二次方程式（開成）

2010-07-31T02:10:50+09:00

「a,b,cは正の整数で、50<c<100とする。xについての方程式 ax²-bx-c+1=0 の2つの解が2とp、方程式 bx²-cx-a+3=0 の2つの解が3とqであるとき、a,b,cの値の組を全て求めよ。また、そのときのp,qの値を求めよ。」（開成）

この問題は、やはり開成の問題だけあって難易度は高いです。
★5つの上位に入る難しさだと思います。
恐らくですが、解と係数の関係を使えば解けるかな？と思ったりもしました。（実際には解いてませんが）でも、ここでは中学生でも解ける解放を教えますので、是非その解放を得てくれれば幸いです。

～解説～
では、まずは分かりやすいように式に番号をふりましょう。
ax²-bx-c+1=0・・・①
bx²-cx-a+3=0・・・②
とします。
①と②の式の解はそれぞれひとつ分かってますから、それを式に代入していきましょう。
①にx=2を代入。
4a-2b-c+1=0
4a-2b-c=-1・・・③
②にx=3を代入。
9b-3c-a+3=0
-a+9b-3c=-3・・・④
ここまでは大丈夫ですか？
では、次に③と④を解いていきましょう。
まず、aを消したいので④×4=④´として、③と④´と足すと、
34b-13c=-13
-13cを右辺に移項します。そして、
34b=13c-13
ここで、右辺が因数分解できますね。共通因数13として、因数分解してみると、
34b=13(c-1)・・・⑤
となります。
ここで、⑤に注目してほしいです。特にc-1なのですが、これは34の倍数といえます。何故か。ここで少し背理法というテクニックを使って証明していきます。（背理法は高校で習いますが、今回は説明するために使ってるものであって、c-1が34の倍数であることは他でも示せる。）
c-1が34の倍数でないと仮定してみましょう。

連立方程式+多項式の計算（自作問題）

2010-07-18T17:42:48+09:00

連立方程式 x+y+z=A x+y-z=B x-y-z=C　がある。このとき次の問いに答えよ。ただし、A=5,B=-3,C=1　とする。
(1)「x,y,z　の値を求めよ。」
(2)「考え中・・・」
(3)「A,B,Cの積をγとしたとき、α²+4xy+α(x+y)+2β　の値を求めよ。ただし、α=x-y,β=γz　とが成り立つものとする。」（自作問題）

この前の芝浦工大の連立方程式のときに私だったらもう少し複雑にする、とのことで面白半分で作ってみました。作るのは予想以上に難しく、面倒でしたが作れたときは嬉しかったです。しかし、まだ難しくする余地はあると思います。ですので、まだ問題作れたら(4)なんて作ってみたいですね。難易度的には、(1)は★4つ程度。(3)は★5つの中の下の方ですかね？とりあえず、複雑そうに書いただけなのでレベル的にはそうでもないんじゃないのかな～なんて思ったりもします。今度問題を作るときはもう少し捻った問題を出してみたいものです。ただ(3)のような式を作って出来るだけ同類項をまとめれるようにすることを考えると大変です。まぁ次は面白い問題作るので今回ばかりは見逃して・・・ね？
さて、解説ですね。自作問題なので間違いなどがあれば例の掲示板の方にお願いします。

～解説～
芝浦の問題で説明したように、まずは解いてみることです。A,B,Cの値を各式に代入していきます。
x+y+z=5・・・①
x+y-z=-3・・・②
x-y-z=1・・・③
さて、芝浦の問題のように式を足して求めていきましょう。ここは途中の説明は割愛させていただきます。途中の説明が知りたい方は、連立方程式（芝浦工大）の方の閲覧を行って下さい。
①+③
2x=6
x=3
x=3を①と②に代入。
3+y+z=5
y+z=2・・・④
3+y-z=-3
y-z=-6・・・⑤
④+⑤
2y=-4
y=-2
y=-2を④に代入。
-2+z=2
z=4

連立方程式（芝浦工大）

2010-12-05T14:07:04+09:00

連立方程式x+y+z=1・・・① x+y-z=9・・・② x-y-z=3・・・③ において、次の問いに答えなさい。
(1)「x+y=A とするとき、Aの値を求めなさい。」
(2)「x,y,z の値を求めなさい。」（芝浦工大）

