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行列の微分2

 \mathcal{F}(p, q; m, n) := \{ F : \mathrm{Mat}(p, q) \to \mathrm{Mat}(m, n); \  (a_{kl}) \mapsto (f_{ij}) \}

１つの成分による微分
X = \left( \frac{\partial }{\partial a_{kl}} \right) : \mathcal{F}(p,q; m,n) \to \mathrm{Mat}(m, n)
 F=(f_{ij}) \mapsto X F := X \otimes F = \left( X f_{ij} \right)
実際，行列の積が定義できる場合には Leibniz Rule を満たす。
X( FG ) = (XF)G + F(XG)

全成分による微分はなかなか難しい
A = \sum_{i,j} a^{ij} e_{ij} \in M と表しておいて，
関数F:TM \to \mathbb{R}の場合
\frac{\partial}{\partial A} : C^\infty(TM, \mathbb{R}) \ni F \mapsto \sum \frac{\partial F}{\partial a^{ij} } e_{ij}
と考えて，これをF:TM \to TNに拡張する。
F=\sum_{p,q} b^{pq} f_{pq} と表しておいて，
\frac{\partial}{\partial A} : C^\infty(TM, TN) \ni F \mapsto \sum \frac{\partial F}{\partial a^{ij} } e_{ij} = \sum \frac{\partial b^{pq}}{\partial a^{ij} } e_{ij} \otimes f_{pq} \in TM \otimes C^\infty(TM, TN) と定義する。

上記の新しく基底を作る方法では，
\frac{\partial A}{\partial A}=I
にならない
また，
\frac{\partial A^2}{\partial A}, \frac{\partial A^\mathrm{T} A}{\partial A}
はどうなるか？

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最終更新：2013年11月18日 18:15
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