三角行列

代数構造

下(上)三角行列は通常の和と積で非可換環(多元環, 代数)をなす。

(i) 
(ii) 

Rem. 
積は非可換だが，対角成分のみに着目すれば可換であり，
しかもそれは対角同士の積である。


Ex. 

固有値

Th. 
三角行列の固有値は，その対角成分である。
 の固有値は 1, 4, 6

Schur分解

任意の正方行列は、ユニタリ相似変換によって上三角行列にすることができる。
特に，対角成分は固有値である。

i.e.
任意の正方行列は
(i) 三角化可能で、しかも
(ii) 元の行列とユニタリ相似である。
そして、三角行列の固有値はその対角成分であるから、
(iii) 元の行列の固有値は三角化さえすれば求められる。