リー群リー環(行列の指数関数が活躍する)などの文脈ではフロベニウスノルムで位相を入れることが多い。
行列とベクトルの並べ替えによる線形同型 をとり, によってノルムを定義すると,これで等距離同型(isometry)になった。わけ。
このノルムで, によって収束を定義する。 つまり有限次元ユークリッド空間の標準位相であるから,成分毎の収束と同値。
作用素ノルムで考えてもおk(フロベニウスと同値な位相を誘導する)
行列ノルムの性質(劣乗法性)←最大値ノルムは満たさない。フロベニウスノルム,作用素ノルム,シャッテンノルムはおk
公式 「群演算は連続」
(Y は適当な位相空間。実数体,行列空間など) 「fがAで連続」という条件は,以下の3つの条件とそれぞれ同値 点列連続 逆像が開写像 逆像が閉写像
例 相似写像は連続
応用(一般線形群は開集合,特殊線形群は閉集合) は成分の多項式なので連続 これを使って 左辺はKの開集合 右辺はKの閉集合 より,それぞれ det の連続性から示される。
応用(直交行列は閉集合) は連続(∵転置と積の合成写像) 右辺の一点集合は閉集合であるから,fの連続性によりO(n)もMat(n, R or C)の閉集合
1. 三角行列の対角成分はそのままべき乗
任意の正方行列は適当な正則行列を使って,複素数の範囲で三角化可能なので, 対角成分だけの議論ならこのテクニックでどうにかなる。
2. べき零あるいは擬周期性 高々 k まで計算するだけ まず k まで計算して,あとは漸化式
不等式
全域で存在
連続性 を用いて示される。
例
公式 1. 2. 3. 4. 5.
注意(単射でない) だが,逆は成り立たない! など。この形に限るかどうかは不明
いつ逆写像になるか? 1. 2. 3. で連続 結論 上で単射かつ双連続
注意 のとき,