数学の歴史

"Real mathematics must be justified as art if it can be justified at all."
--- G.H.Hardy "A Mathematician's Apology" 1940

"Die ganzen Zahlen hat der liebe Gott gemacht, alles andere ist Menschenwerk."
"The natural numbers are the work of God. All of the rest is the work of mankind."
--- L.Kronecker

"No one shall expell us from the paradise that Cantor has created for us."
--- D.Hilbert

"Thus there is no function f(x), or part of a function,
 which cannot be expressed by a trigonometric series."
--- J.Fourier "Theorie Analytique de la Chaleur" 1822

"数学は科学の女王であり、数論は数学の女王である。"
--- ガウス

（数学者の点数）"自分は25点、リトルウッドは30点、ヒルベルトは80点、ラマヌジャンは100点"
--- Hardy

---

実数論

ポイント
集合論はカントールが始めた。
集合論的思考は19cには普及していない。
代数学(体概念)と解析学(完備性)の交差点。
  実数の完備性　⇒　区間縮小法（単調収束定理）　⇒　Bolzano-Weierstrass ⇒　Cauchy列の収束
  実は，全て同値

先駆
Cauchy(1789-1857), Bolzano, Abel, Dirichlet, Weiersterass and Riemann (By Abbott)
Cauchy 解析学の開祖。ε論法
Bolzano 無限に関する考察
Dirichlet function 1829
Weierstrass 一様収束

実数の定義 1870s
Georg Cantor (1872)
Charles Meray (1835-1911)
Heinrich Heine (1821-1881)
Richard Dedekind (1831-1916)

Dedekindの実数
Qの切断（要するに集合）を「数」とみなし，そこに集合演算として和と積を入れ，
さらに包含関係によって大小関係を入れたもの(orderd field)を実数とする。

Cantorの実数
QのCauchy列の収束先を実数とするもの。つまり完備化。

集合論

Cantor が開祖

Cantor's Theorem
 冪集合の濃度は台集合より真に大きい。
 →「無限」の比較。

Schröder-Bernstein Theorem 1896,1898
A→B,B→Aなる２つの単射が存在すれば濃度は等しい。

連続体仮説; Continuum Hypothesis (Cantor)

Kurt Gödel 1940
連続体仮説は否定できない。

Paul Kohen 1963
連続体仮説は証明できない。

関数の連続性と微分

初めは、多項式とかsinのように記号で表されるものを関数と呼んでいた。
現代的な関数概念は、Fourierの登場と、Dirichletによる定義に始まる。

Pierre de Fermat 1629
最適化問題における接線の利用
Fermat は平均値の定理も使ってた。

Michel Rolle 1652-1719
(中間値の定理の初出) Euler, Gaussも使ってた。

d'Alembert 1750s
波動方程式の三角級数による解法を研究。

Fourier 1805
Fourier級数展開を発表
熱方程式の研究において。
(Fourier級数の収束の条件と種類に関する議論はかなり最近まで続く。
 Fejer, Carleson, Kolmogorov)

Cauchy, Bolzano, Weierstrass 1820s
連続性のちゃんとした定義
　←それまでは "unbroken"とか"no jumps or gaps"とか言ってた

Bolzano 1817
中間値の定理を初めて証明

Cauchy 1821
Taylor展開できないC∞関数の発見

Gaston Darboux
平均値の定理を初めて定式化

Dirichlet 1830s
関数の現代的な定義

19c
極限関数の出現
→ 入出力関係から捉えた関数概念の成立
　←それまでは多項式・三角関数といった式で表せるもののみを指していた

Weierstrass 1872
任意の点で微分不可能な連続関数を発見
(実は Bolzano も 1830 にそのような結果出しているが、未公表)

K.J. Thomae 1875
有理点で微分不可能な連続関数を発見

Weierstrass 1885
多項式近似定理（閉区間上の連続関数は、多項式列で一様収束させることができる。）
C∞級についてのみ言及したTaylor展開よりよっぽど強い定理。

Fejer 1904
Fourier級数のCesaro和による収束の証明

Lebesgue 1904
有界変動関数はa.e.で微分可能
　→微分できない点の被覆が測度零になることを証明する。
　←被覆は何種類かあるけど，Vitaliの被覆が有名

積分

はじめは微分の逆演算として認識されていた。
i.e. F'=f となる F を探す作業。

その後、FourierやDirichletの登場で関数概念の一般化が起こり、
ごく自然に不連続関数が出てきたことに伴って、面積という側面から積分を捉えるようになった。
微分の逆演算という観点では、ステップ関数すら積分できないからである。

