「関数」とは、実数に値をとる写像である。
「作用素」とは、関数を関数に移す写像である。
「場」とは、４変数関数のことである。
「エネルギー」とは，「関数」のことである。定義域の変数間に適当な対称性（変換不変性）を持つことによって，保存則が生まれる。
ODEでも、解が唯一に定まらないときがある。逆にPDEでも、解の存在と唯一性はタイプ別に示されている。
「有界線形作用素」とは，行列のことである。
「クラインの幾何学」とは、クライン(1849-1925)が「エルランゲン目録」(1872)に宣言した幾何学の定義であり、「幾何学とは、変換群の下で不変な性質を研究する学問である。」 この定義によって、第五公準をめぐる一連の研究で論理的に存在することが発見されていた非ユークリッド幾何学（ボヤイ、ロバチェフスキー、ガウス）や、デザルグを先駆とするポンスレの射影幾何学は、変換群をキーワードにして再びユークリッド幾何学とともに統一されたのである。
クラインの後継にあたるのは対称空間を研究したエリー・カルタンであり、微分幾何学を研究したリーマンは「驚きの定理」を証明したガウスの後継者にあたる。 リーマンは多様体の概念を創出し、それはリッチとレビ・チビタによって整理された。 リーマン多様体はクラインの意味での幾何学にはなっていないが、その接空間はユークリッド空間になっている（リーマン計量が接空間における内積を誘導するためである）。 一般に、接空間の構造がクラインの意味でどの幾何学になっているか、という観点で、クラインの幾何学は多様体の分類に活かされている。
ポアンカレ(1854-1912)はというと、彼はオイラー・リスティング・ベッチの研究を受け継ぎ、代数的位相幾何学の基礎を築いた。これは位相空間に代数的対象を対応させる分野であり、ホモロジー・コホモロジーが重要である。 位相幾何学と微分幾何学とは、ガウス・ボンネの定理によって繋がり、これを大域微分幾何という。 特に、コホモロジー群の次元をベッチ数といい、これは位相不変量である。ベッチ数を解析的に調べたのがド・ラームであり、これはグラスマンの外積代数やクリフォード代数などと密接な関連をもつ微分形式の理論である。
Taylor展開は，無限階微分可能であることを要求する。これは強すぎる条件であり，Weierstrassの多項式近似定理は，閉区間上の連続関数ならばおｋ。多項式近似定理はFourier解析の産物であり，Fejerの定理から出てくる。
級数の順序を変えると，収束先は変わってしまうから，一般に次のような二重級数の書き方は意味を為さない！
収束列の空間l上定義された作用素Lは体の同型になる。
「完備」はCauchy列 ⇔ 「閉」は収束列 ⇔ 「コンパクト」は部分列
曲率円というのは，曲線の各点において，その二次の微分係数までを一致させた円のこと。つまり２次近似。 接線近似は，曲線の各点において，その１次の微分係数までを一致させた直線ということで，１次近似といえる。 Taylor近似は多項式によって２次近似を実現するが，こちらは放物線による近似である。
回転数というのは，曲線論におけるガウスボンネの定理のようなものである。 つまり，閉曲線全体にわたる曲率の積分（全曲率）＝2π×回転数 である。
似てるもの：Banachと完備距離空間 なぜ区別するのか？ Banachはノルム空間である。つまり，ノルムを持つという事実の背後に，ベクトル空間であることを要求している。 完備距離空間は単に距離構造を持てばよく，理想的な位相構造を持つというだけで線形構造は持っていない。 これは大きな違いであって，∞次元線形代数をやろうとすれば必然的に線形構造を伴うので，Banachになってしまう。
ノルムから導かれない距離
という書き方には注意が必要である。 実際，測度μとして数え上げ測度をとり，台集合Ωとして自然数Nをとれば，これは以下を意味する。
位相空間におけるコンパクトあるいは可分性，測度空間におけるσ有限，距離空間における全有界 は似てる。
集合論的数学は静的構造の数学であるとはどういうことか。 図形を点の集合と表現し，偶数を
と表現し，線形空間や群を作り出すことではないか。 つまり未来永劫変化することのないものに落とし込むことではないか。 そしてその方法は，ありうるものを予め全て含めてしまう，という方法に帰着される。
さて，そのように未来永劫変化しない形に落とし込むことのできないものは存在するのだろうか？
確率変数とは，可測集合から実数への関数で，任意の区間の逆像が可測集合になっているものである。 つまり可測関数のことである。 これを確率論の言葉で表現すると次のようになる。 「標本空間上定義された実数値関数で，任意の区間の逆像が確率事象になるもの。」
古典物理とは，ニュートンの運動法則，マクスウェルの電磁法則，ボルツマンの気体運動法則である。 そこにブラウン運動が表れて，プランク，アインシュタイン，ペラン，ランジュバン，すモルコフスキー，ウーレンベック，クラマースを巻き込んでいく。
単位の分解とは，スペクトル分解の際に恒等写像を射影作用素に分けること（射影分解）1の分割とは，多様体を重み付けする関数族のこと。
