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曲面論

曲線による定義 

Def. 曲線Cに制限した微分
関数：f \in C^\infty (\mathbb{R}^n)
曲線：C : I=[0,1] \to \mathbb{R}^n
始点P := C(0)
曲線Cに制限した関数f
f(C(t)) = (x_1(t), x_2(t), \cdots, x_n(t))
t=0における微分係数vC(f)とおけば，
v_C(f) := \frac{df(C(t))}{dt} \Big|_{t=0} = \sum_{j=1}^n \left( \frac{\partial f(x)}{\partial x_j} \right)_P \frac{dx_j(t)}{d(t)} \Big|_{t=0} =: \sum_{j=1}^n \frac{dx_j(0)}{dt} \left( \frac{\partial}{\partial x_j} \right)_P (f)
vC(f) は線形作用素
v_C : C^\infty(\mathbb{R}^n) \to \mathbb{R}
ただし，関数fに対して，座標変数による偏微分係数を対応させる偏微分作用素を以下で定義する。
\left( \frac{\partial}{\partial x_j}\right)_P : f(x) \mapsto \left( \frac{\partial f(x)}{\partial x_j} \right)_P

Def. 曲線Cの始点Pにおける接ベクトル
\frac{d C(0)}{dt} = (\frac{dx_1(0)}{dt},\frac{dx_2(0)}{dt},\cdots,\frac{dx_n(0)}{dt}) = \sum_{j=1}^n \frac{dx_j(0)}{dt} \mathbf{e}_j
ただし，標準基底を以下で定義する。
\mathbf{e}_j := (0,\cdots,0,\overbrace{1}^j,0,\cdots,0)

Def. 接ベクトル空間
vCはC'(0)と同一視できる。すなわち，以下の対応付けにより，
\left( \frac{\partial}{\partial x_j}\right)_P \sim \mathbf{e}_j
微分作用素の集合
B := \left \{ \left( \frac{\partial}{\partial x_1}\right)_P, \left( \frac{\partial}{\partial x_2}\right)_P, \cdots, \left( \frac{\partial}{\partial x_n}\right)_P\right \}
は一次独立であり，点Pにおける任意の接ベクトルはBの線形結合で与えられる。
Span(B)を点Pにおける接ベクトル空間といい，
\mathrm{T}_P \mathbb{R}^n := \mathrm{Span}(\mathbb{R}^n) = \left \{ v=\sum_{j=1}^n a_j \left( \frac{\partial}{\partial x_j}\right)_P \Big| a_j \in \mathbb{R} \right \}
で表す。冒頭の対応付けによって，これはRnと同型。

Def. 余接ベクトル空間
接ベクトル空間の双対空間
すなわち，関数f \in C^\infty(\mathbb{R}^n)に対して，次のような汎関数を考えると，
(df)_P : \mathrm{T}_P \mathbb{R}^n \ni v \mapsto v(f) \in \mathbb{R}
dfは線形作用素であり，双対空間に関する議論から(df)Pの全体は再び線形空間になる。
\mathrm{T}_P^* \mathbb{R}^n := \{ (df)_P : \mathrm{T}_P \mathbb{R}^n \to \mathbb{R} | f \in C^\infty(\mathbb{R}^n)\}
このとき，次を満たす(df)P,iの集合を双対基底というが，
(df)_{P,i} \left( \left( \frac{\partial}{\partial x_j}\right)_P\right) = \delta_{ij}
視察により，以下が双対基底であることが分かる。
B^* := \{ (dx_1)_P, (dx_2)_P, \cdots, (dx_n)_P, \}

バンドル 

Def. ベクトル場
点Pを動かし，各点Pに対して接ベクトルを対応させる写像をベクトル場という。
X : \mathbb{R}^n \ni P \mapsto v_P \in \mathrm{T}_P \mathbb{R}^n
特に，各点における接ベクトル空間の基底を対応させるベクトル場を標準ベクトル場という。
\frac{\partial}{\partial x_j} : P \mapsto \left( \frac{\partial}{\partial x_j}\right)_P

Def. １次微分形式
\omega : \mathbb{R}^n \ni P \mapsto \omega_P \in \mathrm{T}_P^* \methbb{R}^n

