http://w.atwiki.jp/volume_calculation/ 誰かこの領域の体積を求めてくれ ja 2014-07-21T21:07:39+09:00 1405944459 https://w.atwiki.jp/volume_calculation/pages/17.html n = 2 のとき、まずはa1a2平面における断面の面積v[2] を求める。 求めるa1a2c1c2空間における4次元の領域の体積は、 c1c2平面においてv[2]を積分すればよい。 #ref(v2.png) n = 3 のとき、まずはa1a2a3空間における断面の体積v[3]を求める。 求めるa1a2a3c1c2c3空間における6次元の領域の体積は、 c1c2c3空間においてv[3]を積分すればよい。 #ref(v3.png) 漸化式の意味は上図からイメージすることができる。 軸a3に垂直な断面a3 = 定数をa3 = 0 からa3 = 1 まで動かすとき、 曲面と交わる境界の前後が漸化式の右辺第一項と第二項である。 つまり前半の直方体部分の体積が第一項であり、 後半の曲面のくぼみを含む部分の体積が第二項である。 後半の断面がn = 2 のときの図のようになっていることに気づけば、 あとは曲面の式を等価にするような変形を考えることにより、 漸化式を導出することができる。 [[メモ1>http://cdn15.atwikiimg.com/volume_calculation/pub/1.jpg]] [[メモ2>http://cdn15.atwikiimg.com/volume_calculation/pub/2.jpg]] [[メモ3>http://cdn15.atwikiimg.com/volume_calculation/pub/3.jpg]] [[メモ4>http://cdn15.atwikiimg.com/volume_calculation/pub/4.jpg]] Mathematicaノートブック #ref(volume.nb) 2014-07-21T21:07:39+09:00 1405944459 https://w.atwiki.jp/volume_calculation/pages/16.html $$w_1=1$$ $$w_2=\frac{5}{4} \pi - \frac{8}{3}$$ $$w_3=\frac{7}{15} \pi$$ $$w_4=\pi \left( \frac{33}{32} \pi - \frac{96}{35} \right)$$ 2009-01-21T01:08:34+09:00 1232467714 https://w.atwiki.jp/volume_calculation/pages/15.html $$s_i := |c_i|\left(\frac{1}{\sqrt{c_1^2 + \cdots + c_n^2}} - 1\right)$$ とおくと $$v_1(s_1) = s_1$$ $$v_n(s_1, \cdots, s_n) = \frac{s_n}{\sqrt{1-s_1^2-\cdots-s_{n-1}^2}}+\int_{\frac{s_n}{\sqrt{1-s_1^2-\cdots-s_{n-1}^2}}}^1 v_{n-1}\left(\frac{s_1}{\sqrt{1-\frac{s_n^2}{a_n^2}}},\cdots,\frac{s_{n-1}}{\sqrt{1-\frac{s_n^2}{a_n^2}}}\right)da_n$$ $$w_n = \int \cdots \int_{\{c_1^2 + \cdots + c_n^2 \leqq 1\}}v_n(s_1,\cdots,s_n)dc_1 \cdots dc_n$$ $$=2^n\int \cdots \int_{\{c_1 \geqq 0,\cdots,c_n \geqq 0,c_1^2+\cdots+c_n^2 \leqq 1\}}v_n(s_1,\cdots,s_n)dc_1 \cdots dc_n$$ →極座標変換 2009-01-18T19:29:55+09:00 1232274595 https://w.atwiki.jp/volume_calculation/pages/14.html + $${\scriptstyle a_1 \cdots a_n}$$空間における体積$${\scriptstyle v_n}$$を求める。 + $${\scriptstyle c_1 \cdots c_n}$$空間において$${\scriptstyle v_n}$$を積分し、題意の体積$${\scriptstyle w_n}$$を求める。 2009-01-18T02:20:20+09:00 1232212820 https://w.atwiki.jp/volume_calculation/pages/13.html $$\frac{1}{\sqrt{c_1^2 + \cdots + c_n^2}} \geqq \frac{1}{\sqrt{\frac{c_1^2}{a_1^2} + \cdots + \frac{c_n^2}{a_n^2}}} + 1 ~~~~~ (0 \leqq a_i \leqq 1, -1 \leqq c_i \leqq 1)$$ の体積を求めよ。 2009-01-18T03:12:56+09:00 1232215976 https://w.atwiki.jp/volume_calculation/pages/12.html &blanklink(【解析】誰かこの領域の体積を求めてくれ【積分】){http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1230393194/} &blanklink(〓 Mathematica 伍 〓){http://wc2014.2ch.net/test/read.cgi/math/1320969748/} 2014-07-21T02:09:48+09:00 1405876188 https://w.atwiki.jp/volume_calculation/pages/11.html * コメントプラグイン @wikiのwikiモードでは #comment() と入力することでコメントフォームを簡単に作成することができます。 詳しくはこちらをご覧ください。 ＝＞http://atwiki.jp/guide/17_60_ja.html ----- たとえば、#comment() と入力すると以下のように表示されます。 #comment 2009-01-18T00:05:23+09:00 1232204723 https://w.atwiki.jp/volume_calculation/pages/10.html * 関連ブログ @wikiのwikiモードでは #bf(興味のある単語) と入力することで、あるキーワードに関連するブログ一覧を表示することができます 詳しくはこちらをご覧ください。 ＝＞http://atwiki.jp/guide/17_161_ja.html ----- たとえば、#bf(ゲーム)と入力すると以下のように表示されます。 #bf(ゲーム) 2009-01-18T00:05:23+09:00 1232204723 https://w.atwiki.jp/volume_calculation/pages/9.html @wikiにはいくつかの便利なプラグインがあります。 ----- #ls ----- これ以外のプラグインについては@wikiガイドをご覧ください =>http://atwiki.jp/guide/ 2009-01-18T00:05:23+09:00 1232204723 https://w.atwiki.jp/volume_calculation/pages/8.html * 動画(youtube) @wikiのwikiモードでは #video(動画のURL) と入力することで、動画を貼り付けることが出来ます。 詳しくはこちらをご覧ください。 ＝＞http://atwiki.jp/guide/17_209_ja.html また動画のURLはYoutubeのURLをご利用ください。 ＝＞http://www.youtube.com/ ----- たとえば、#video(http://youtube.com/watch?v=kTV1CcS53JQ)と入力すると以下のように表示されます。 #video(http://youtube.com/watch?v=kTV1CcS53JQ) 2009-01-18T00:05:23+09:00 1232204723