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****相対運動と換算質量
２質点が相互作用を及ぼしあいながら運動する２体系について考察しよう。
質量が$$m_1,m_2$$の２質点の位置を$$\boldsymbol{r}_1,\boldsymbol{r}_2$$とし，また相互作用は，
$$\pm\boldsymbol{F}=\pm F(|\boldsymbol{r}_1-\boldsymbol{r}_2|)\cdot\frac{\boldsymbol{r}_1-\boldsymbol{r}_2}{|\boldsymbol{r}_1-\boldsymbol{r}_2|}$$
と書けるものとする。簡単のため外力はないものとしよう。
２質点の運動方程式は，
$$m_1\ddot{\boldsymbol{r}_1} = \,\,\,\,\,\boldsymbol{F}$$ ---(1)
$$m_2\ddot{\boldsymbol{r}_2} = -\boldsymbol{F}$$ ---(2)
となる。辺々加えると，
$$m_1\ddot{\boldsymbol{r}_1}+m_2\ddot{\boldsymbol{r}_2}=0$$
ここで，系の総質量$$M=m_1+m_2$$を用いて，系の重心の座標を
$$\boldsymbol{r}_G=\frac{m_1\boldsymbol{r}_1+m_2\boldsymbol{r}_2}{M}$$
と書けば，重心の運動方程式
$$M\ddot{\boldsymbol{r}}_G=0$$ ---(3)
を得る。外力があれば，それが右辺にくることになる。
また，２質点の運動方程式から
$$\ddot{\boldsymbol{r}_1}-\ddot{\boldsymbol{r}_2} = \left(\frac{1}{m_1}+\frac{1}{m_2}\right)\boldsymbol{F}$$
が得られ，換算質量
$$\mu = \frac{m_1m_2}{M}$$
および，相対座標$$\boldsymbol{r}=\boldsymbol{r}_1-\boldsymbol{r}_2$$を用いて，
$$\mu \ddot{\boldsymbol{r}} = \boldsymbol{F} = F(r)\cdot\frac{\boldsymbol{r}}{r}$$ ---(4)
と書けることになる。これが相対運動の運動方程式である。
(1)(2)の運動方程式が，同値な２つの運動方程式(3)(4)に書き換えられたことになる。
もちろん，重心系において２つの質点の運動方程式をそれぞれ立てることは可能だが，相対座標と換算質量による表現の方が，簡明な記述を与える。
相互作用が保存力であれば，位置エネルギー
$$U=-\int\boldsymbol{F}\cdot d\boldsymbol{r}$$
が定義され，(4)をエネルギー積分すれば，エネルギー保存
$$E = \frac{1}{2}\mu \dot{\boldsymbol{r}}^2+U = const.$$
を得る。
相互作用が上で定義したように中心力であれば，外力ゼロのとき(4)と$$\boldsymbol{r}$$とのベクトル積をとることにより，角運動量保存
$$\boldsymbol{L} = \boldsymbol{r}\times \mu \dot{\boldsymbol{r}} = \boldsymbol{c}onst.$$
を得る。
$$E,\boldsymbol{L}$$が重心系における２質点の力学的エネルギーの合計および角運動量の合計であることはいうまでもないが，一応確認しておく。
$$K = \frac{1}{2}m_1(\dot{\boldsymbol{r}}_1-\dot{\boldsymbol{r}}_G)^2+\frac{1}{2}m_2(\dot{\boldsymbol{r}}_2-\dot{\boldsymbol{r}}_G)^2$$
$$ = \frac{1}{2}m_1\left(\dot{\boldsymbol{r}}_1-\frac{m_1\dot{\boldsymbol{r}}_1+m_2\dot{\boldsymbol{r}}_2}{m_1+m_2}\right)^2+\frac{1}{2}m_2\left(\dot{\boldsymbol{r}}_2-\frac{m_1\dot{\boldsymbol{r}}_1+m_2\dot{\boldsymbol{r}}_2}{m_1+m_2}\right)^2$$
$$ =\frac{1}{2}\frac{m_1{m_2}^2}{M^2}(\dot{\boldsymbol{r}}_1-\dot{\boldsymbol{r}}_2)^2+ \frac{1}{2}\frac{{m_1}^2m_2}{M^2}(\dot{\boldsymbol{r}}_2-\dot{\boldsymbol{r}}_1)^2$$
$$ = \frac{1}{2}\frac{m_1m_2}{M}}(\dot{\boldsymbol{r}}_1-\dot{\boldsymbol{r}}_2)^2 = \frac{1}{2}\mu \dot{\boldsymbol{r}}^2$$
