nopu@wiki
nopu@wiki

いろいろな関数列

一様収束と各点収束 

Ex. 一様収束する
f_n(x) := \frac{1}{n(1+x^2)}
\lim_{n \to \infty} f_n(x) \to 0 \mbox{ uniformly on } \mathbb{R}

Ex. 各点収束するけど一様収束しない。
f_n(x) := \frac{x^2+nx}{n} \quad n=1,2,\cdots
f_n(x) \to x \mbox{ pointwise}
Rem. この例では，区間を適当に限れば一様収束になる。
x \in [-b,b] \mbox{ for } 0<b<\infty
f_n(x) \to x \mbox{ uniformly } on [-b,b]

Ex. 各点収束するけど一様収束しない。(本質的)
u(x):unit step ft.
u_n(x):=u(x-n)

Ex. 概収束or各点収束するけど一様収束しない。
(0,1)の有理数に漏れなく番号をつけたものを {rn} とする。
 f_n(x) := \begin{cases} 1 & x \in \{ r_1, r_2, \cdots, r_n \} \\ 0 & \mbox{otherwise}\end{cases} 
これは f≡0に概収束し，特にDirichlet関数に各点収束するが，一様収束はしない。

Rem. 単調収束定理が使える
fnは単調増加列なので，単調収束定理によって f≡0 に概収束・ノルム収束することが分かる。

連続関数の列 

Ex. 連続関数列が不連続関数に収束
f_n(x) := x^n \mbox{ on the set } [0,1]
\lim_{n \to \infty} f_n(x)= \begin{cases} 0 & (0 \leq x < 1) \\ 1 & x=1\end{cases} \mbox{ pointwise}
※連続関数列は，一様収束すれば連続関数になる。

Ex. 連続関数列が微分可能でない連続関数に収束
f_n(x) := x^{1+\frac{1}{2n-1}} \mbox{ on the set } [0,1]
\lim_{n \to \infty} f_n(x) \to |x| \mbox{ pointwise}
※微分可能列は，導関数列が一様収束すれば再び微分可能で，しかも極限の微分は導関数列の極限と一致する。


可積分関数の列 

Ex. 可積分の列が可積分にならない
f_n(x):\mathbb{R}^d \to \mathbb{R}; \ := \begin{cases} 1 & \|x\|<n \\ 0 & \|x\|\geq n\end{cases}

Ex. 積分と極限の交換ができない
f_n(x) := \begin{cases} n & x \in [0,\frac{1}{n}] \\ 0 & x \in (\frac{1}{n},1]\end{cases}

Ex. リーマン可積分の列がリーマン可積分にならない
[0,1]の全ての有理数に番号をつけたものを{rn}とする。
f_n(x) := \begin{cases} 1 & x \in \{ r_1,r_2,\cdots,r_n\} \\ 0 & \mbox{otherwise}\end{cases}
Cf. 高々可算個の不連続点をもつ有界関数はリーマン積分可能

タグ：

+ タグ編集
  • タグ：

このサイトはreCAPTCHAによって保護されており、Googleの プライバシーポリシー と 利用規約 が適用されます。

タグの更新に失敗しました
エラーが発生しました。ページを更新してください。
ページを更新
「いろいろな関数列」をウィキ内検索
最終更新：2009年08月15日 00:01
ツールボックス

下から選んでください:

新しいページを作成する
ヘルプ / FAQ もご覧ください。