射影

1. 直積に対する射影（標準的射影）
2. 商集合に対する射影（自然な射影）
3. 線形空間における射影（冪等作用素）
4. ファイバー空間（直積の拡張）における射影

などが考えられる。
冪等については，片側逆写像との関係が深い。

直積に対する射影

いずれも canonical projection または natural projection という。
圏論的な文脈では，忘却写像ともいう。

順序対，デカルト積と射影

２つの集合の直積を特にデカルト積 Cartesian product という。

X, Y : set

p_X, p_Y を直積集合X×YからX,Yへの射影という。

選択関数，直積と射影

添字集合 
N で添字付けられた集合系 
（i.e.  写像Xを集合系という。）

を，選択関数という。
選択関数の全体を直積といい，

と書く。

順序対  は，選択関数と考えることができる。
即ち， というように写像を定める書き方だと思えばよい。
つまり，直積とは，写像の族である。

逆に添字iを固定して，選択関数を対応させる関数を，i-射影という。

Th.  i-射影は全射
証明には選択公理を使う。

商集合に対する自然な射影

同値類，商集合と射影

切断と引き込みも参照

X : set
 : Xの同値関係 equivalence relation ~ on X
 x の同値類 equivalence class
同値類の元を代表という。
商集合X/~の各類Aから一つずつ元aをとって集めた集合{a, b, ...}を代表系という。
代表系と商集合は集合として同型である。（つまり全単射が存在する。）
 Xの~による商集合 = 同値類の全体を集めた族

各元xに対して，xの同値類を対応させる全射を，自然な射影という。

また，各類Aから一つの代表aを選んでくる写像sを，射影pの切断という。

種々の構造と射影

線形空間の射影

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