X 台集合 A が開集合であるとは、Aの任意の点がAの内点であること。 ただし、B(x;r)は中心x半径rの開球
開球が定義できないので、開近傍に置き換えればおk すなわち、Aの任意の点に対して、Aに含まれる開近傍をとることができればおk
Th. Aが開集合であるための必要十分条件は、
Th. Rの開集合は、互いに交わらない可算個の開区間の和で表される。 証明には Zornの補題を使う。
Rem. R^2 以上では、この事実は必ずしも成り立たない。 以下が成り立つ。 Th. R^d の開集合は、互いに交わらない可算個の右半開区間の和で表される。 Th. R^d の開集合は、互いに交わらない可算個の閉区間の和で表される。