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シグモイド関数

シグモイド関数

\sigma( x ) := \frac{1}{1+e^{-x}} = \frac{e^x}{1+e^x}

 \frac{\mathrm{d} }{ \mathrm{d} x }\sigma( x ) = \frac{e^x}{(1+e^x)^2} = \sigma(x)\{ 1 - \sigma(x)\}

\sigma(-x) = e^{-x} \sigma(x)
\sigma(x) - \sigma(-x) = \frac{e^x - 1}{e^x + 1} = \tanh( x )

\frac{1}{\sigma(x)} = e^{-x} ( 1 + e^x )
e^x = \frac{\sigma(x)}{\sigma(x)-1}

シグモイド関数対

\tau( x ; h) := \frac{1}{\sigma(h)-\sigma(-h)} \left( \sigma( x+h ) - \sigma(x-h)\right)
 = \frac{e^h+1}{e^h-1}\left( \sigma( x+h ) - \sigma(x-h)\right) = \coth(h) \left( \sigma( x+h ) - \sigma(x-h)\right)
 = \frac{e^h+1}{e^h-1}\frac{e^x ( e^{2h} - 1 )}{(e^{x+h}+1)(e^x + e^h)} = \frac{e^x ( e^{h} + 1 )^2}{(e^{x+h}+1)(e^x + e^h)} = (e^h + 1)^2 \sigma(x-h) \sigma(-x-h)

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最終更新：2011年11月21日 18:51
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