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実数の完備性

以下は実数の完備性を特徴付ける同値な命題であり，
同じく順序体である有理数では成り立たない。

Axiom of Completeness
Every nonempty set of real numbers that is bounded above has a least upper bound.

Th. 
上限（下限）とは，上界（下界）側からちょっとでも踏み込むと超えてしまうギリギリライン。
\sup A = \alpha \in \mathbb{R}
⇔
1. {}^\forall x \in A \ x \leq \alpha
2. {}^\forall \epsilon>0 \ {}^\exists x \in A \mbox{ s.t. } \alpha - \epsilon < x

Th. Nested Interval Property
For each n∈N, assume we are given a closed interval In:=[an,bn].
Assume also that each In contains In+1.Then, the resulting nested sequence of closed intervals 
  I_1 \ni I_2 \ni \cdots 
has a nonempty intersection; that is, 
  \bigcap_{n=1}^\infty I_n \neq \emptyset 

Th. Monotone Convergence Theorem
If a sequence is monotone and bounded, then it converges.

Th. Bolzano-Weierstrass
Every bounded sequence contains a convegent subsequence.

Th. Cauchy Criterion
A sequence converges if and only if it is a Cauchy sequence.

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最終更新：2009年08月15日 16:48
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