Newton, Leibniz, Fermat
微分の逆演算と求積法の関係を研究。

Cauchy 1850年代
微分から独立した積分の定義
「曲線の下の面積」としての積分を定義。連続関数を主眼に置いていた。
この時点から、微積分学の基本定理が定理として重要になってくる。

Riemann 1854
『三角級数によって表現できる関数について』
リーマン和の極限による積分の定義（Cauchyの定義を洗練した）
中間値の定理が本質的に使われる→連続性が要になってくる。
R可積分の正体は、ほとんど至る所で連続な有界関数(Lebesgueによる特徴付け)
微積分学の基本定理は、適当な仮定をおいて成り立つ(元に戻せない微分がある。)

Henri Lebesgue 1901,1902
測度による積分の定義（いわゆるLebesgue積分）
R可積分⇒L可積分で、しかも積分の値が一致する。
一様収束より弱い収束でいろいろ扱えるようになった。
弱点１. 広義積分ではRでしか存在しないものが存在する。
弱点２. L積分でも、全ての微分を積分することはできない。

Vitali 1905
Lebesgue非可測な集合の存在（選択公理はこの前年にZermeloによって示された）

O.Nikodym 1930
Radon-Nikodymの定理

Jaroslav Kurzweil, Ralph Henstock 1960s
generalized Riemann integrals
RとL両方を真に包含するさらに大きなクラスの積分
任意の微分を積分して元にもどすことができる。
すなわち、これでもって初めて、何の条件を加えることもなく以下が証明される。

スロバリー 1970
選択公理を認めなければ，Rnの部分集合は全てL可測

確率論

20世紀前半が確率論・確率過程論とも黄金時代。
1930s コルモゴロフの公理的確率論，ウィーナーの確率解析
1950s 伊藤の確率積分
1970s Malliavinの無限次元解析

Pascal,Fermat 1654
「往復書簡」
賭博の中断に関する「分配問題」
ランダムウォークの問題でもある。
確率論のはじまり。

Jacob Bernoulli 1713
大数の弱法則（ベルヌーイの大数の法則）

A. de Moivre 1718
de Moivre-Laplaceの定理（二項分布の極限としてのガウス密度関数）

Brown 1827
ブラウン運動の観察

Laplace 1812
「確率論の解析的理論」
差分方程式と母関数による統一的扱い。
ベイズの定理とか漸近理論とか。
19世紀確率論は全てこれに依る。

Bachelier 1900
微粒子運動の抽象化（確率過程によるフランス国債のオプションの価格形成の説明）

Lebesgue 1902
測度論

Einstein 1905
熱方程式によるブラウン運動の説明。原子の実在を結論。

Borel 1909
大数の強法則（[0,1)上のルベーグ測度についての考察）
→ F.Hausdorff, G.H.Hardy, J.E.Littlewoodへ引き継がれる

Perrin 1913
アインシュタインの検証。原子の存在を確認。
その軌道を「任意の点で微分不能な曲線」であると結論。

Wiener 1923
ウィーナー測度（∞次元のガウス測度）
確率解析の幕開け

Chapman 1928
マルコフ過程の研究。

Kolmogorov 1931
軌跡が連続なマルコフ過程と楕円型発展方程式の関係
確率過程論とPDE，DGとのつながり。

Kolmogorov 1933
公理主義的確率論
「測度論に基づく確率論」「確率論の基礎概念」

Khinchin 1933
極限定理のPDE論的考察

Wiener 1930s終盤
ブラウン運動のフーリエ係数展開

Levy 1937
レヴィ過程（連続部分と飛躍部分は独立）

Hopf 1937
『Ergodentheorie』
エルゴード性にまつわる話題

Wiener, Kolmogorov 1940s
フィルタリングと補間

伊藤清 1942,1946
確率積分，確率微分方程式の導入
確率解析の第二幕
"On Stochastic Process" '42
「Markoff過程ヲ定メル微分方程式」'42
"On a Stochastic Integral Equation" '46

関数解析

有限次元の算法を∞次元に拡張する研究といえる。
個々の問題を離れ，問題をクラスとして扱う一般化・抽象化の方向に進む。

Fredholm 1900
積分方程式の数値解法に関する研究

Banach 1932
「線形作用素論」

Kantorovich 1948
"Functional analysis and applied mathematics"
数値解析における関数解析の有用性を主張

群論

はじめは体が重要視され，時代が下るとともに群が重要視されるようになった。

Cauchy 置換論
Cayley 抽象群論(1854) イギリス記号代数学派の系譜 (By 外部リンク)
Dedekind 代数学講義(1856-58) 置換論・LagrangeとGaloisの方程式論，体の定義
Jordan 論考(1870)
Hölder (1889)

