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数列

収束列 

Th. 収束列の空間l上定義された，収束列に収束先を対応させる作用素Lは体の同型になる。
L : l \to \mathbb{R}; \{ a_n \} \mapsto \lim_{n \to \infty} a_n
  L(\{k a_n\}+\{l b_n\}) = ka+lb = k L(\{a_n\})+l L(\{b_n\})
  L(\{a_n\}\{b_n\}) = ab = L(\{a_n\})L(\{b_n\})

Th. さらに順序を保つ
{}^\forall n \quad a_n \leq b_n  \Rightarrow L(\{a_n\}) \leq L(\{b_n\})

Th. Squeeze Theorem
{}^\forall n \quad a_n \leq b_n \leq c_n
a_n \to l \mbox{ and } \leq c_n \to l \, \Rightarrow b_n \to l

注. 発散列の和は収束するかもしれない。
x_n := n, \quad y_n := -n
  \Rightarrow (x_n+y_n) = 0 \to 0 \, (n \to \infty)

Th. Cesaro Means
0. c_n(a_k) := \frac{a_1 + a_2 + \cdots + a_n}{n}
1. x_n \to a \Rightarrow c_n(x_k) \to a
2. {}^\exists x_n \mbox{ : divergent seq} \cap c_n(x_k) \mbox{ : convergent seq}

Th. Monotone Convergence Theorem
有界な単調列は収束する

Ex. Σ1/n^2
s_n := \sum_{k=1}^n \frac{1}{k^2}
  \Rightarrow s_n \mbox{ bouded }(<2) \mbox{ and monotone}

CEx. Σ1/n
部分和は単調だが有界でない

Th. 上極限と下極限
極限が存在することは，上極限と下極限が一致することと同値

√2に収束する有理数列
x_1 := 2
x_{n+1} := \frac{1}{2} \left( x_n + \frac{2}{x_n} \right)

部分列 

Lem. 収束列の部分列は，もとの数列と同じ極限に収束する

Th. Bolzano-Weierstrass
有界列は収束部分列を含む。
証明は，数列を集合に潰して，カントールの区間縮小法を使う。

級数 

Th. 級数が収束する列の空間s1上定義された，列に級数の和を対応させる作用素Sは線形作用素
S:s^1 \to \mathbb{R}; S( {a_n} ) \to \sum a_n
S(\{k a_n\} + \{l b_n\}) = kA+lB = k S(\{a_n\}) + l S(\{l b_n\})

Cor. 定義域を絶対収束級数l1に限れば，ここにCauchy積入れて環の同型
S(\{a_n*b_n\})=S(\{a_n\})S(\{b_n\})
これは二重級数のところで扱われる。

Th. Comparison Test
Th. Absolute Convergence Test
Th. Alternating Series Test
Th. Ratio Test
Th. Dirichlet's Test
Th. Abel's Test

並べ替え 

Th. 絶対収束級数の和は並べ替えによって不変
二重級数

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最終更新：2009年07月18日 13:47
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