$$\boldsymbol{L} = (\boldsymbol{r}_1-\boldsymbol{r}_G)\times m_1(\dot{\boldsymbol{r}}_1-\dot{\boldsymbol{r}}_G) + (\boldsymbol{r}_2-\boldsymbol{r}_G)\times m_2(\dot{\boldsymbol{r}}_2-\dot{\boldsymbol{r}}_G)$$
$$ = \left(\boldsymbol{r}_1-\frac{m_1\boldsymbol{r}_1+m_2\boldsymbol{r}_2}{m_1+m_2}\right)\times m_1\left(\dot{\boldsymbol{r}}_1-\frac{m_1\dot{\boldsymbol{r}}_1+m_2\dot{\boldsymbol{r}}_2}{m_1+m_2}\right)$$
$$ + \left(\boldsymbol{r}_2-\frac{m_1\boldsymbol{r}_1+m_2\boldsymbol{r}_2}{m_1+m_2}\right)\times m_2\left(\dot{\boldsymbol{r}}_2-\frac{m_1\dot{\boldsymbol{r}}_1+m_2\dot{\boldsymbol{r}}_2}{m_1+m_2}\right)$$
$$ = \frac{m_1{m_2}^2}{M^2}(\boldsymbol{r}_1-\boldsymbol{r}_2)\times(\dot{\boldsymbol{r}}_1-\dot{\boldsymbol{r}}_2) + \frac{{m_1}^2m_2}{M^2}(\boldsymbol{r}_2-\boldsymbol{r}_1)\times(\dot{\boldsymbol{r}}_2-\dot{\boldsymbol{r}}_1)$$
$$ = \frac{m_1m_2}{M}(\boldsymbol{r}_1-\boldsymbol{r}_2)\times(\dot{\boldsymbol{r}}_1-\dot{\boldsymbol{r}}_2) = \boldsymbol{r}\times\mu\dot{\boldsymbol{r}}\,\,\ldotp$$
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****相対運動と換算質量
２質点が相互作用を及ぼしあいながら運動する２体系について考察しよう。
質量が$$m_1,m_2$$の２質点の位置を$$\boldsymbol{r}_1,\boldsymbol{r}_2$$とし，また相互作用は，
$$\pm\boldsymbol{F}=\pm F(|\boldsymbol{r}_1-\boldsymbol{r}_2|)\cdot\frac{\boldsymbol{r}_1-\boldsymbol{r}_2}{|\boldsymbol{r}_1-\boldsymbol{r}_2|}$$
と書けるものとする。簡単のため外力はないものとしよう。
２質点の運動方程式は，
$$m_1\ddot{\boldsymbol{r}_1} = \,\,\,\,\,\boldsymbol{F}$$ ---(1)
$$m_2\ddot{\boldsymbol{r}_2} = -\boldsymbol{F}$$ ---(2)
となる。辺々加えると，
$$m_1\ddot{\boldsymbol{r}_1}+m_2\ddot{\boldsymbol{r}_2}=0$$
ここで，系の総質量$$M=m_1+m_2$$を用いて，系の重心の座標を
$$\boldsymbol{r}_G=\frac{m_1\boldsymbol{r}_1+m_2\boldsymbol{r}_2}{M}$$
と書けば，重心の運動方程式
$$M\ddot{\boldsymbol{r}}_G=0$$ ---(3)
を得る。外力があれば，それが右辺にくることになる。
また，２質点の運動方程式から
$$\ddot{\boldsymbol{r}_1}-\ddot{\boldsymbol{r}_2} = \left(\frac{1}{m_1}+\frac{1}{m_2}\right)\boldsymbol{F}$$
が得られ，換算質量
$$\mu = \frac{m_1m_2}{M}$$
および，相対座標$$\boldsymbol{r}=\boldsymbol{r}_1-\boldsymbol{r}_2$$を用いて，
$$\mu \ddot{\boldsymbol{r}} = \boldsymbol{F} = F(r)\cdot\frac{\boldsymbol{r}}{r}$$ ---(4)
と書けることになる。これが相対運動の運動方程式である。
(1)(2)の運動方程式が，同値な２つの運動方程式(3)(4)に書き換えられたことになる。
