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EarthTunnel

2010-10-13T09:33:59+09:00

*地球を貫通するトンネル内の落下運動 >仮に、地球の中心を通って真裏まで貫通するトンネルが掘れたら、中に落とした物体はどんな運動をするか？地球の中心圧力は約400万気圧、中心温度は推定5,000～8,000Kもあるので、現実的に掘るのは不可能ですが、力学の思考実験として、面白い問題です。よく質問されるので、理論上の解を例示します。仮定として -落下物体は質点とする。 -地球の密度は球対称とする。 -空気力は考えない。（トンネル内は真空） -トンネル壁面との摩擦もない。 -自転の影響を無視。つまり、地球内部で生じる重力のみで、自由落下した運動として考えます。ちなみに、自転を考慮した場合、コリオリ力で壁面に押しつけられる力が発生します。壁面との摩擦ゼロを仮定してるので、直接的に上下の減速度は生じませんが、壁に対する垂直抗力から横方向速度をもち、それが遠心力を発生させて、間接的に上方向加速度が発生します。とはいえ、この遠心力が最大となる赤道上でも、重力の300分の1くらいの小ささです。 **（１）運動方程式時刻 $$t$$ における物体の位置を、地球中心から出発点へ向けて $$x \left( t \right)$$ とする。この点の地球中心からの距離は $$r=\left| x \right|$$ である。万有引力定数を $$G = 6.67300 \times 10^{-11}$$ m&sup(){3}/s&sup(){2}kg 地球の半径を $$R = 6371$$ km とする。 #ref(fig.png) 球対称な質量分布の場では、質点に働く万有引力は、原点からの半径 $$r$$ の仮想的な球の内部にある質量が、すべて原点に集中している場合と等しくなる。$$r$$ より外側の質量の影響は、ちょうどうち消し合う。 >証明は省略しますが、積分するとそうなります。大学の初等物理では定番の例題なので、検算してみるとよいでしょう。ついでに、これもよくある質問ですが、地球の内部が球対称な空洞だったら、中心のみならず空洞全域で無重力になることがわかります。中心から $$r$$ の点での密度を $$\rho \left( r \right)$$ とすると、$$r$$ より内側の質量は、 $$m \left( r \right) = \int_0^r {4\pi s^2 \rho \left( s \right)ds}$$ であるので、その点での重力加速度は、 $$g \left( r \right) = \frac{G m \left( r \right)}{r^2}$$ これらを用いて、運動方程式は、 $$\frac{d^2 x \left( t \right)}{dt^2} = - g \left( r \right), x \left( 0 \right) = R$$ となる。 **（２）地球の密度が均一の場合の解析解地球の密度分布が均一の場合、簡単に解析解が得られる。地球の質量 $$M = m \left( R \right) = 5.974 \times 10^{24}$$ kg 平均密度 $${\bar \rho} = \frac{3M}{4\pi R^3} = 5.515$$ g/cm&sup(){3} であるので、$$r$$ より内側の質量は、 $$m \left( r \right) = \frac{4 \pi r^3}{3} {\bar \rho} = M \left( \frac{r}{R} \right)^3$$ $$g\left( r \right) = \frac{G m \left( r \right)}{r^2} = \frac{G M r}{R^3}$$ ここで、地表での重力加速度が、 $$g_0 = g \left( R \right) = G M / R^2 = 9.8$$ m/s&sup(){2} であること使って、 $$g\left( r \right) = g_0 r / R$$ つまり、地球内部の重力加速度は、中心からの距離に比例することになり、運動方程式は、 $$\frac{d^2 x}{dt^2} = - \frac{g_0}{R} x$$ これは、単振動の運動方程式であるので、解は $$x \left( t \right) = R \cos \left( \sqrt{g_0 / R} t \right)$$ となる。この単振動の周期は、 $$P = 2 \pi \sqrt{R / g_0} = $$ 5061秒（84.34分）これは高度0の人工衛星の軌道周期と等しくなる。約42分後に地球の反対側のトンネル出口にちょっと顔を出し、約84分後に入口に戻ってくる。最高速度は地球の中心を通るときで、 $$V_{max} = \sqrt{ g_0 R} = 7.9$$ km/s これは第一宇宙速度と等しくなる。 **（３）地球内部の密度分布モデル（PREM）を使用した数値解実際には地球の密度分布は均一ではなく、中心ほど高密度になっている。そこで[[標準地球モデル（PREM）>PREM]]を用いて、計算してみる。 PREMが数値表のモデルであるので、$$m, g, x$$ は数値積分で求める。 -PREMによる地球内部の密度分布 #ref(density.png) この密度分布を用いて計算した。以下、 &color(red){赤線はPREMの密度分布を用いた数値解} &color(blue){青線は密度均一モデルの解析解} -ある半径以内の質量 #right(){右上（地表）で5.974×10&sup(){24} kg} #ref(mass.png) -地球内部の重力加速度 #right(){右上（地表）で9.8 m/s&sup(){2}} #ref(gravity.png) -位置の変化 #ref(position.png) 周期は4582秒（76.36分）。均一密度モデルより、早くなる。グラフではよく分かりませんが、地表の近くでは、余弦波よりも、やや放物線に近い形状となります。 -速度変化 #ref(velocity.png) 地球中心を通過するとき最大で、9.92km/sである。密度の高い中心核に強く引かれるので、青の正弦波より、ピークが鋭く三角波に近い曲線となります。 **（４）対蹠点この問題で、よく「日本からアルゼンチンまで」とか「日本からブラジルまで」と表現されますが、日本の真裏（対蹠点）ってどこでしょう？日本から真っ直ぐ掘ったら、出口はブラジルやアルゼンチンではありません。南大西洋の中です。 #ref(antipodes.jpg) う～ん、かろうじて南西諸島がブラジル南部にかかっています。 ---- **参考 -[[標準地球モデル(PREM)>PREM]] -[[ウィキペディア「地球」>http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%9C%B0%E7%90%83]] ---- #comment

