背理法Wiki

　できれば分野と証明した人を書き添えてください。
　今のところ数学と数学以外のカテに分類して募集していますが、投稿が増えてきたらもっと細かく分類します。

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• 数学

　・素数は無限個存在する(数論・ユークリッド）

素数が有限個しかないと仮定する。
すると最大の素数が存在するはずだから、以下の素数すべてを掛け合わせて1を足した数

を考える。するとこれは以下のどの素数でも割り切れないから、新しい素数であるかまたはより大きくより小さい素数で割り切れる。
いずれの場合にもより大きい素数が存在することになるから仮定に矛盾。
よって素数は無限個存在する。

　・は無理数(数論・ピタゴラス）

が有理数だと仮定すると、という既約分数として書くことができる。
両辺を二乗して

よっては偶数。 とおくと、。これを上式に代入すると、

従ってmも偶数となり、これはが既約分数とした仮定に反する。
よっては無理数。

　・体から環への準同型写像は単射(群論・?)

でと仮定すると、
は体の元だから必ずその逆元が存在して、

ここでは準同型写像だから、でなければならないから矛盾。
よってでなければならないが、は単射、だから証明された。

　・が既約ならも既約

i)が1次以下の場合は明らかに成立。

ii)が2次の場合
　　が可約だと仮定する。
　　すると2次多項式だからと書けるはずだが、となり、は可約となって矛盾。
　　従っては既約でなければならない。

iii)次の場合
　　次までのについて命題が成立する場合に、次についても成立することがii)と同様に容易に示されるから数学的帰納法により全ての次数の多項式について成立する。

　・アイゼンシュタインの既約判定法の証明(群論・?)
　・カントールの定理(集合論・カントール)
　・実数区間の非可算性:区間縮小法
　・実数区間の非可算性:対角線論法(集合論・カントール）→対角線論法撲滅計画

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• 数学以外

　・二将軍問題が有限回のメッセージ交換で解決できない(フォルトトレランス・)
　・停止性問題の判定不可能性(計算理論・チューリング）
　・バーナンキの背理法（経済・バーナンキ）

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• テスト -- 名無しさん (2008-07-12 00:30:47)
• 哲学：「死が恐るべきものである、という根拠は存在しない」ソクラテスの弁明（死を恐れるとは、「死が恐ろしいものである」と知っている、という表明だが、その人は（自分も含めて）死を知らない。これは矛盾） -- jojompa (2010-04-10 14:41:27)