体論

体

Def. 体(field)
(K,＋,×)は加減乗除が自由にできる。
F1. Fは加法群
F2. F×は可換群
F3. 分配律

※ 積の逆元を入れた可換環と思えばよい。
※ 積が非可換のときは斜体

Def. 体
1. 整数に割り算をいれたもの。

2. 剰余類体

Def. Galois体（有限体，素体）GF(p)
p（素数）個の元からなる体
pをGF(p)の標数という。
Q,Cなどは標数0

Prop. 
標数pの有限体において，
p≡0

環から体の構成

次の２つがある。

Th. 商体
整数環から有理数体を構成したときの方法。
一般に整域であれば，この方法によって体を構成することができ，これを商体という。
Ex. 有理関数体は多項式環の商体

Th. 剰余体
イデアルから誘導される同値関係による商集合は一般に環となる（剰余環）。
特に，素イデアルで割ると聖域，極大イデアルで割ると体になる（剰余体）。

体の拡大

Def. 代数的閉包
Def. 代数的閉体
Ex. 複素数体は代数的閉体