PREM

2009-04-09T22:36:47+09:00

*標準地球モデル（PREM） Preliminary Reference Earth Model -Adam M. Dziewonski, Don L. Anderson -Physics of the Earth and Planetary Interiors, Volume 25, Issue 4, pp. 297-356. Radius(km) Depth(km) Density(g/cc) V-P(km/s) V-S(km/s) 6371 0 1.02 1.45 0 6368 3 1.02 1.45 0 6368 3 2.6 5.8 3.2 6356 15 2.6 5.8 3.2 6356 15 2.9 6.8 3.9 6346.6 24.4 2.9 6.8 3.9 6346.6 24.4 3.38076 8.11061 4.49094 6331 40 3.37906 8.10119 4.48486 6311 60 3.37688 8.08907 4.47715 6291 80 3.37471 8.07688 4.46953 6256 115 3.37091 8.0554 4.45643 6221 150 3.36710 8.0337 4.44361 6186 185 3.36330 8.0118 4.43108 6151 220 3.35950 7.9897 4.41885 6151 220 3.43578 8.55896 4.64391 6106 265 3.46264 8.64552 4.6754 6061 310 3.48951 8.73209 4.7069 6016 355 3.51639 8.81867 4.7384 5971 400 3.54325 8.90522 4.76989 5971 400 3.72378 9.13397 4.93259 5921 450 3.78678 9.38990 5.07842 5871 500 3.84980 9.64588 5.22428 5821 550 3.91282 9.90185 5.37014 5771 600 3.97584 10.15782 5.51600 5736 635 3.98399 10.21203 5.54311 5701 670 3.99214 10.26622 5.57020 5701 670 4.38071 10.75131 5.94508 5650 721 4.41241 10.91005 6.09418 5600 771 4.44316 11.06556 6.24046 5500 871 4.50372 11.24490 6.31091 5400 971 4.56307 11.41560 6.37813 5300 1071 4.62129 11.57828 6.44232 5200 1171 4.67844 11.73357 6.50370 5100 1271 4.73460 11.88209 6.56250 5000 1371 4.78983 12.02445 6.61891 4900 1471 4.84422 12.16126 6.67317 4800 1571 4.89783 12.29316 6.72548 4700 1671 4.95073 12.42075 6.77606 4600 1771 5.00299 12.54466 6.82512 4500 1871 5.05469 12.66550 6.87289 4400 1971 5.10590 12.78389 6.91957 4300 2071 5.15669 12.90045 6.96538 4200 2171 5.20713 13.01579 7.01053 4100 2271 5.25729 13.13055 7.05525 4000 2371 5.30724 13.24532 7.09974 3900 2471 5.35706 13.36074 7.14423 3800 2571 5.40681 13.47742 7.18892 3700 2671 5.45657 13.59597 7.23403 3630 2741 5.49145 13.68041 7.26597 3600 2771 5.50642 13.68753 7.26575 3500 2871 5.55641 13.71168 7.26486 3480 2891 5.56645 13.71660 7.26466 3480 2891 9.90349 8.06482 0 3400 2971 10.02940 8.19939 0 3300 3071 10.18134 8.36019 0 3200 3171 10.32726 8.51298 0 3100 3271 10.46727 8.65805 0 3000 3371 10.60152 8.79573 0 2900 3471 10.73012 8.92632 0 2800 3571 10.85321 9.05015 0 2700 3671 10.97091 9.16752 0 2600 3771 11.08335 9.27876 0 2500 3871 11.19067 9.38418 0 2400 3971 11.29298 9.48409 0 2300 4071 11.39042 9.57881 0 2200 4171 11.48311 9.66865 0 2100 4271 11.57119 9.75393 0 2000 4371 11.65478 9.83496 0 1900 4471 11.73401 9.91206 0 1800 4571 11.80900 9.98554 0 1700 4671 11.87990 10.05572 0 1600 4771 11.94682 10.12291 0 1500 4871 12.00989 10.18743 0 1400 4971 12.06924 10.24959 0 1300 5071 12.12500 10.30971 0 1221.5 5149.5 12.16634 10.35568 0 1221.5 5149.5 12.76360 11.02827 3.50432 1200 5171 12.77493 11.03643 3.51002 1100 5271 12.82501 11.07249 3.53522 1000 5371 12.87073 11.10542 3.55823 900 5471 12.91211 11.13521 3.57905 800 5571 12.94912 11.16186 3.59767 700 5671 12.98178 11.18538 3.61411 600 5771 13.01009 11.20576 3.62835 500 5871 13.03404 11.22301 3.64041 400 5971 13.05364 11.23712 3.65027 300 6071 13.06888 11.24809 3.65794 200 6171 13.07977 11.25593 3.66342 100 6271 13.08630 11.26064 3.6667 0 6371 13.08848 11.26220 3.6678

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