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「正方形枠の回転」(2010/01/10 (日) 12:39:56) の最新版変更点
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****正方形枠の回転
正方形に回転軸連結したリンクの回転を解析する。
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正方形に組んだリンクの左下が固定軸，その他は自由軸である。
#ref(http://www14.atwiki.jp/yokkun?cmd=upload&act=open&pageid=318&file=Square0.bmp)
(1) 自由回転
まず，自由回転について解析する。図のようにおくと，系のラグランジアンは
$$L = 2ma^2\left\{\frac{5}{3}({\dot\theta}^2+{\dot\phi}^2) + 2\dot\theta\dot\phi\cos(\phi - \theta)\right\}$$
となる。ラグランジュ方程式をつくり，２階微分について解いて整理すると
$$\ddot\theta = \frac{3\sin(\phi - \theta)\{5{\dot\phi}^2 + 3\cos(\phi - \theta)\cdot{\dot\theta}^2\}}{25 - 9\cos^2(\phi - \theta)}$$
$$\ddot\phi = \frac{-3\sin(\phi - \theta)\{5{\dot\theta}^2 + 3\cos(\phi - \theta)\cdot{\dot\phi}^2\}}{25 - 9\cos^2(\phi - \theta)}$$
を得る。
(2) 定トルク回転
固定軸のところで，互いに逆向きの定トルクを加えた場合について解析する。トルクをそれぞれ $$\tau_\theta , \tau_\phi$$ とするとラグランジアンは，
$$L = 2ma^2\left\{\frac{5}{3}({\dot\theta}^2+{\dot\phi}^2) + 2\dot\theta\dot\phi\cos(\phi - \theta)\right\} + \tau_\theta\theta + \tau_\phi\phi$$
となる。ラグランジュ方程式をつくり，２階微分について解いて整理すると
$$\ddot\theta = \frac{3\sin(\phi - \theta)\{5{\dot\phi}^2 + 3\cos(\phi - \theta)\cdot{\dot\theta}^2\}+\displaystyle\frac{3}{4ma^2}\{5\tau_\theta - 3\cos(\phi - \theta)\tau_\phi\}}{25 - 9\cos^2(\phi - \theta)}$$
$$\ddot\phi = \frac{-3\sin(\phi - \theta)\{5{\dot\theta}^2 + 3\cos(\phi - \theta)\cdot{\dot\phi}^2\}-\displaystyle\frac{3}{4ma^2}\{3\cos(\phi - \theta)\tau_\theta - 5\tau_\phi\}}{25 - 9\cos^2(\phi - \theta)}$$
を得る。
Mathcadによる数値積分結果と，Algodooによるシミュレーション結果を下図に示す。
#ref(http://www14.atwiki.jp/yokkun?cmd=upload&act=open&pageid=318&file=SquareG.jpg)
#ref(http://www14.atwiki.jp/yokkun?cmd=upload&act=open&pageid=318&file=Square.bmp)
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Algodoo シーン
>http://www14.atwiki.jp/yokkun?cmd=upload&act=open&pageid=318&file=Square.phz
>http://www14.atwiki.jp/yokkun?cmd=upload&act=open&pageid=318&file=Square2.phz
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#Vide(http://www.youtube.com/watch?v=XDhUDO9cRBs)
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****正方形枠の回転
正方形に回転軸連結したリンクの回転を解析する。
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正方形に組んだリンクの左下が固定軸，その他は自由軸である。
#ref(http://www14.atwiki.jp/yokkun?cmd=upload&act=open&pageid=318&file=Square0.bmp)
(1) 自由回転
まず，自由回転について解析する。図のようにおくと，系のラグランジアンは
$$L = 2ma^2\left\{\frac{5}{3}({\dot\theta}^2+{\dot\phi}^2) + 2\dot\theta\dot\phi\cos(\phi - \theta)\right\}$$
となる。ラグランジュ方程式をつくり，２階微分について解いて整理すると
$$\ddot\theta = \frac{3\sin(\phi - \theta)\{5{\dot\phi}^2 + 3\cos(\phi - \theta)\cdot{\dot\theta}^2\}}{25 - 9\cos^2(\phi - \theta)}$$
$$\ddot\phi = \frac{-3\sin(\phi - \theta)\{5{\dot\theta}^2 + 3\cos(\phi - \theta)\cdot{\dot\phi}^2\}}{25 - 9\cos^2(\phi - \theta)}$$
を得る。
(2) 定トルク回転
固定軸のところで，互いに逆向きの定トルクを加えた場合について解析する。トルクをそれぞれ $$\tau_\theta , \tau_\phi$$ とするとラグランジアンは，
$$L = 2ma^2\left\{\frac{5}{3}({\dot\theta}^2+{\dot\phi}^2) + 2\dot\theta\dot\phi\cos(\phi - \theta)\right\} + \tau_\theta\theta + \tau_\phi\phi$$
となる。ラグランジュ方程式をつくり，２階微分について解いて整理すると
$$\ddot\theta = \frac{3\sin(\phi - \theta)\{5{\dot\phi}^2 + 3\cos(\phi - \theta)\cdot{\dot\theta}^2\}+\displaystyle\frac{3}{4ma^2}\{5\tau_\theta - 3\cos(\phi - \theta)\tau_\phi\}}{25 - 9\cos^2(\phi - \theta)}$$
$$\ddot\phi = \frac{-3\sin(\phi - \theta)\{5{\dot\theta}^2 + 3\cos(\phi - \theta)\cdot{\dot\phi}^2\}-\displaystyle\frac{3}{4ma^2}\{3\cos(\phi - \theta)\tau_\theta - 5\tau_\phi\}}{25 - 9\cos^2(\phi - \theta)}$$
を得る。
Mathcadによる数値積分結果と，Algodooによるシミュレーション結果を下図に示す。
#ref(http://www14.atwiki.jp/yokkun?cmd=upload&act=open&pageid=318&file=SquareG.jpg)
#ref(http://www14.atwiki.jp/yokkun?cmd=upload&act=open&pageid=318&file=Square.bmp)
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Algodoo シーン
>http://www14.atwiki.jp/yokkun?cmd=upload&act=open&pageid=318&file=Square.phz
>http://www14.atwiki.jp/yokkun?cmd=upload&act=open&pageid=318&file=Square2.phz
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#Video(http://www.youtube.com/watch?v=XDhUDO9cRBs)
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