数理論理学

証明論と意味論がある。

---

年代別

Euclid 素数が無限個あることの証明
Pythagoras (500 B.C.) の発見

Pierre de Fermat (1601-1665)
Blaise Pascal (1623-1662) 確率論。『パンセ』
Sir Isaac Newton (1643('42)-1727)
Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716)
Jakob Bernoulli (1654-1705) ベルヌーイ兄弟の兄。確率論。
Johann Bernoulli (1667-1748) ベルヌーイ兄弟の弟。ダニエルの父。論争まみれ。
Abraham de Moivre (1667-1754)

Daniel Bernoulli (1700-1782) ベルヌーイ家最強。流体力学のベルヌーイの法則。
Jean Le Rond d'Alembert (1717-1783)
Pierre-Simon Laplace (1749-1827) 確率論の創始。ラプラス変換の発見
Joseph Fourier (1768-1830)
Robert Brown (1773-1858) 植物学者。ブラウン運動の研究。
Johann Carl Friedrich Gauß (1777-1855) 19世紀最強
Bernhard Bolzano (1781-1848)
Augustin-Louis Cauchy (1789-1857) 数論，有限群論，複素関数論，ε論法

Niels Henrik Abel (1802-1829)
Peter Lejeune Dirichlet (1805-1859) 写像としての関数の定義（それ以前は，2x+1とかのことだった。）
Ernst Eduard Kummer (1810-1893) クロネッカーの師。複素数による素因数分解が一意でないことを発見。
Karl Weiersterass (1815-1897) Dirichletの原理の穴を指摘。
Arthur Cayley (1821-1895)
Heinrich Heine (1821-1881)
Leopold Kronecker (1823-1891) カントールの師
Bernhard Riemann (1826-1866) 多様体の概念。同世代には認められなかった多産の先駆。
Richard Dedekind (1831-1916)
Charles Meray (1835-1911)
Marie Ennemond Camille Jordan (1838-1922)
Gaston Darboux (1842-1917)
Georg Cantor (1845-1918) 集合論，対角論法
Felix Christian Klein (1849-1925) エルランゲンプログラム

Jules Henri Poincaré (1854–1912)
Otto Ludwig Hölder (1859-1937)
David Hilbert (1862-1943) 高木貞治の師
Felix Hausdorff (1868-1942) Topology草創期の一人。
Élie Joseph Cartan (1869-1951) H.Cartanの父。微分幾何学とLie群の研究。「座標を離れる」目的で微分形式を創始
Félix Édouard Justin Émile Borel (1871-1956) 測度論の創始者
Κωνσταντίνος Καραθεοδωρή (1873-1950) 測度論の創始者
René-Louis Baire (1874-1932) 測度論の創始者。カテゴリー定理(1899)
Henri Léon Lebesgue (1875-1941) 測度論の創始者
Francesco Paolo Cantelli (1875-1966) 
Godfrey Harold Hardy (1877-1947) 解析的整数論。ラマヌジャンを「発見」した。ニュートン以来大陸側に遅れていた英国数学を復興。
Felix Bernstein (1878-1956) 確率論のロシア人とは別人。Cantorの弟子。集合論
John Edensor Littlewood (1885-1977) ハーディと共同研究30年
Władysław Hugo Dionizy Steinhaus (1887-1972)
Stefan Banach (1892–1945)
Алекса́ндр Я́ковлевич Хи́нчин (1894–1959) 確率論の大家。統計力学。ウィーナーヒンチンの定理
Norbert Wiener (1894-1964) ブラウン運動の研究。

Андре́й Никола́евич Колмого́ров (1903-1987) 確率の公理化，熱力学におけるエントロピーの発見
Kurt Gödel (1906-1978)
Paul Joseph Cohen (1934-2007)
Nicolas Bourbaki (1935-)
Михаил Леонидович Громов (1943-)

---

Bernoulli家(17-18c,Basel)

Wikiの家系図
Nicolaus バーゼル市長
　Jacob 確率論（大数の弱法則，ベルヌーイ試行）レムニスケートの発見，ベルヌーイ多項式，ベルヌーイ数
　Nicolaus 画家
　　Nicolaus I 数学者
　Johann(Jean) 微積分学の確立（Leibniz流，l'Hôpitalの定理，カテナリーの発見，指数関数の微分）Eulerの師
　　Nicolaus II
　　Daniel ベルヌーイ家最強(wikiより)。体力学（Bernoulliの法則）Hydrodynamica「水力学」
　　Johann II
　　　Johann III
　　　Jakob II