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勾配は接平面に直行する

\phi:\mathbb{R}^3 \to \mathbb{R} スカラー場
E_C := \{ x \in \mathbb{R}^3 | \phi(x)=C \} 等位面
\mathbf{r}(t):[a,b] \to E_C 等位面内の曲線

このとき，恒等的に \phi(\mathbf{r}(t)) \equiv C となるので，これをtで微分する。
\frac{\partial \phi}{\partial x} \frac{d x}{d t} + \frac{\partial \phi}{\partial y} \frac{d y}{d t} + \frac{\partial \phi}{\partial z} \frac{d z}{d t} \equiv 0
⇔ \nabla \phi \cdot \dot{\mathbf{r}} \equiv 0

\dot{\mathbf{r}(t)}は各点\mathbf{r}(t)における接ベクトルとなっているから，
逆に次のようなものを考えると，等位面の点Pにおける接平面となる。
T_P E_C := \{ \dot{\mathbf{r}}(t) | \mathbf{r}(0) = P \}

先の議論から任意のv \in T_P E_Cに対し (\nabla \phi)_P v = 0
従って各点Pにおける勾配の値はPにおける等位面の法ベクトルである。

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最終更新：2009年08月23日 11:17
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