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期待値と分散の公式

定義

\mathbb{E}[X] := \int_\Omega x p(x) dx = \int_\Omega x dF(x) ただしF(x)は累積分布関数
\mathrm{var}[X] := \mathbb{E}[(X - \mathbb{E}[X])^2] = \mathbb{E}[X^2] - (\mathbb{E}[X])^2

基本公式

期待値の線形性
\mathbb{E}[aX+b] = a \mathbb{E}[X] + b

分散は二次
\mathrm{var}[aX+b] = a^2 \mathrm{var}[X]

独立のときに限って成立する公式

確率論も参照
X,Y 独立
\Leftrightarrow F(x,y) = F(x)F(y)

積と期待値の交換
\mathbb{E}[XY] = \mathbb{E}[X] \ \mathbb{E}[Y]

分散の"線形"性
\mathrm{var}[X+Y] = \mathrm{var}[X] + \mathrm{var}[Y] ←積と期待値の交換によってクロスタームが上手く消えるため

さらに，f(X), g(Y)も独立になるから，次のようなこともできる。
\mathbb{E}[f(X)g(Y)] = \mathbb{E}[f(X)] \ \mathbb{E}[g(Y)]
\mathrm{var}[f(X)+g(Y)] = \mathrm{var}[f(X)] + \mathrm{var}[g(Y)]

観測値集合から推定する方法

期待値の推定値（標本平均）
\overline{ \{ X_i \}_{i=1}^n } = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i

分散の推定値（不偏分散）
\mathrm{var}{ \{ X_i \}_{i=1}^n } = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n (X_i - \overline{ \{ X_i \}_{i=1}^n } )^2

導出は最尤推定による。
これが推定値になっていることは，各々期待値を計算すれば分かる。
\mathbb{E}[\overline{ \{ X_i \}_{i=1}^n }] = \mathbb
</pre>
<p>{E}[\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i] = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n \mathbb{E}[X_i] = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n \mathbb{E}[X] = \mathbb{E}[X]



不偏分散の計算はやや骨が折れるので確率論も参照


    

        
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最終更新：2010年01月16日 12:49

                

                    
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