もちろん，重心系において２つの質点の運動方程式をそれぞれ立てることは可能だが，相対座標と換算質量による表現の方が，エレガントで簡明な記述を与える。
相互作用が保存力であれば，位置エネルギー
$$U=-\int\boldsymbol{F}\cdot d\boldsymbol{r}$$
が定義され，(4)をエネルギー積分すれば，エネルギー保存
$$E = \frac{1}{2}\mu \dot{\boldsymbol{r}}^2+U = const.$$
を得る。
相互作用が上で定義したように中心力であれば，外力ゼロのとき(4)と$$\boldsymbol{r}$$とのベクトル積をとることにより，角運動量保存
$$\boldsymbol{L} = \boldsymbol{r}\times \mu \dot{\boldsymbol{r}} = \boldsymbol{c}onst.$$
を得る。
$$E,\boldsymbol{L}$$が重心系における２質点の力学的エネルギーの合計および角運動量の合計であることはいうまでもないが，一応確認しておく。
$$K = \frac{1}{2}m_1(\dot{\boldsymbol{r}}_1-\dot{\boldsymbol{r}}_G)^2+\frac{1}{2}m_2(\dot{\boldsymbol{r}}_2-\dot{\boldsymbol{r}}_G)^2$$
$$ = \frac{1}{2}m_1\left(\dot{\boldsymbol{r}}_1-\frac{m_1\dot{\boldsymbol{r}}_1+m_2\dot{\boldsymbol{r}}_2}{m_1+m_2}\right)^2+\frac{1}{2}m_2\left(\dot{\boldsymbol{r}}_2-\frac{m_1\dot{\boldsymbol{r}}_1+m_2\dot{\boldsymbol{r}}_2}{m_1+m_2}\right)^2$$
$$ =\frac{1}{2}\frac{m_1{m_2}^2}{M^2}(\dot{\boldsymbol{r}}_1-\dot{\boldsymbol{r}}_2)^2+ \frac{1}{2}\frac{{m_1}^2m_2}{M^2}(\dot{\boldsymbol{r}}_2-\dot{\boldsymbol{r}}_1)^2$$
$$ = \frac{1}{2}\frac{m_1m_2}{M}}(\dot{\boldsymbol{r}}_1-\dot{\boldsymbol{r}}_2)^2 = \frac{1}{2}\mu \dot{\boldsymbol{r}}^2$$
$$\boldsymbol{L} = (\boldsymbol{r}_1-\boldsymbol{r}_G)\times m_1(\dot{\boldsymbol{r}}_1-\dot{\boldsymbol{r}}_G) + (\boldsymbol{r}_2-\boldsymbol{r}_G)\times m_2(\dot{\boldsymbol{r}}_2-\dot{\boldsymbol{r}}_G)$$
$$ = \left(\boldsymbol{r}_1-\frac{m_1\boldsymbol{r}_1+m_2\boldsymbol{r}_2}{m_1+m_2}\right)\times m_1\left(\dot{\boldsymbol{r}}_1-\frac{m_1\dot{\boldsymbol{r}}_1+m_2\dot{\boldsymbol{r}}_2}{m_1+m_2}\right)$$
$$ + \left(\boldsymbol{r}_2-\frac{m_1\boldsymbol{r}_1+m_2\boldsymbol{r}_2}{m_1+m_2}\right)\times m_2\left(\dot{\boldsymbol{r}}_2-\frac{m_1\dot{\boldsymbol{r}}_1+m_2\dot{\boldsymbol{r}}_2}{m_1+m_2}\right)$$
$$ = \frac{m_1{m_2}^2}{M^2}(\boldsymbol{r}_1-\boldsymbol{r}_2)\times(\dot{\boldsymbol{r}}_1-\dot{\boldsymbol{r}}_2) + \frac{{m_1}^2m_2}{M^2}(\boldsymbol{r}_2-\boldsymbol{r}_1)\times(\dot{\boldsymbol{r}}_2-\dot{\boldsymbol{r}}_1)$$
$$ = \frac{m_1m_2}{M}(\boldsymbol{r}_1-\boldsymbol{r}_2)\times(\dot{\boldsymbol{r}}_1-\dot{\boldsymbol{r}}_2) = \boldsymbol{r}\times\mu\dot{\boldsymbol{r}}\,\,\ldotp$$
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