Prop. dfの係数
関数 f \in C^\infty(\mathbb{R}^n) に対し，以下がなりたつ。
(df)_P = \sum_{j=1}^n \left( \frac{\partial f}{\partial x_j}\right)_P (dx_j)_P
[証明]
(df)_P = \sum_{j=1}^n a^j (dx_j)_P \quad \mbox{for } {}^\exists a^j
これを標準ベクトル場に作用させると，
(df)_P \left( \frac{\partial}{\partial x_i}\right)_P = \sum_{j=1}^n a^j (dx_j)_P \left( \frac{\partial}{\partial x_i}\right)_P = a^i
一方，この左辺は\left( \frac{\partial f}{\partial x_i}\right)_Pとなって，題意を得る。

Cor. 
さらにPを任意に動かすことで，
df = \sum_{j=1}^n \frac{\partial f}{\partial x_j} dx_j

一般の曲面M 

M上の微分
M：2-dim Mfd.
Mの開集合U上の局所座標φ
M \ni P=P(x_1, x_2) = (\phi_1 (x_1, x_2), \phi_2 (x_1, x_2), \phi_3 (x_1, x_2) ) \in \mathbb{R}^3
形式的な外微分を考える
dP := (d\phi_1, d\phi_2, d\phi_3) = \underbrace{ \left( \frac{\partial \phi_1}{\partial x_1},\frac{\partial \phi_2}{\partial x_1},\frac{\partial \phi_3}{\partial x_1} \right)}_{P_1} dx_1 + \underbrace{ \left( \frac{\partial \phi_1}{\partial x_2},\frac{\partial \phi_2}{\partial x_2},\frac{\partial \phi_3}{\partial x_2} \right) }_{P_2} dx_2
このとき，PjはU上のベクトル場であり，
P_j : (M \superset ) U_{open} \ni P \mapsto (P_j)_P \in \mathrm{T_P M}
各点q∈Uで一次独立なので，適当な内積を導入してTqMの正規直交基底にすることができる(Gram-Schmidt)。
\{P_1,P_2\} \to \{ \mathbf{e}_1, \mathbf{e}_2\}
eで表示したときの係数をθとする。
dP = P_1 dx_1 + P_2 dx_2 = \mathbf{e}_1 \theta^1 + \mathbf{e}_2 \theta^2
θはTq*M の基底になる。

R3との関係
さらに，R3の外積を用いてR3の基底を作り出すことができる。
(\mathbf{e}_3)_q := (\mathbf{e}_1)_q \times (\mathbf{e}_2)_q
U上の関数 \mathbf{e}_j := U \to \mathbb{R}^3
関数の微分 d\mathbf{e}_j := \omega_j^i \mathbf{e}_i \quad {}^\exists \omega_j^i \mbox{ : 1-form}
内積  \langle \mathbf{e}_i, \mathbf{e}_j \rangle := \delta_{ij}

Prop. ωを並べた行列は交代行列
\omega_j^i = - \omega_i^j
[証明]
\langle d\mathbf{e}_i, \mathbf{e}_j \rangle+\langle \mathbf{e}_i, d\mathbf{e}_j \rangle = 0 を用いる。

Def. 第一基本形式 1st fundamental form
 I := \langle dP, dP \rangle = \theta^1 \theta^1 + \theta^2 \theta^2

Def. 外積 Wedge product
Tq*M の基底{dx1,dx2}qに対し，
1. dx_1 \wedge dx_1 = dx_2 \wedge dx_2 = 0
2. dx_1 \wedge dx_2 = - dx_1 \wedge dx_2
3. (a dx_1 \wedge b dx_2) \wedge ( c dx_1 \wedge d dx_2) = (ad-bc) dx_1 \wedge dx_2
を満たす演算として外積を定義する。

Prop. 一般の1-form
f,g,h,k : U上の２変数関数
\begin{pmatrix} \omega_1 \\ \omega_2\end{pmatrix} := \begin{pmatrix} f & g \\ h & k\end{pmatrix} \begin{pmatrix} dx_1 \\ dx_2\end{pmatrix} 
\Rightarrow \omega_1 \wedge \omega_2 = \begin{vmatrix} f & g \\ h & k\end{vmatrix} } dx_1 \wedge dx_2

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最終更新：2009年07月22日 17:04
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