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関数列の一様収束

一様収束を示す

Th. Cauchy Criterion for Uniform Convergence
コーシー列の関数列版
A sequence of functions (fn) defined on a set A⊂R converges uniformly on A
if and only if for every ε>0 there exists an N∈N such that |fn-fm|<ε
for all m,n>N and all x∈A.

Th. Arzela-Ascoli
Arzela-Ascoliについては関数解析の諸定理も参照
Let I be a bounded closed interval.
For each n∈N, let fn be a function defined on I.
If (fn) is bounded on I and if the collection of functions (fn) is equicontinuous,
(fn) contains a uniformly convergent subsequence.

一様収束の効用

Th. 連続関数列の極限が連続になるための条件
一様収束ならおｋ
Let (fn) be a sequence of functions defined on A⊂R
that converges uniformly on A to a function f.
If each fn is continuous at c∈A, then f is continuous at c.

Th. 関数列の微分と微分列の極限が一致するための条件
導関数の列が一様収束ならおｋ
Let fn→f pointwise on the closed interval [a,b]
and assume that each fn is differentiable.
If (f'n) converges uniformly on [a,b] to a function g,
then the function f is differentiable and f'=g.

Cor. 導関数列が一様収束するときの効用
うえの定理で，fnが各点収束するという条件は，ただ１点での収束に弱めることができる。
Let (fn) be a sequence of differentiable functions defined on the closed interval [a,b],
and assume (f'n) converges uniformly to a function g on [a,b].
If there exists a point x0∈[a,b] for which fn(x0) is convergent,
then (fn) converges uniformly.
Moreover, the limit function f:=limfn is differentiable and satisfies f'=g.

級数

級数は部分和列の極限

Th. 連続関数列の級数は，一様収束すれば連続
級数は部分和列の極限として定義されるので，以下の論理が従う。
Step1. 各項が連続　⇒　部分和も連続
Step2. 連続な列が一様収束　⇒　極限（級数）も連続

Th. 級数の微分可能性
これについても同様。
1. 導関数列の級数が（有界閉区間[a,b]上）g(x)に一様収束して，
2. 元の級数がある一点x0で収束すれば，
級数は微分可能な関数f(x)に一様収束して，しかも f'=g が成り立つ。

Th. Cauchy Criterion for Uniform Convergence of Series
A series Σfn converges uniformly on A⊂R if and only if for every ε>0
there exists an N∈N such that for all n>m>N,
  
for all x∈A.

Cor. Weierstrass M-Test
いわゆる，ワイエルストラスの優級数判定法
For each n∈N, let fn be a function defined on a set A⊂R,
and let Mn>0 be a real number satisfying |fn|<Mn
for all x∈A. If ΣMn converges, then Σfn converges uniformly on A.

Power Series

冪級数は，級数の特殊な場合。
以下の２つの定理によって，冪級数は収束半径という特徴的な量をもつことが分かる。

Th. 
ある点で収束すれば，その内側では各点で絶対収束
If a power series Σanxn converges at some point x0∈R,
then it converges absolutely for any x satisfying |x|<|x0|

Th. 
ある点で絶対収束すれば，その内側では一様収束
If a power series Σanxn converges absolutely at a point x0,
then it converges unigormly on the closed interval [-c,c], where c=|x0|.

Th. Abel's Theorem
端点での値について。
Let g(x):=Σanxn be a power series that converges at the point x=R>0.
Then the series converges uniformly on the interval [o,R].
A similar result holds if the series converges at x=-R.

Cor. 
上２つの要するところ。
If a power series converges pointwise on the set A⊂R,
then it converges uniformly on any compact set K⊂A.

Th. 微分可能性
If Σanxn converges for all x∈(-R,R),
then the differentiated series Σnanxn-1 converges at each x∈(-R,R) as well.
Consequently, the convergence is uniform on compact sets contained in (-R,R).

Th. まとめ
級数は収束半径の内側でC∞級
Assume g(x)=Σanxn converges on an interval A⊂R.
The function g is continuous on A and differentiable on any open interval (-R,R)⊂A.
The derivative is given by g'(x)=Σnanxn-1.
More over, g is infinitely differentiable on (-R,R), and the successive derivatives
can be obtained via term-by-term differentiation of the appropriate series.

Taylor展開

Taylor展開についてはTaylor展開も参照
1. Taylor展開は１点の近傍の情報だけで関数全体の形が決まるという点で驚異的。
1'. この発見(Taylor, 1715)により，全ての∞階微分可能な関数は級数展開できると信じられた時代があった。
1". Cauchyの発見により，∞回微分可能だがTaylor展開可能でない関数があることが分かった。
  
1"'. 複素関数では，解析関数(Taylor展開可能)と正則関数(∞階微分可能)とは一致する。

2. 級数が∞階微分可能なことは上で保障されているが，展開される関数自体が∞階微分可能かどうかは別問題。
3. Taylor展開の収束判定の基本は，Lagrange剰余項の評価による。