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術語の確率

\mathrm{Pr} \{ Q(X) \} = \int_{Q^{-1}(\mathrm{True})} p(x) dx

Ex. 棄却法とその証明

f : \mathbf{R}^m \to [0,\infty]; \ \mathrm{supp} \, f \subset \Omega
M := \max_\Omega f

Neumann's Acceptance-Rejection method
step1. \mathbf{X} \sim g(\mathbf{x}) := \frac{1}{{\rm vol} \Omega}\chi_\Omega (\mathbf{x})
step2. Y \sim u(y) := \frac{1}{M} \chi_{[0,M]} (y)
step3. if  Y \leq f(\mathbf{X}) \Rightarrow \mathbf{X}^* \leftarrow \mathbf{X}  else return step1.

proof.
calc \mathrm{Pr} \{ \mathbf{x}^* \in \Gamma | y \leq f(\mathbf{x}) \}    ←ここ
...

Question. 
\mathrm{Pr} \{ y \leq f(\mathbf{x}) \} とは何か？
術語を関数
Q(\mathbf{x},y) := \begin{cases} \mathrm{T} & y \leq f(\mathbf{x}) \\ \mathrm{F} & \mbox{otherwise} \end{cases}
と表現して、これを確率変数X,Yに置き換えて得られる確率変数Qの確率
\mathrm{Pr} \{ Q(\mathbf{X},Y) = \mathrm{T} \} = \int_{ Q^{-1}(\mathrm{T}) } p(\mathbf{x},y) d \mathbf{x} dy
を計算することに等しい。
X,Yの独立性
p(\mathbf{x},y) = g(\mathbf{x})u(y)
に注意して、
Q^{-1}(\mathrm{T}) = \{ (\mathbf{x},y) \in \Omega \times [0,M]| y \leq f(\mathbf{x})\} = \bigcup_{\mathbf{x} \in \Omega} \{ \mathbf{x} \} \times [0,f(\mathbf{x})]
であるから、結局
 = \int_\Omega \int_{[0,f(\mathbf{x})]}p(\mathbf{x},y) dy d\mathbf{x} = \int_\Omega g(\mathbf{x}) \int_{[0,f(\mathbf{x})]} u(y) dy d\mathbf{x} = \int_\Omega \frac{1}{M \mathrm{vol} \Omega} f(\mathbf{x}) d\mathbf{x}
 = \frac{1}{M \mathrm{vol} \Omega}

もっと簡単な例

\Omega := \{ 1,2,3,4,5,6\}
X \sim p(x) \mbox{ on } \Omega
\mathrm{Pr} \{ X \mbox{ is even} \}

let predicate function
Q(x) := \begin{cases} \mathrm{T} & x \mbox{ is even} \\ \mathrm{F} & \mbox{otherwise}\end{cases}
then calc
\mathrm{Pr} \{ X \mbox{ is even} \} = \int_{Q^{-1}(T)} p(x)dx = \sum_{x = 2,4,6} p(x)

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最終更新：2010年05月29日 16:03
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