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ルベーグ積分の収束定理

概収束からノルム収束に持っていくための条件

単調列に対する結果 

実際に使うときは，条件の２つめを確かめるときに
答えが出てしまうところがおいしい。

Th. Beppo-Leviの単調収束定理
f_n \in L^1(\mathbb{R}^d) が以下を満たすとする。
1. 単調増加列 f_n \leq f_{n+1}
2. 積分列が収束 I := \lim_{n \to \infty} \int f_n(x) dx < \infty
このとき，極限関数 f=lim fn もまた可積分で，その積分は I に一致する。
\int f(x)dx = I

Cor. Brezis版
条件をa.e.に緩めてもおｋ
Ω⊂Rd
f_n \in L^1(\Omega) が
1. ほとんどいたるところ単調増加
   f_1(x) \leq f_2(x) \leq \cdots \mbox{ a.e.) x \in \Omega 
2. 積分が有限
  \sup_{n \in \mathbb{N}} \int_\Omega f_n(x) dx < \infty
このとき概収束極限 f_n \to f \mbox{ a.e.} が存在し，
さらに，ノルム収束する。
  \| f_n - f\|_{L^1(\Omega)} \to 0

Ex. 積分列が収束しなきゃだめ
f_n(x):\mathbb{R}^d \to \mathbb{R}; \ := \begin{cases} 1 & \|x\|<n \\ 0 & \|x\|\geq n\end{cases}

Ex. 単調列じゃなきゃだめ
f_n(x) := \begin{cases} n & x \in [0,\frac{1}{n}] \\ 0 & x \in (\frac{1}{n},1]\end{cases}

Cor. 非負級数の項別積分(B.Levi)
f_n \in L^1(\mathbb{R}^d)
1. 非負性 f_n \geq 0
2. 級数が収束 S := \sum^\infty \int f_n(x)dx < \infty
\Rightarrow \int \sum^\infty f_n(x) dx = S

一般の関数列 

Th. Lebesgueの優収束定理
上から一様に押さえられていたらおｋ
f_n \in L^1(\mathbb{R}^d)
1. 概収束  {}^\exists f \mbox{ s.t. } f_n \to f  \mbox{ a.e. }x \in \mathbb{R}^d 
2. 一様有界性 {}^\exists G \in L^1(\mathbb{R}^d) \{}^\forall n \mbox{ s.t. } |f_n| \leq G
このとき，極限関数も可積分で，
f \in L^1(\mathbb{R}^m)
積分と極限は交換可能
\int f(x) dx = \lim_{n \to \infty} \int f_n(x) dx

Cor. Brezis版
最後の結論は，以下のノルム収束と同値。こっちのが使いやすい。
\| f_n - f\|_{L^p(\mathbb{R}^d)} \to 0

Cor. 極限関数の可積分性
上から一様に押さえられていたら極限も可積分
f_n \in L^1(\mathbb{R}^d)
一様有界性 {}^\exists F \in L^1(\mathbb{R}^d) \ {}^\forall n \mbox{ s.t. } |f_n| \leq F
\Rightarrow f := \lim_{n \to \infty} f_n \in L^1(\mathbb{R}^d)

Cor. 積分区間が単調増加列
A_1 \subset A_2 \subset \cdots \subset \mathbb{R}^d; \quad A := \bigcup_{n=1}^\infty A_n
f:A \to \overline{\mathbb{R}}
積分列が収束 I := \lim_{n \to \infty} \int_{A_n} f(x) dx < \infty
\Rightarrow \int_A f(x) dx = I

EgorovとLuzin

Egorovの定理
E上の収束可測収束列は、Eの測度が有限ならほとんど至る所一様収束する。

Luzinの定理
区間[a,b]上の可測関数は、"ほとんど"連続である。

I:有界閉区間
f∈L(I), a.e.Iで有限
^\forall \epsilon >0 {}^\exists \phi \in C(I) \mbox{ s.t. }
 m(\{ x \in I | f(x) \neq \phi(x) \}) < \epsilon

Ex. Dirichlet's 関数
I=[0,1]上の，有理点で1，それ以外は0をとる関数（ディリクレ関数）は，
a.e.I で 恒等関数 g(x)≡0 に等しい。

微積分の交換 

優収束定理の系として得られる。

Cor. パラメータ付きの積分

Cor. 微分と積分の交換

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最終更新：2014年12月19日 17:46
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