy+az=e・・・⑦
cx^2+ay+bz=f・・・⑧
このとき、a+b+cの値はどのくらいでしょうか。
問題45(t)
１２３４５６７８９１０１１１１２・・・４８４９５０と１～５０までの自然数をそのまま並べた数がある。これを位と位の間でn個に区切って、それによってできるn-1個の数の和が２００８にすることができますか。
たとえば、１２３｜４５６｜７８９｜１０１１｜・・・｜７４８｜４９５０とするのであれば、１２３＋４５６＋７８９＋１０１１＋・・・＋７４８＋４９５０とすればよい。
問題46(y)
10個の数がある。この中から4個の数を取り出したとき、後の6個の数の和より和が大きかった。このような4個の数の取り出し方は多くて何通りあるか。
問題47(y)入試予想
(１)ＡＢＣＤＥという5角形があります。ＡＢ=ＣＤ，ＣＢ=８ｃｍ，ＡＥ=ＤＥ=２ｃｍ，∠Ａ=６０゜，∠Ｅ=２４０゜，∠Ｄ=１２０゜のときＡＢＣＤＥの面積は１辺１ｃｍの正三角形の何倍か。
(２)上の５角形をＢを通る直線で二等分するときＣＤと交わる点をＦ、Ｃを通る直線で二等分するときＡＢと交わる点をＧとします。ＢＦとＣＧの交わる点をＨとするとき６角形ＡＧＨＦＤＥの面積は１辺１ｃｍの正三角形の何倍か。
問題48(t)
凸五角形がある。この五角形の対角線をすべて引くことで、五角形の内部に１１個の空欄ができる。この空欄に－５～５までの整数１１個をひとつずつ書き込む。この時、次の条件を満たす空欄の書き込み方は何通りあるか。
(1)ある空欄に書いてある数字と、その空欄に接している空欄に書いてある数字の和が等しい。
(2)(1)の条件がすべての空欄に対して満たす。
問題49（anco）入試予想
1辺が12センチの立方体ABCD-EFGHがある。まずACFを通る平面でこれを切断し、ACを3：1に内分する点をP、CFを3:1に内分する点をQとする。このときDPQを通る平面でこの立体を切断する。
(1)切断面はFGのFから何センチのところを通るか。
(2)二つに切断された立体のそれぞれの体積を求めよ。
図あり。
問題50(F) 入試予想
４桁の自然数がN個ある。このN個の自然数は以下の性質を満たす。連続する３桁を取り出して、それらをかけ合わせると平方数になり、５は必ず含まれている。ただし、N個の数の中に同じ数は入っていないものとする。
上記のN個の自然数の中で、
(1)８０００以下の自然数で、最も大きいものを答えよ。
(2)桁に２が２つ以上含まれているものの個数を答えよ。
(3)Nとして考えられるもので、最も大きいものを答えよ。
投票会を春休みかなんかにやります。それまでじっくり見たり解いてみたりしてください。
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問題41(y)
(1/a)+(1/b)+(1/c)=１のa,b,cの整数解は何通りあるでしょう。ただし10≧a≧b≧ｃです。
問題42(y)
(1/a)+(1/b)+(1/c)=(1/d)+(1/e)+(1/f)=Ａ
a~fはそれぞれ異なる自然数のとき最大のＡの値を求めよ。
また、そのとき(a,b,c,d,e,f)の組は何通り考えられるか。
問題43(i)
<math>a+b=c^{2}</math>
<math>b+c=a^{2}</math>
<math>c+a=b^{2}</math>
<math>a,b,c</math>の自然数解をすべて求めよ。
問題44(t)
0≦d,e,f≦50・・・①
dx^2+ey+fz=g・・・②
ex^2+fy+dz=h・・・③
fx^2+dy+ez=i・・・④
g+h+i=2008・・・⑤
上の①～⑤を満たす(x,y,z)のなかでx+y+zが最小となる(d,e,f)を下の⑥～⑧に代入する。なお、上の方程式と下の方程式の解は同じとする。
ax^2+by+cz=d・・・⑥
bx^2+cy+az=e・・・⑦
cx^2+ay+bz=f・・・⑧
このとき、a+b+cの値はどのくらいでしょうか。
問題45(t)
１２３４５６７８９１０１１１１２・・・４８４９５０と１～５０までの自然数をそのまま並べた数がある。これを位と位の間でn個に区切って、それによってできるn-1個の数の和が２００８にすることができますか。
たとえば、１２３｜４５６｜７８９｜１０１１｜・・・｜７４８｜４９５０とするのであれば、１２３＋４５６＋７８９＋１０１１＋・・・＋７４８＋４９５０とすればよい。
問題46(y)
10個の数がある。この中から4個の数を取り出したとき、後の6個の数の和より和が大きかった。このような4個の数の取り出し方は多くて何通りあるか。
問題47(y)入試予想
(１)ＡＢＣＤＥという5角形があります。ＡＢ=ＣＤ，ＣＢ=８ｃｍ，ＡＥ=ＤＥ=２ｃｍ，∠Ａ=６０゜，∠Ｅ=２４０゜，∠Ｄ=１２０゜のときＡＢＣＤＥの面積は１辺１ｃｍの正三角形の何倍か。
(２)上の５角形をＢを通る直線で二等分するときＣＤと交わる点をＦ、Ｃを通る直線で二等分するときＡＢと交わる点をＧとします。ＢＦとＣＧの交わる点をＨとするとき６角形ＡＧＨＦＤＥの面積は１辺１ｃｍの正三角形の何倍か。
問題48(t)
凸五角形がある。この五角形の対角線をすべて引くことで、五角形の内部に１１個の空欄ができる。この空欄に－５～５までの整数１１個をひとつずつ書き込む。この時、次の条件を満たす空欄の書き込み方は何通りあるか。
(1)ある空欄に書いてある数字と、その空欄に接している空欄に書いてある数字の和が等しい。
(2)(1)の条件がすべての空欄に対して満たす。
問題49（anco）入試予想
1辺が12センチの立方体ABCD-EFGHがある。まずACFを通る平面でこれを切断し、ACを3：1に内分する点をP、CFを3:1に内分する点をQとする。このときDPQを通る平面でこの立体を切断する。
(1)切断面はFGのFから何センチのところを通るか。
(2)二つに切断された立体のそれぞれの体積を求めよ。
図あり。
問題50(F) 入試予想
４桁の自然数がN個ある。このN個の自然数は以下の性質を満たす。連続する３桁を取り出して、それらをかけ合わせると平方数になり、５は必ず含まれている。ただし、N個の数の中に同じ数は入っていないものとする。
上記の性質を満たす自然数の中で、
(1)８０００以下の自然数で、最も大きいものを答えよ。
(2)桁に２が２つ以上含まれているものの個数を答えよ。
(3)Nとして考えられるもので、最も大きいものを答えよ。