まずこのような連立方程式が出たらまず解けっていうことなんです。問いが全く連立方程式について関係なければ別にとかなくてもいいけど、大概ってか連立方程式が問題として出たらその連立方程式は関係性があるのだから解いたら分かるものがあります。問題の解き方ですが、基本的なことは二元一次方程式のときと一緒。
ただ、二式或いは三式を足したり引いたりして一元の形に持っていけば、それを解いて代入すれば二元になり、従来の連立方程式になりますね。それを解いていけば必ず答えは出ます。またこの問題自体式にいじった跡が見られないし、問い自体全然難しくありません。xとyとzの値を求めれば(1)も(2)も余裕で分かります。
私が問題作成者だったら、式自体に根号や問いをもう少し複雑にしていたかも知れませんね（笑）では、解説をしていきましょう。

～解説～
まずは、この連立方程式を解いていきましょうね。
まず、未知数x,y,zにおいてこれらが一つの式に入られると厄介です。
なので、この未知数を一つになるようにしましょう。
ある式とある式を足せば未知数が一つになってくれます。それは①の式と③の式です。これらを足してみましょう。
①+③
2x=4
これなら解けますでしょ？両辺に1/2をかけて、
x=2
となります。これにより、xの値は求まりました。
このxの値をどれかの式に代入してみましょう。今回は①と②に代入してみましょう。
x=2を①と②に代入。
①
2+y+z=1
y+z=-1・・・④
②
2+y-z=9
y-z=7・・・⑤
ここで、④と⑤の式を足してみましょう。
④+⑤
2y=6
y=3

平方根（ラ･サール）

2010-07-17T19:49:00+09:00

次の計算をせよ。
「(3√2-2√3)²+(2√3+√2)(√3+3√2)-(2√3-√2)(√3-3√2)」（ラ・サール）

この問題を見た瞬間に私は絶句・・・
思わず、「長!」と思いました。
これは地道にやれば必ず解ける問題。しかし公立高校の入試問題とはさすが格が違う。
長すぎて普通に解いたら時間がかかりますね。
現に私は地道に解いていきました。時間は10分程度かかりましたよ。で、最終的な答えを拝見すると間違っていました。そう計算ミス。入試では一発勝負ですから本来なら私はここで点数を落としていたわけです。それに時間がかかり過ぎて他の問題を解くのに時間がかかってしまいます。そこで私は早く解けるもんはないか、と考えてみました。この式を見てみましょう。何か気づくことはありませんか？そう、似たようなやつがたくさんあります。てか同じものがいくつかありますね。また見た感じ展開で解けそうですね。展開できるということは同類項まとめれるってことだよ。お!じゃぁこれは同じものを文字に置き換えて計算できるんじゃないか？と予想してみた。こういうことを考えてるのってさすが難関高だと思いました。やはり数学は数学的センスがいるんだなと私は疎外感を味わいましたよ・・・
では、その方法を今回は解説していきたいと思います。

～解説～
(3√2-2√3)²+(2√3+√2)(√3+3√2)-(2√3-√2)(√3-3√2)
これは普通に解けば三つの展開出来ます。で、同じようなやつがありますね。
全く同じものを文字に置き換えてやってみよう。
3√2,2√3,√2,√3
の4つが、この式において使われている。だから4つの文字で置いても当然ながら良いのだが、二つの文字の方が楽だと思ったので二つの文字に置き換えてやってみよう。
A=√2
B=√3
とおけば、3√2と2√3はどう表せばいいか分かるかな？
√2はAですから3Aとなり、√3はBですから2Bとなります。即ち、
3A=3√2
2B=2√3
で

問題解説

2010-07-31T02:09:49+09:00

・連立方程式+多項式の計算（自作問題）　「☆☆☆☆☆」
・連立方程式（芝浦工大）　「★★★★☆」
・多項式の計算（灘）　「★★★★★」
・平方根（ラ・サール）　「★★★★★」
・二次方程式（開成）　「★★★★★」

～問題難易度～
☆☆☆☆☆・・・自作問題（私が作った問題です）
★☆☆☆☆・・・易しい（教科書レベル）
★★☆☆☆・・・やや易しい（ワーク基礎問題レベル）
★★★☆☆・・・普通（ワーク応用問題レベル）
★★★★☆・・・やや難しい（公立高校入試レベル）
★★★★★・・・難しい（難関高入試レベル）

※あくまでも私の判断です。人によっては個人差がある場合があります。

多項式の計算（灘）

2010-07-18T17:47:19+09:00

「X²+2pXY+Y²に　X=rx+y,Y=-x　を代入して整理したときのx²,xy,y²の係数をそれぞれ順にa,2b,cとする。同様にして、X²+2qXY+Y²に　X=rx+y,Y=-x　を代入して整理したときのx²,xy,y²の係数をそれぞれ順にd,2e,fとする。pとqの間に　pq=3　の関係があるとき、
af+cd-2beの値を求めよ。」（灘）

