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作用

作用

(群論に限れば右作用が好まれる。)

単に作用といえば左作用が普通である。群Gの集合Xへの左作用とは以下の条件を満たす写像 σ: G→(X→X) をいう。

• σ(1)(x) = x
• σ(g₁g₂)(x) = σ(g₁)(σ(g₂)(x))

紛らわしくないときに σ(g)(x) = gx と書けば見かけ結合律が成立して便利である。

(g₁g₂)x = g₁(g₂x)

X*をXからYへの写像の集合とし，GのX*への作用を σ*(g)(f)(x) = f(gx) で定義しようとすると

σ*(g₁g₂)(f)(x) = f(g₁g₂x) = σ*(g₁)(f)(g₂x) = σ*(g₂)(σ*(g₁)(f))(x)

となって具合が悪い。この場合は σ*(g)(x) = xg と書けばよく，右作用という。

f(g₁g₂) = σ*(g₁g₂)(f) = σ*(g₂)(σ*(g₁)(f')) = (fg₁)g₂

或いは σ′(g)(f)(x) = f(g⁻¹x) とすれば左作用になる。

σ*(g₁g₂)(f)(x) = f((g₁g₂)⁻¹x) = f(g₂⁻¹g₁⁻¹x) = σ*(g₂)(f)(g₁⁻¹x) = σ*(g₁)(σ*(g₂)(f))(x)

GがYにも作用するならばGのX*への作用として σ″(g)(f)(x) = gf(g⁻¹x) も考えられる。

さて，ここで実はX=Yであり，X*=σ(G)であるとしてもよい。そうするとGはG自身へ作用することになる。

τ(g)(x) = gx

τ′(g)(x) = xg⁻¹

τ″(g)(x) = gxg⁻¹ = ^gx

これらが左作用の定義に適うことを確認するのは易しい。最後の形は共役作用と呼ぶ。

軌道分解

バーンサイド

群の群への作用

σを群Gから群Vへの右作用とする。 習慣的にv^g=σ(v,g)と書くが、この記法は共役作用を意味するものではない。Vが群であるときは，v¹=vとv^(gh)=(v^g)^hに加えて(uv)^g=u^gv^gが暗黙に仮定される。

Vの部分群UがGの任意の元gにつきU^g=Uであるとき，UはG不変であるという。Vが非自明な不変部分を持たないとき，GはVに既約に作用するという。V上の恒等写像に対応するGの元を作用の核という。核がGの単位元のみであるとき，GはVに忠実に作用するという。

GはVに素に作用するとは，GがVに作用し，|G|と|V|が互いに素であることをいう。但し，GかVの一方が可解であることを仮定として要求することがある。

◇ XとYをGの部分群とし，Yは正規であるとする。|X|と|Y|が互いに素であれば，

N_G/Y(XY/Y)=N_G(X)Y/Y

C_G/Y(XY/Y)=C_G(X)Y/Y

Z(G/Y)=Z(G)Y/Y

である。但し，X又はYが可解であると仮定するか，若しくはトンプソンの奇数位数の定理を予め認めるものとする。

∵ 各式の左辺が右辺を含むことは明らかである。 gY∈N_G/Y(XY/Y)であればX^g≤XYである。X^gとXは共にXY/Yの補群であるから，分裂定理により，X^gh=Xとなるh∈Yがあり，gh∈N_G(X)であるからgY=ghY∈N_G(X)Y/Yである。 特にgY=ghY∈C_G/Y(XY/Y)であれば任意のx∈Xにつき[x,gh]∈Yであるが，gh∈N_G(X)であるから[x,gh]∈Xであり，|X|と|Y|が互いに素であるから[x,gh]=1であり，gh∈C_G(X)である。 最後の式はZ(G/Y)=C_G/Y(GY/Y)から明らかである。

◇ 群Aが群Xに作用し，Xの正規部分群YがA不変であり，|A|と|Y|が互いに素であるとき，C_X(A)Y/Y=C_X/Y(A)である。

∵ G=AXとする。YはGの正規部分群であり，上の補題からC_AX(A)Y/Y=C_AX/Y(AY/Y)であり，辺毎にX/Yとの共通部分を取ればC_X(A)Y/Y=C_X/Y(AY/Y)となる。YがXの正規部分群であるから(xY)^aY=xYは(xY)^a=xYと同値であり，C_X/Y(AY/Y)=C_X/Y(A)である。

◇ AがXに素に作用していればX=[X,A]C_X(A)である。 また，[X,A,A]=[X,A]である。

∵ Y=[X,A]とする。YはAXの正規部分群であり，AはX/Yに自明に作用する。上の補題によりX/Y=C_X/Y(A)=C_X(A)Y/Yであり，対応原理によりX=C_X(A)Yである。 また，[X,A]=[C_X(A)Y,A]=[Y,A]=[X,A,A]である。

◇ AがXに素に作用しているとき，AがXのフラッチニ剰余群X/Φ(X)に自明に作用すればXにも自明に作用する。

∵ AがXのフラッチニ剰余群に自明に作用すれば[X,A]≤Φ(X)である。 X=C_X(A)[X,A]≤C_X(A)Φ(X)≤XであるからC_X(A)Φ(X)=Xであるが，フラッチニ部分群の元は非生成元であるからCX(A)=Xである。

◇ AがXに素に作用しているとき，YをXの正規部分群とし，AがYとX/Yに自明に作用すればXにも自明に作用する。

∵ AがYに自明に作用すれば[Y,A]=1であり，Y≤C_X(A)である。また，AがX/Yに自明に作用すれば[X,A]≤Yである。 従い，先の補題によりX=[X,A]C_X(A)≤YC_X(A)=C_X(A)である。

◇ AがXに素に作用し，Xの正規部分群YがYの中心化群を含むとき，AがYに自明に作用すればXにも自明に作用する。

∵ AがYに自明に作用すれば[Y,A,X]=[1,X]=1である。また，YがXの正規部分群であれば[X,Y,A]=[Y,A]=1である。従い，三部分群補題により[A,X,Y]=1となり，[A,X]≤C_X(Y)≤Yであるから前条に帰着する。

◇ Aが有限冪零群Xに素に作用し，Xの部分群YがYの中心化群を含むとき，AがYに自明に作用すればXにも自明に作用する。

∵ Xが冪零群であるからYの正規化群N_X(Y)はYより真に大きい。任意のa∈AにつきN_X(Y)^a=N_X(Y^a)であるが，YがA不変であるからN_X(Y)もA不変である。従い，上の補題により，AはN_X(Y)に自明に作用する。帰納法により，AがXに自明に作用する。

◇ Aが有限可解群Xに素に作用しているとき，AがXのフィッティング部分群F(X)に自明に作用すればXにも自明に作用する。

∵ フィッティング部分群は正規部分群であり，その中心化群を含むから前条に帰着する。