中学三年生、この問題に取り組んでみましたが、理屈を理解するまではかなり難問だと思います。そして、先生に解説をしてもらい、理屈を理解すると分かりました。
見る限り複雑そうですが、因数分解出来れば出来る問題です。この問題「きも!」と思っても大丈夫。分かりやすく丁寧に解説していきます。なんせ、これが初の高校入試問題解説ですから（笑）

～解説～
まずは、
X²+2pXY+Y²に注目しましょう。そして更に、X=rx+y,Y=-xであることに着目してみます。
XとYの値は分かってます。ですから実際に式に代入してみれば良いのです。従って、
X²+2pXY+Y²にX=rx+y,Y=-xを代入してみます。すると、
(rx+y)²+2p(rx+y)(-x)+(-x)²となります。ここまでは大丈夫かな？ここまではただ代入しただけですので理解出来ると思います。そして、計算できるところはやっていきましょう。展開できるところや分配法則出来るところを全て計算していくと、
r²x²+2rxy+y²+2p(-rx²-xy)+x²=r²x²+2rxy+y²-2prx²-2pxy+x

素因数分解1~100

2010-04-24T23:50:05+09:00

1~100までの自然数を素因数分解してみました。
A=B×C×..... (D) [E]
()内Dはその自然数Aの平方です。ただし、平方が整数になる場合のときのみです。±は省いております。ABDEが全て同じ数ならば素数です。
例→9=3² (3) [1]
[]内Eは平方がきれいな整数でなかったときに、自然数Aにどんな自然数nをかければきれいな整数となるかの値です。最小値のみ記載。そして、そのときの()内は、Aにnをかけたときの平方の結果を示しています。また、4や9のように平方が整数になるときの場合は、1と記載しています。
例→45=3²×5 (15) [5]
なお、1は書いておりません。
誤植などありましたら、掲示板までどうぞ。

2=2 (2) [2]
3=3 (3) [3]
4=2² (2) [1]
5=5 (5) [5]
6=2×3 (6) [6]
7=7 (7) [7]
8=2³ (4) [2]
9=3² (3) [1]
10=2×5 (10) [10]
11=11 (11) [11]
12=2²×3 (6) [3]
13=13 (13) [13]
14=2×7 (14) [14]
15=3×5 (15) [15]
16=2⁴ (4) [1]
17=17 (17) [17]
18=2×3² (6) [2]
19=19 (19) [19]
20=2²×5 (10) [5]
21=3×7 (21) [21]
22=2×11 (22) [22]
23=23 (23) [23]
24=2³×3 (12) [6]
25=5² (5) [1]
26

2次方程式の解き方

2010-03-21T13:51:58+09:00

2次方程式とは何か。これは、1次方程式のときとは違い、次数が違います。
1次方程式は、xやyなどの変数が一次なんですね。つまり1次式。
2次方程式は、x²やy²など変数が二次なっている2次式の方程式のことなんです。
この二つの最大の違い。それは、解の個数です。1次方程式は一般にひとつしか解がないですよね。2次方程式は一般にふたつあります。（ひとつのときなどもあります。）これが最大の違いです。
では、2次方程式の解き方に入っていきましょう。
xの2次式=0の形に変形できるような方程式を2次方程式といいます。したがって、一般形
ax²+bx+c=0　が成り立つ。
また、2次方程式を解くときに、平方根の考え方を使いましょう。
最終的にはx=□　の形に直さなければなりませんよね。
しかし、2次方程式ではx²=□になってしまう。よって、x=　の形にするには、x=√□　にしてしまえばよいのです。例えば、x²=5　の場合だと、x=±√5　となります。これは二乗と√が対する形になっていることから成り立ちますね。x²=81は？と聞かれれば、できますよね？
x²=±√81　x=±9　となって解が出てきます。この±というのは、+9でもあるし、-9でもあるということです。まぁ簡単ですね。そして、最初の一般形の定義に戻りましょう。
ax²+bx+c=0　が成り立つのならば、2次方程式かそうでないかを見極めることも可能です。それに、～が解であるものはどれか？と尋ねられたとしましょう。それはxに代入して解けばよいというのも今までの勉強から分かりますよね？これは詳しくは説明しませんが、2が解であるものはどれか？と言われれば、方程式のxに2を代入して解けばよい。それだけのことなんです。
あと、x²-p=0　のような形の時、-pを右辺に移項して解けば、x²=p　となって、先ほど説明したx²=□というような形になりま

確率（高校）

2010-03-06T23:59:41+09:00

・確率の基本
・確率の応用
・期待値

順列と組合せ

2010-03-06T23:56:51+09:00

・順列
・組合せ
・二項定理

よく分かる数学